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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Nullstellen ln-Fkt.Schar
Nullstellen ln-Fkt.Schar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Di 15.01.2008
Autor: hase-hh

Aufgabe
Moin,

untersucht werden soll hier eine Funktionenschar.

k > 0, x > 0

[mm] f_k(x) [/mm] = ln x + ln [mm] \bruch{x}{k} [/mm] * ( ln [mm] \bruch{x}{k} [/mm] -1)

a) Bestimme die Nullstellen in Abhängigkeit von k.

b)  Zeige, dass F(x) = x* (ln [mm] x)^2 [/mm] -2x* ln x + 2x   eine Stammfunktion zu [mm] f_1 [/mm] ist.

Der Rest ist gelöst.

Moin!

Also um mit b) zu beginnen...

[mm] f_1 [/mm] = ln x + ln x (ln x -1)

habe also F(x) abgeleitet:

F ' (x) = 1 * (ln [mm] x)^2 [/mm] + x * 2 ln x [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - 2 * ln x - 2x* [mm] \bruch{1}{x} [/mm] +2

F ' (x) = (ln x [mm] )^2 [/mm]  

ok, wenn ich dazu ln x  addiere und wieder abziehe erhalte ich:

F ' (x) = (ln [mm] x)^2 [/mm] + ln x - lnx     bzw.

F ' (x) = ln x + (ln [mm] x)^2 [/mm] - ln x

F ' (x) = ln x + ln x * (ln x -1)

zu a) ist mir bisher nichts passendes eingefallen.

0 = ln x + ln [mm] \bruch{x}{k} [/mm] * ( ln [mm] \bruch{x}{k} [/mm] -1)

ich könnte die gleichung durch ln x teilen, oder mit e verknüpfen... weiss aber nicht, ob das überhaupt sinn macht.

Danke für eure Hilfe!

Gruß
Wolfgang

        
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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Di 15.01.2008
Autor: ullim

Hi Wolfgang,

ist es richtig das k [mm] \in \IN [/mm] gilt oder ist k eine reelle Zahl?

mfg ullim

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Bezug
Nullstellen ln-Fkt.Schar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Di 15.01.2008
Autor: hase-hh

Moin,

in der Aufgabe wird (wie üblich) nur eingeschränkt, dass k > 0 sein soll. Also auch reelle Werte annehmen darf.

In der Regel rechnen wir aber in der Schule doch mit ganzen Zahlen einer Funktionenschar... denke aber, mgl. wäre auch z.B. eine funktion [mm] f_{\wurzel{3}} [/mm] o.ä.


Gruß
Wolfgang

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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Di 15.01.2008
Autor: DaReava

Hallo!
Leider ist es eine Zeit lang her, dass ich sowas das letzte mal gerechnet hab, deswegen bin ich mir nicht 100%ig sicher, ob das so alles erlaubt ist.

Hier jedoch die "Lösung" für (a), wie ich sie mir vorstelle:

[mm] f(x) = lnx + ln\bruch{x}{k} * (ln\bruch{x}{k} - 1) = lnx + (ln\bruch{x}{k})^2 - ln\bruch{x}{k} = 0 [/mm]

[mm] \gdw e^{lnx} + (e^{ln\bruch{x}{k}})^2 - e^{ln\bruch{x}{k}} = e^{0} [/mm]

[mm] \gdw x + (\bruch{x}{k})^2 - \bruch{x}{k} = 1 [/mm]

[mm] \gdw \bruch{xk^2}{k^2} + \bruch{x^2}{k^2} - \bruch{xk}{k^2} = \bruch{xk^2 + x^2 - xk}{k^2} = 1 [/mm]

[mm] \gdw xk^2 + x^2 - xk = k^2 \gdw x^2 + x(k^2 - k) - k^2 = 0 [/mm]


Weiter habe ich jetzt noch nicht gerechnet, aber ab hier müsste die Lösungsformel dann direkt zum Ziel führen.

