Nullstellen bei Teilung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1:2=0.5
0.5:2= 0.25
.......n
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.Ich habe festgestellt das nach der 14ten teilung nach oben genannten bsp. die anzahl der nullstellen nach dem komma immer im wechsel 3, 3, 4, 3, 3, 4.... jeweils um eine nullstelle anwächst. ebenfalls im gleichem rhytmus wächst die letzte stelle der zahl.
ist das irgendeine spezielle formel oder was völlig neues, unentdecktes :DD
vielen dank für antworten im voraus.
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> 1:2=0.5
> 0.5:2= 0.25
> .......n
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.Ich habe festgestellt das nach der
> 14ten teilung nach oben genannten bsp. die anzahl der
> nullstellen nach dem komma immer im wechsel 3, 3, 4, 3, 3,
> 4.... jeweils um eine nullstelle anwächst. ebenfalls im
> gleichem rhytmus wächst die letzte stelle der zahl.
>
> ist das irgendeine spezielle formel oder was völlig neues,
> unentdecktes :DD
> vielen dank für antworten im voraus.
Hallo kennybekele,
der Begriff "Nullstelle" ist hier fehl am Platz, weil
dieser Begriff für einen ganz anderen Zweck reser-
viert ist. Was du meinst, ist die Anzahl [mm] z_n [/mm] der Nullen
hinter dem Dezimalpunkt und vor der ersten nicht ver-
schwindenden Dezimale in der Dezimaldarstellung von
$\ [mm] a_n=\frac{1}{2^n}$ [/mm] . Betrachten wir die Folge $\ [mm] z=$ [/mm] dieser An-
zahlen, so ergibt sich:
$\ z\ =\ [mm] <0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,5,5,5,\,......>$
[/mm]
Um der Gesetzmässigkeit dieser Folge auf die Spur
zu kommen, kann man sich die Frage nach der
Anzahl [mm] z_n [/mm] der Nullen in allgemeiner Form stellen.
[mm] z_n=3 [/mm] bedeutet zum Beispiel, dass [mm] z_n=\frac{1}{2^n} [/mm] einen Wert
im Intervall von 0.0001 bis 0.000999... hat, also
$\ [mm] 10^{-4}\le z_n<10^{-3}$ [/mm]
Nun allgemein: [mm] z_n=k [/mm] bedeutet
$\ [mm] 10^{-(k+1)}\le z_n<10^{-k}$
[/mm]
oder
$\ [mm] 10^{-(k+1)}\le \frac{1}{2^n}<10^{-k}$
[/mm]
Durch Kehrwertbildung (und Umkehrung der
Richtung der Ungleichungen !) wird daraus
$\ [mm] 10^{k+1}\ge 2^n>10^k$
[/mm]
bzw.
$\ [mm] 10^k\le 2^n<10^{k+1}$
[/mm]
Logarithmieren mit Basis 10 ergibt
$\ [mm] k\le log(2^n)
$\ [mm] k\le [/mm] n*log(2)<k+1$
Daraus lässt sich schließen, dass:
$\ k=[n*log(2)]$
(Gaussklammer: abrunden auf ganze Zahl)
Daraus ergibt sich wegen
$\ [mm] \frac{1}{4}\ [/mm] <\ log(2)=0.30103....\ <\ [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
dass jeweils 3 oder 4 Schritte nötig sind,
um eine zusätzliche Null zu erhalten. Die
Abfolge der 3-er oder 4-er- Intervalle ist
aber nicht periodisch, da log(2) irrational ist !
LG Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | 0.00006103515625
0.00003051757813
0.00001525878906
0.000007629394531
0.000003814697266
0.000001907348633
0.0000009536743164
0.0000004768371582
0.0000002384185791
0.0000001192092896
0.00000005960464478
0.00000002980232239
0.00000001490116119
0.000000007450580597
0.000000003725290298
0.000000001862645149
0.0000000009313225746
....... |
hallo al-chwarizmi,
erst mal danke für deine antwort.
ich hab oben mal die zahlenfolge aufgeschrieben. graphisch sieht man diesen wechsel von 3, 3, 4, 3, 3, 4 .... sehr gut. ich hab das ganze nun 20 mal ausgerechnet und es ist immer noch der gleiche wechsel. es ist somit doch periodisch wiederkehrend. ich mein es rein graphisch gesehn....
warum ist das so?
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> 0.00006103515625
> 0.00003051757813
> 0.00001525878906
> 0.000007629394531
> 0.000003814697266
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> 0.0000002384185791
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> 0.000000007450580597
> 0.000000003725290298
> 0.000000001862645149
> 0.0000000009313225746
> .......
> hallo al-chwarizmi,
> erst mal danke für deine antwort.
