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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen mithilfe der pq-Formel:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3 [/mm] |
Hallo,
normalerweise weiß ich, wie man Nullstellen mithilfe der pq-Formel bestimmt, jedoch ist das bei diesem Beispiel etwas knifflig.
Also ich habe so angefangen:
[mm] \bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3=0 /:\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x^{3}-3x^{2}-3x+9= [/mm] 0
Wie kriege ich jetzt vorne die [mm] x^{2} [/mm] hin??
Vielen Dank schonmal für die Hilfe...
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Nullstellen mithilfe der pq-Formel:
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3[/mm]
Wenn die Aufgabe wirklich wörtlich so heißt, dann ist sie vorsichtig gesagt irreführend. Denn das hier ist eine Gleichung 3. Grades, da geht in der Regel gar nichts mit der pq-Formel. Es gibt jedoch Ausnahmen, und eine solche scheint hier vorzuliegen. Auf jeden Fall wirst du noch weiteres Handwerkszeug benmötigen als die pq-Formel.
> normalerweise weiß ich, wie man Nullstellen mithilfe der
> pq-Formel bestimmt, jedoch ist das bei diesem Beispiel
> etwas knifflig.
Wie gesagt: so direkt mit der pq-Formel ist es unmöglich, da diese ja die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ist.
> Also ich habe so angefangen:
>
> [mm]\bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3=0 /:\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]x^{3}-3x^{2}-3x+9=[/mm] 0
>
> Wie kriege ich jetzt vorne die [mm]x^{2}[/mm] hin??
Dieser Anfang war auf jeden Fall genau richtig. Und zwar ist es hier aus bestimmten Gründen schon ein großer Erfolg, wenn man alle Koeffizienten ganzzahlig hat. Angenommen, es gibt ganzzahlige Lösungen dieser Gleichung, dann sagt ein Satz aus der Algebra, dass diese Lösungen das sog. Absolutglied (das ist hier die +9) ohne Rest teilen muss. Dies könntest du jetzt nutzen, um die einzige ganzzahlige Lösung dieser Gleichung durch raten zu bestimmen. Sei [mm] x_1 [/mm] diese Lösung, dann führst du jetzt auf der linken Seite eine Polynomdivision durch [mm] (x-x_1) [/mm] durch und untersuchst das so erhaltene Polynom 2. Grades per pq-Formel auf weitere Lösungen, die du in Form zweier irrationaler, betragsmäßig gleicher Zahlen finden wirst.
Allerdings: die Anwendung der pq-Formel ist hier 'mit Kanonen auf Spatzen geschossen'. Denn das quadratische Polynom, welches als Ergebnis bei der Polynomdivision herausjkommt, führt auf eine reinquadartische Gleichung. Aus dem selben Grund kann man die Lösung der vorgestellten Gleichung auch ganz ohne Raten nur durch Faktorisieren und Anwenden des Satzes vom Nullprodukt finden...
Gruß, Diophant
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Okay, also kann ich hier die Polynomdivision anwenden...
Dazu habe ich durch Raten an der Stelle x=3 eine Nullstelle gefunden. Jetzt muss ich doch folgendes machen:
[mm] (\bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3) [/mm] : (x-3) oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 01.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Okay, also kann ich hier die Polynomdivision anwenden...
Das ist der "Holzhammerweg", der immer funktioniert.
Hier ist dieser Weg allerdings viel zu kompliziert.
>
> Dazu habe ich durch Raten an der Stelle x=3 eine Nullstelle
> gefunden. Jetzt muss ich doch folgendes machen:
>
> [mm](\bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3)[/mm] : (x-3) oder??
Das wäre dann in der Tat der Weg des "Holzhammers"
Marius
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okay; ich probiere jetzt mal den "Holzhammerweg"... (nur um die Polynomdivision mal zu wiederholen...)
Kann ich am Anfang dann erstmal durch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] rechnen, damit ich danach bei der Polynomdivision nur [mm] x^{3} [/mm] durch x teilen muss...? Oder muss die Polynomdivision mit der Anfangsgleichung geschehen..?
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Hallo,
> okay; ich probiere jetzt mal den "Holzhammerweg"... (nur um
> die Polynomdivision mal zu wiederholen...)