Ich hoffe dass ich da jetzt nichts falsches vorgemacht habe, ansonsten viel Glück noch!

lg reava



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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 22:21 Di 15.01.2008
Autor: ullim

Hi reava

> Hallo!
>  Leider ist es eine Zeit lang her, dass ich sowas das
> letzte mal gerechnet hab, deswegen bin ich mir nicht 100%ig
> sicher, ob das so alles erlaubt ist.
>  
> Hier jedoch die "Lösung" für (a), wie ich sie mir
> vorstelle:
>  
> [mm]f(x) = lnx + ln\bruch{x}{k} * (ln\bruch{x}{k} - 1) = lnx + (ln\bruch{x}{k})^2 - ln\bruch{x}{k} = 0[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{lnx} + (e^{ln\bruch{x}{k}})^2 - e^{ln\bruch{x}{k}} = e^{0}[/mm]

hier müsste stehen

[mm] e^{lnx} [/mm] * [mm] e^{(ln\bruch{x}{k})^2} [/mm] * [mm] e^{-ln\bruch{x}{k}} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm]


>  
> [mm]\gdw x + (\bruch{x}{k})^2 - \bruch{x}{k} = 1[/mm]
>  
> [mm]\gdw \bruch{xk^2}{k^2} + \bruch{x^2}{k^2} - \bruch{xk}{k^2} = \bruch{xk^2 + x^2 - xk}{k^2} = 1[/mm]
>  
> [mm]\gdw xk^2 + x^2 - xk = k^2 \gdw x^2 + x(k^2 - k) - k^2 = 0[/mm]
>  
>
> Weiter habe ich jetzt noch nicht gerechnet, aber ab hier
> müsste die Lösungsformel dann direkt zum Ziel führen.
>  
> Ich hoffe dass ich da jetzt nichts falsches vorgemacht
> habe, ansonsten viel Glück noch!
>  
> lg reava
>  
>  


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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Di 15.01.2008
Autor: hase-hh

moin!

jetzt bin ich etwas verwirrt.

wenn

ln(x) + [mm] (ln{\bruch{x}{k}})^2 [/mm] - [mm] ln(\bruch{x}{k}) [/mm] =0    

verknüpft mit der e-Funktion das ergibt...

[mm] e^{ln(x)} [/mm] * [mm] e^{ln(\bruch{x}{k})^2} [/mm] * [mm] e^{ln(\bruch{x}{k})} [/mm] =0    


wie kommt man darauf???

macht es keinen unterschied ob vor den (ursprünglichen) summanden ein plus oder ein minus steht???


und wenn ich nun die linke seite  komplett mit e verknüpfe...

macht das einen unterschied?

[mm] e^{ln(x) + (ln(\bruch{x}{k}^2) - ln(\bruch{x}{k})} [/mm] = [mm] e^0 [/mm]  


und wenn ich mit dem term oben weiter rechne:

[mm] e^{ln(x)} [/mm] * [mm] e^{ln(\bruch{x}{k})^2} *e^{ln(\bruch{x}{k})} [/mm] =0    

dann erhalte ich doch:


x * [mm] \bruch{x^2}{k^2}*\bruch{x}{k} [/mm] = 1

[mm] \bruch{x^4}{k^3} [/mm] = 1

damit erhalte ich ein weiteres ergebnis... :-)


x = [mm] \wurzel[4]{k^3} [/mm]

oder nicht???

Gruß
Wolfgang




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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Di 15.01.2008
Autor: ullim

Hi,

>  
> jetzt bin ich etwas verwirrt.
>
> wenn
>
> ln(x) + [mm](ln{\bruch{x}{k}})^2[/mm] - [mm]ln(\bruch{x}{k})[/mm] =0    
>
> verknüpft mit der e-Funktion das ergibt...
>  
> [mm]e^{ln(x)}[/mm] * [mm]e^{ln(\bruch{x}{k})^2}[/mm] * [mm]e^{ln(\bruch{x}{k})}[/mm]
> =0    
>

Normale Potenzregel und am Ende der Gleichung heißt es [mm] e^0 [/mm]

