Nullstellen berechnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 02.11.2009 | | Autor: | gr33n |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen nach den Lösungsformeln:
a) z²+(1+i)z-i=0
b) z³+i=0
c) x³-2x²+x-2=0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich weiß dass ich bei der quadratischen Gleichung die pq-Formel nehmen und die kubischen Gleichungen in die Normalform bringen muss(?).
Nur wie funktioniert das?
Kann ich bei a) einfach für p=(1+i), q=i einsetzen und dann ausrechnen? Da kommt doch nichts sinnvolles raus oder?
Wäre schön wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte...
MfG gr33n
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mo 02.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hallo pq Formel ist ja nichts anderes als quadratische Ergänzung:
[mm] z^2+pz+q=z^2+2*p/2+p^2/4-p^2/4+q=(z+p/2)^2-p^2/4+q
[/mm]
[mm] z^2+pz+q [/mm] <==> [mm] (z+p/2)^2-p^2/4+q=0 [/mm] => [mm] z+p/2=\wurzel{p^2/4-q}
[/mm]
nun musst du nur wissen wie man Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht.
dazu sollte man sie in die Form [mm] p^2/4-q=r*e^{i\phi} [/mm] bringen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mo 02.11.2009 | | Autor: | gr33n |
Bis $ [mm] z+p/2=\wurzel{p^2/4-q} [/mm] $ komme ich noch mit, aber bei $ [mm] p^2/4-q=r\cdot{}e^{i\phi} [/mm] $ weiß ich nichtmehr weiter.
Wofür steht das r? Wo kommt das Phi her?
Ich meine wie bringt mich diese Gleichung auf die Nullstelle?
|
|
|
| |
|
Hallo gr33n,
> Bis [mm]z+p/2=\wurzel{p^2/4-q}[/mm] komme ich noch mit, aber bei
> [mm]p^2/4-q=r\cdot{}e^{i\phi}[/mm] weiß ich nichtmehr weiter.
>
> Wofür steht das r? Wo kommt das Phi her?
r ist der Betrag der komplexen Zahl [mm]p^{2}/2-q[/mm]
[mm]\phi[/mm] das Argument diese komplexen Zahl.
Jede komplexe Zahl
[mm]a+bi[/mm]
läßt sich in der Form
[mm]r*\left(\ \cos\left(\phi\right)+i*\sin\left(\phi\right) \ \right)=r*e^{i*\phi}[/mm]
schreiben.
> Ich meine wie bringt mich diese Gleichung auf die
> Nullstelle?
Es gibt 2 mögliche komplexen Zahlen, die quadriert [mm]p^{2}/2-q[/mm] ergeben.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