>
> Kann ich am Anfang dann erstmal durch [mm]\bruch{1}{3}[/mm] rechnen,
> damit ich danach bei der Polynomdivision nur [mm]x^{3}[/mm] durch x
> teilen muss...? Oder muss die Polynomdivision mit der
> Anfangsgleichung geschehen..?
Du kannst. Und du könntest schon auch einmal darüber nachdenken, weshalb ich weiter oben geschrieben habe, dieser Schritt sei genau der richtige gewesen...
Multiplikation und Diviosion mit bekannten, von Null verschiedenen Zahlen sind sog. Äquivalenzumformungen. Man darf sie also bedenkenlos anwenden, so lange man auf beiden Seiten das gleiche tut!
PS: es vergeht wenig Zeit zwischen einer gegebenen Antwort und einer Rückfrage deinerseits. Auf der anderen Seite zeigt diese Frage hier, dass du die bisher gegebenen Antworten nicht wirklich durchgearbeitet hast. Nimm dir mehr Zeit, denke über die Dinge gründlicher nach, dann wirst du dadurch belohnt, dass du solche Dinge selbst hinbekommst!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 So 01.12.2013 | | Autor: | leasarfati |
danke, ich habe es richtig ausrechnen können:)
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ich habe in den Lösungen geguckt und die haben auch wie ich
[mm] \bruch{1}{3}x^{2}-1 [/mm] raus.
Um die Nullstellen auszurechnen, wurde dann Folgendes gemacht:
[mm] \bruch{1}{3}x^{2}-1 [/mm] = 0 -> [mm] x2=-\wurzel{3}, x3=\wurzel{3}
[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie sie darauf gekommen sind? Ich habe nämlich Folgendes raus: x1= 3 und x2=0!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 01.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> ich habe in den Lösungen geguckt und die haben auch wie
> ich
> [mm]\bruch{1}{3}x^{2}-1[/mm] raus.
Insgesamt also
[mm] f(x)=\frac{1}{3}\cdot(x-3)\cdot(x^{2}-3)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\cdot(x-3)\cdot(x-\sqrt{3})\cdot(x+\sqrt{3})
[/mm]
Nun kannst du die Nullstellen doch direkt ablesen.
>
> Um die Nullstellen auszurechnen, wurde dann Folgendes
> gemacht:
>
> [mm]\bruch{1}{3}x^{2}-1[/mm] = 0 -> [mm]x2=-\wurzel{3}, x3=\wurzel{3}[/mm]
>
> Kann mir jemand erklären, wie sie darauf gekommen sind?
Subtrahiere 1, dann muultipliziere mit 3, dann ziehe die Wurzel.
Alternativ die 3.Binomische Formel
[mm] (x^{2}-3)=(x+\sqrt{3})\cdot(x-\sqrt{3})
[/mm]
> Ich habe nämlich Folgendes raus: x1= 3 und x2=0!
Wie hast du denn das fabriziert?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 So 01.12.2013 | | Autor: | leasarfati |
okay, danke. Das habe ich jetzt verstanden!
Wie ich das fabriziert habe? Ich habe das, was ich bei der Polynomdivision rausbekommen habe, in den Taschenrechner als pq-Formel eingeben und da kam dann 3 und 0 raus... (naja, jetzt weiß ich ja, wie es geht:))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 So 01.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay, danke. Das habe ich jetzt verstanden!
>
> Wie ich das fabriziert habe? Ich habe das, was ich bei der
> Polynomdivision rausbekommen habe, in den Taschenrechner
> als pq-Formel eingeben und da kam dann 3 und 0 raus...
> (naja, jetzt weiß ich ja, wie es geht:))
Was hast du denn als p und was als q genommen?
Und hast du auch die 1/3 vor dem x noch betrachtet?
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 So 01.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die Nullstellen mithilfe der pq-Formel:
Das das nicht geht, hat Dipohant ja schon bestätigt.
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3[/mm]
Wenn du hier geschickt ausklammerst, wird es sehr hübsch.
[mm] f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3
[/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\cdot\left(x^{3}-3x^{2}-(3x-9)\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\cdot\left(x^{2}\cdot(x-3)-3\cdot(x-3)\right)
[/mm]
Klammere in der Klammer die Klammer (x-3) noch einmal aus.
Marius
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