>
> wie kommt man darauf???
>  
> macht es keinen unterschied ob vor den (ursprünglichen)
> summanden ein plus oder ein minus steht???
>  
>
> und wenn ich nun die linke seite  komplett mit e
> verknüpfe...
>
> macht das einen unterschied?
>
> [mm]e^{ln(x) + (ln(\bruch{x}{k}^2) - ln(\bruch{x}{k})}[/mm] = [mm]e^0[/mm]  
>
>
> und wenn ich mit dem term oben weiter rechne:
>  
> [mm]e^{ln(x)}[/mm] * [mm]e^{ln(\bruch{x}{k})^2} *e^{ln(\bruch{x}{k})}[/mm] =0
>    
>
> dann erhalte ich doch:
>  
>
> x * [mm]\bruch{x^2}{k^2}*\bruch{x}{k}[/mm] = 1
>  
> [mm]\bruch{x^4}{k^3}[/mm] = 1
>  
> damit erhalte ich ein weiteres ergebnis... :-)
>  
>
> x = [mm]\wurzel[4]{k^3}[/mm]
>  
> oder nicht???
>  
> Gruß
>  Wolfgang
>  
>
>  


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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Di 15.01.2008
Autor: ullim

Hi Wolfgang,

die Gleichung kann umgeschrieben werden in

ln(x)+(ln(x)-ln(k))*(ln(x)-ln(k)-1)

also

[mm] (ln(x)-ln(k))^2+ln(k) [/mm] = 0

Da jeder Summand [mm] \ge [/mm] 0 ist muss gelten

ln(x)=ln(k) und ln(k)=0

also x=1

mfg ullim

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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Mi 16.01.2008
Autor: hase-hh

Du schreibst, dass das Ergebnis x=1 ist.  (unabhängig von k).

Gleichzeitig kommt aber etwas anderes heraus, nach der von dir korrigierten rechnung von reava.

???

Gruß
Wolfgang

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Nullstellen ln-Fkt.Schar: oberer Weg ist falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Mi 16.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Wolfgang!


Der ganz oben genannte Weg ist nicht richtig, da Du nicht gleich die ganze Gleichung "e hoch" nehmen kannst, um die Nullstellen zu bestimmen.


Gruß vom
Roadrunner


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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:56 Mi 16.01.2008
Autor: hase-hh

ok. das würde also bedeuten, dass es nur die funktion [mm] f_1 [/mm] der funktionenschar bei x=1 eine nullstelle hat?!

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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Mi 16.01.2008
Autor: Maggons

Mein Rechner spuckt als Nullstelle [mm] x=e^{-1}-1 [/mm] aus, was aber irgendwie nicht sein kann.

x=1 ist aber leider keine Nullstelle bei k=1, da dann " ln(x-1) " zu ln(0) wird, was undefiniert ist.

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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:56 Mi 16.01.2008
Autor: ullim

Hi Maggons,

die Gleichung die zu lösen war lautet

[mm] ln(x)+ln(\bruch{x}{k})*(ln(\bruch{x}{k})-1) [/mm] also

für x = 1 und k = 1 folgt

ln(1)+ln(1)*(ln(1)-1)) = 0 + 0*(0-1) = 0 also ist x = 1 für k = 1 eine Nullstelle.

Aus der Ableitung der Lösung folgt aber auch das es nur Nullstellen für k = 1 gibt. Also ist die einzige Nullstelle x = 1, und das für k = 1.

mfg ullim

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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Mi 16.01.2008
Autor: Maggons

Oh entschuldige bitte vielmals ich habe die falsche Funktion abgeschrieben bzw. eine fehlerhafte Umformung.

x=1 als Nullstelle bei k=1 stimmt natürlich :)

Vergiss meine Antwort da oben; das sind die Lösungen für eine "andere Funktion".

Lg

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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Warum denn nicht?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:18 Do 17.01.2008
Autor: rainerS


> Hallo Wolfgang!
>  
>
> Der ganz oben genannte Weg ist nicht richtig, da Du nicht
> gleich die ganze Gleichung "e hoch" nehmen kannst, um die
> Nullstellen zu bestimmen.

Warum soll das nicht gehen? Die Exponentialfunktion ist auf ganz [mm]\IR[/mm] streng monoton steigend und daher bijektiv.

