Nullstellen berechnen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mo 03.02.2014 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Gegeben ist folgender Ausdruck: $H(z) = [mm] \frac{1+2\cdot z^{-1}}{1-3 \cdot z^{-1} -4 \cdot z^{-2}}$
[/mm]
Führen sie eine Partialbruchzerlegung durch. |
Hi Leute! Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Für eine Partialbruchzerlegung muss ich doch an dieser Stelle erstmal den Faktorisieren. Richtig?
Ich setze nun in die Lösungsformel ein: [mm] $z_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{3 \pm \sqrt{9-4 \cdot (-4) \cdot 1}}{2 \cdot (-4)}$
[/mm]
Es ergibt sich so: [mm] $z_1 [/mm] = -1, [mm] z_2 [/mm] = [mm] \frac14$
[/mm]
Aber wie sieht hier nun der faktorisierte Nenner aus? Wenn ich nun [mm] $\left( \frac{1}{z}-(-1)\right)\left( \frac{1}{z}-\frac14 \right)$ [/mm] ausmultipliziere komme ich auf [mm] z^{-2}+\frac34 z^{-1} [/mm] - [mm] \frac14$, [/mm] was aber nicht das Ausgangs-Nennerpolynom ist!
Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Nullstellen des Nenners sind [mm] z_1 [/mm] =-1 und [mm] z_2=4 [/mm] (du hast 1/z berechnet).
Warum erweiterst du den ganzen Bruch nicht mit [mm] z^2 [/mm] oder substituierst 1/z=x ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 03.02.2014 | | Autor: | bandchef |
Ah, ok. Also einfach mi [mm] z^2 [/mm] / [mm] z^2 [/mm] erweitern. Komme jetzt auch auf das richtige Ergebnis! Aber was muss ich tun, damit ich ab jetzt doch mit 1/z weiterrechnen kann?
Wenn ich jetzt weitermache, komme ich zu folgendem Ausdruck:
[mm] $\frac{A_1}{z+1} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{z-4} [/mm] = [mm] A_1(z-4) [/mm] + [mm] A_2(z+1) [/mm] = $
Soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ah, ok. Also einfach mi [mm]z^2[/mm] / [mm]z^2[/mm] erweitern. Komme jetzt
> auch auf das richtige Ergebnis! Aber was muss ich tun,
> damit ich ab jetzt doch mit 1/z weiterrechnen kann?
>
> Wenn ich jetzt weitermache, komme ich zu folgendem
> Ausdruck:
>
> [mm]\frac{A_1}{z+1} + \frac{A_2}{z-4} = A_1(z-4) + A_2(z+1) =[/mm]
>
> Soweit richtig?
Sicher nicht.
Das erste Gleichheitszeichen ist falsch,
das zweite Gleichheitszeichen soll wohl ein + sein und
hinter dem dritten Gleichheitszeichen geht's nicht weiter ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 03.02.2014 | | Autor: | bandchef |
Kannst du's mir kurz erklären, wie's richtig geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
siehe nächste Antwort.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 03.02.2014 | | Autor: | bandchef |
Ich hab hier ja nun mit [mm] z^2/z^2 [/mm] multipliziert. Was muss ich tun um nach der Nullstellenberechnung wieder auf 1/z zu kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du musst dich entscheiden, ob du eine Partialbruchzerlegung in z oder in [mm] z^{-1} [/mm] haben willst.
Im ersten Fall erweiterst du mit [mm] z^2.
[/mm]
Das ergibt etwas von der Form T(z)= [mm] \bruch{quadratisches \ \ Polynom \ \ in \ \ z}{quadratisches \ \ Polynom \ \ in \ \ z}
[/mm]
Dann füherst du eine Polynomdivision durch.
Das ergibt [mm] T(z)=1+\bruch{lineares \ \ Polynom \ \ in \ \ z}{quadratisches \ \ Polynom \ \ in \ \ z}=1+\bruch{lineares \ \ Polynom \ \ in \ \ z}{(z+1)*(z-4)}=1+\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z-4}
[/mm]
Du bestimmst A und B.
Im zweiten Fall substituierst du [mm] x=\bruch{1}{z}.
[/mm]
Du erhälst [mm] T(x)=\bruch{1+2x}{1-3x-4x^2}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{1-4x}
[/mm]
Du bestimmst A und B. Zum Schluss ersetzt du wieder x durch [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Di 04.02.2014 | | Autor: | bandchef |
Wie kommst du auf den Nenner $ [mm] \bruch{B}{1-4x} [/mm] $?
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Hallo bandchef!
> Wie kommst du auf den Nenner [mm]\bruch{B}{1-4x} [/mm]?
$x \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] ist Nullstelle des ursprünglichen Nenners.
Du kannst hier schreiben:
[mm] $\bruch{B'}{x-\bruch{1}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-4*B'}{1-4x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{B}{1-4x}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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