> ich hab oben mal die zahlenfolge aufgeschrieben. graphisch
> sieht man diesen wechsel von 3, 3, 4, 3, 3, 4 .... sehr
> gut. ich hab das ganze nun 20 mal ausgerechnet und es ist
> immer noch der gleiche wechsel. es ist somit doch
> periodisch wiederkehrend. ich mein es rein graphisch
> gesehn....
> warum ist das so?
Hallo kennybekele,
Es handelt sich hier bestimmt nur um eine
jeweils stückweise Periodizität, die zwischen-
durch immer wieder mal einen "Schrittwechsel"
macht. Auch wenn du den Anfang der Folge
betrachtest, herrscht dort nicht die gleiche
Regelmässigkeit.
Wäre eine durchgehende Periodizität mit der
Periode (3,3,4) vorhanden, so könnte man
daraus schliessen, dass [mm] 2^{3*3*4}=10^k
[/mm]
für eine Zahl [mm] k\in\IN [/mm] sein müsste, was jedoch
keineswegs der Fall ist.
LG
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ich meine die Länge der zahlenkolonne. untereinander geschrieben sind immer 3 gleich lang, dann wieder 3 gleich lang aber mit einer null mehr nach dem komma, dann sind 4 gleich lang , dann wieder 3 gleich lang, dann wieder 3 gleich lang ... etc. somit ergibt sich ein muster.
lg
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> ich meine die Länge der zahlenkolonne. untereinander
> geschrieben sind immer 3 gleich lang, dann wieder 3 gleich
> lang aber mit einer null mehr nach dem komma, dann sind 4
> gleich lang , dann wieder 3 gleich lang, dann wieder 3
> gleich lang ... etc. somit ergibt sich ein muster.
>
> lg
Hallo,
ich habe mich bisher nur mit der Anzahl der
"Vornullen" beschäftigt. Dort besteht wie
gesagt nur jeweils stückweise eine gewisse
Periodizität.
Nun zu den Zahlenlängen: Wenn ich deine
Zahlenliste betrachte, stelle ich fest, dass
du dort nur die allererste Zahl vollständig
wiedergegeben hast. Alle folgenden Werte
sind durch Rundung abgeschnitten. Deine
Zahlenlängen sind also ein Artefakt der
Software, mit der du die Zahlen erzeugt hast !
Es werden jeweils nach den "Vornullen" noch
zehn weitere Stellen angezeigt.
Für die gesamte Zahlenlänge (bis zur 5, die
als letzte nicht verschwindende Ziffer in jeder
dieser Zahlen stehen muss) kann man selbst-
verständlich auch eine Formel aufstellen,
und zwar eine äusserst einfache !
LG Al-Chw.
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hallo,
und genau diese formel würde ich gerne wissen.
ja das kann sein das dort gerundet wurde. ich habe diese rechnung mit einem casio fx-82 gemacht.
ich finds interessant was alles entstehen kann wenn man ein bischen kombiniert. vllt lässt sich auf diesem gebiet noch was entdecken, was es so noch nicht gibt. ich werde weiter " forschen". :)
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Di 25.08.2009 | | Autor: | abakus |
> hallo,
> und genau diese formel würde ich gerne wissen.
> ja das kann sein das dort gerundet wurde. ich habe diese
> rechnung mit einem casio fx-82 gemacht.
Dann schmeiß ihn weg (wenigstens für diese Aufgabe).
Kleine Erinnerung an Klasse 5:
"Dezimalbrüche werden multipliziert, indem man wie mit natürlichen Zahlen rechnet, die Summe der Anzahl der Nachkommastellen beider Faktoren bildet und vom Ergebnis genau diese Anzahl von Nachkommastellen abtrennt."
0,5*0,5
5*5=25; beide Faktoren eine Nachkommastelle (insgesamt 2), Ergebnis deshalb 0,25.
0,25*0,5
25*5=125, eine und zwei Nachkommastellen (also 3); Ergebnis deshalb 0,125.
0,125*0,5
125*5=625, insgesamt 3+1=4 Nachkommastellen; Ergebnis deshalb 0,0625 (weil 625 nur 3 Stellen hat, musste zum Erreichen von 4 Nachkommastellen noch eine Null eingeschoben werden.
Gruß Abakus
> ich finds interessant was alles entstehen kann wenn man
> ein bischen kombiniert. vllt lässt sich auf diesem gebiet
> noch was entdecken, was es so noch nicht gibt. ich werde
> weiter " forschen". :)
> gruß
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> > ja das kann sein das dort gerundet wurde. ich habe diese
> > rechnung mit einem casio fx-82 gemacht.
> Dann schmeiß ihn weg (wenigstens für diese Aufgabe).
Ein Rechner dieser Kategorie kann natürlich nicht
anders als runden ... Zahlenwerte werden intern
nur mit etwa 10 oder 12 Dezimalen dargestellt.
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