Viele Grüße
   Rainer

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Nullstellen ln-Fkt.Schar: Nicht für k<1
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 01:12 Do 17.01.2008
Autor: rainerS


> Hi Wolfgang,
>  
> die Gleichung kann umgeschrieben werden in
>  
> ln(x)+(ln(x)-ln(k))*(ln(x)-ln(k)-1)
>  
> also
>  
> [mm](ln(x)-ln(k))^2+ln(k)[/mm] = 0
>  
> Da jeder Summand [mm]\ge[/mm] 0 ist muss gelten

Das ist nur richtig für [mm]k\ge 1[/mm].

> ln(x)=ln(k) und ln(k)=0
>  
> also x=1

Daraus folgt also: für k>1 gibt es keine Nullstelle, für k=1 gibt es eine Nullstelle x=1.

Für 0<k<1 ist [mm]\ln k<0[/mm], daher ist:

[mm] \ln x = \ln k\pm \wurzel{-\ln k}[/mm]

oder:

[mm] x= k \mathrm{e}^{\pm\wurzel{-\ln k}[/mm]

Viele Grüße
   Rainer

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Bezug
Nullstellen ln-Fkt.Schar: Von vorne!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Mi 16.01.2008
Autor: Zwerglein

Hi, Wolfgang,

> untersucht werden soll hier eine Funktionenschar.
>
> k > 0, x > 0
>
> [mm]f_k(x)[/mm] = ln x + ln [mm]\bruch{x}{k}[/mm] * ( ln [mm]\bruch{x}{k}[/mm] -1)
>  
> a) Bestimme die Nullstellen in Abhängigkeit von k.

> zu a) ist mir bisher nichts passendes eingefallen.
>
> 0 = ln x + ln [mm]\bruch{x}{k}[/mm] * ( ln [mm]\bruch{x}{k}[/mm] -1)

Das ganze läuft auf eine Substitution mit anschließendem Diskriminantenproblem hinaus!

Wenn Du zunächst einmal beachtest, dass [mm] ln(\bruch{x}{k}) [/mm] = ln(x)-ln(k) ist, kannst Du umformen:

[mm] f_{k}(x) [/mm] = ln(x) + [mm] (ln(x)-ln(k))^{2} [/mm] - ln(x)+ln(k)

= [mm] (ln(x))^{2} [/mm] -2*ln(k)*ln(x) + [mm] (ln(k))^{2} [/mm] + ln(k).

Nun substituierst Du z=ln(x) und Du kriegst eine quadratische Gleichung in z:
[mm] z^{2} [/mm] -2*ln(k)*z + [mm] (ln(k))^{2} [/mm] + ln(k) =0

Die zugehörige Diskriminante ist:

D= [mm] (2ln(k))^{2} [/mm] - [mm] 4*((ln(k))^{2} [/mm] + ln(k))

= [mm] 4*ln(k)^{2} [/mm] - [mm] 4*ln(k))^{2} [/mm] - 4*ln(k) = -4*ln(k).

(1) Für k=1 gibt es eine Lösung, nämlich z=0, was über die Rücksubstitution zu x=1 führt. (Diesen Spezialfall kanntest Du ja schon!)

(2) Für ln(k) > 0 ist D < 0 und es gibt KEINE Lösung.
Wann ist ln(k) > 0 ? Natürlich für k > 1.

(3) Für ln(k) < 0 ist D > 0 und es gibt zwei Lösungen.
Also: Für 0 < k < 1 gibt es 2 Lösungen, nämlich:

[mm] z_{1/2} [/mm] = ln(k) [mm] \pm \wurzel{-ln(k)} [/mm]

Die zugehörigen x-Werte findest Du durch Rücksubstitution!
(z=ln(x) <=> x = [mm] e^{z}.) [/mm]
Die schreib' ich Dir jetzt aber nicht auch noch auf!

mfG!
Zwerglein

PS: Nachrechnen bitte, da keine Garantie auf Rechen- oder Tippfehler!!!


Bezug
                
Bezug
Nullstellen ln-Fkt.Schar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mi 16.01.2008
Autor: ullim

Hi,

ich denke was Du da gerechnet hast ist alles korrekt. Bei meiner Lösung bin ich davon ausgegangen dass k [mm] \in \IN [/mm] gilt.

mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Nullstellen ln-Fkt.Schar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:51 Do 17.01.2008
Autor: hase-hh

vielen dank zwerglein,


gruß
wolfgang




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