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| Aufgabe | | Die Funktion [mm] f(x):=cos^2(x)-1/(x*e^x)^2 [/mm] sei erklärt. Bestimmen sie die Nullstellen der Funktion. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht wie gesagt um die Nullstellenbestimmung der oben genannten Funktionen. Da ich in der Shule immer nur "einfache" Polynome 2. oder höchstens 3. Grades hatte, weiß ich grad nicht wie man vorgehen muss um die Nullstellen zu bestimmen.
mfg
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Hallo Olli und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Die Funktion [mm]f(x):=cos^2(X-1)/(x*e^x)^2[/mm] sei erklärt.
> Bestimmen sie die Nullstellen der Funktion.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Es geht wie gesagt um die Nullstellenbestimmung der oben
> genannten Funktionen. Da ich in der Shule immer nur
> "einfache" Polynome 2. oder höchstens 3. Grades hatte,
> weiß ich grad nicht wie man vorgehen muss um die
> Nullstellen zu bestimmen.
Nun, ein Bruch ist genau dann =0, wenn der Zähler =0 ist
Überlege also, wann [mm] $\cos^2(x-1)=0$ [/mm] ist.
Das ist äquivalent dazu, zu überlegen, wann [mm] $\cos(x-1)=0$ [/mm] ist.
Das kannst du "so" machen oder - wenn's einfacher ist - noch $z:=x-1$ substituieren und das Problem auf die Nullstellensuche von [mm] $\cos(z)$ [/mm] zurückführen.
Anschließend aber das Resubstituieren (ist ja nur eine Verschiebung) aber nicht vergessen!
Und darauf achten, dass die Zählernullstellen nicht auch solche des Nenners sind, dort wäre die Fkt. ja nicht definiert ...
Also gut überlegen...
Geh's mal an!
LG
schachuzipus
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Ich hab gerade gemerkt das die Aufgabe n bissel anders ist als ich anfangs geschrieben habe: es ist nich [mm] cos^2(x-1) [/mm] sondern [mm] cos^2(x)-1 [/mm] (habs mittlerweile editiert).
Ok ich hab mir den Zähler angeguckt: [mm] cos^2(x)-1 [/mm] wird 0 wenn x=0 ist. Und wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo raised.fist!
> Ok ich hab mir den Zähler angeguckt: [mm]cos^2(x)-1[/mm] wird 0
> wenn x=0 ist. Und wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber das ist bei weitem nicht die einzige Nullstelle. Bedenke, dass es undlich viele Stellen gibt, für welche gilt:
[mm] $$\left| \ \cos(x) \ \right| [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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Ok, dann wird [mm] cos^2(x)-1 [/mm] = 0 wenn x={0;360;720;1440.....} ist, aber wie muss ich dann weiter vorgehen?
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Hallo zusammen und Obacht!
> Hallo raised.fist!
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> > Ok ich hab mir den Zähler angeguckt: [mm]cos^2(x)-1[/mm] wird 0
> > wenn x=0 ist. Und wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
>
> Aber das ist bei weitem nicht die einzige Nullstelle.
> Bedenke, dass es undlich viele Stellen gibt, für welche
> gilt:
> [mm]\left| \ \cos(x) \ \right| \ = \ 1[/mm]
Ich hatte extra oben geschrieben, dass man darauf achten sollte, dass die Nullstellen von [mm] $\cos^2(x)-1$ [/mm] nicht glz. Nullstellen des Nenners sind.
Es ist der Ausgangsbruch für $x=0$ nicht definiert, folglich kann dort keine NST sein ...
LG
schachuzipus
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> Gruß
> Loddar
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Ja gut, aber ich hab ja auch nie etwas anderes behauptet^^
Ich würde gerne wissen was ich machen muss nachdem ich herausgefunden habe wann der Zähler =0 wird....
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Hallo nochmal,
> Ja gut, aber ich hab ja auch nie etwas anderes behauptet^^
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> Ich würde gerne wissen was ich machen muss nachdem ich
> herausgefunden habe wann der Zähler =0 wird....
Nun, der Zähler wird genau dann 0, wenn [mm] $\cos^2(x)-1=0$
[/mm]
Also [mm] $\cos^2(x)=1$, [/mm] dh. [mm] $\cos(x)=\pm [/mm] 1$
Mache dir am Graphen der Kosinusfkt. klar, dass das genau an den Stellen [mm] $x\in\{k\cdot{}\pi\mid k\in\IZ\}$ [/mm] der Fall ist.
Vergleiche nun diese Nullstellen mit denen des Nenners, also von [mm] $\left(x\cdot{}e^x\right)^2$
[/mm]
Das wird offensichtlich wegen [mm] $e^x>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] dann und nur dann =0, wenn x=0 ist
Diese Stelle (x=0) musst du aus der NSTmenge des Zählers rausnehmen, denn dort ist die Fkt. nicht definiert
Bleibt als Nullstellenmenge [mm] $\{k\cdot{}\pi\mid k\in\IZ\setminus\{0\}\}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ahh ok. Dann stand ich ja schon mit dem einen Fuß im Ziel.
Denke dann hab ichs verstanden. Danke euch beiden ;)
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