Nullstellen sin^2(x)+cos(x) < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 09.02.2008 | | Autor: | aenima |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=sin^2(x)+cos(x) [/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage bis jetzt in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Meine Frage lautet also:
Ich möchte zu folgender Funktion [mm] y=sin^2(x)+cos(x) [/mm] die Nullstellen berechnen, finde dazu aber keinen Rechenweg. Die Berechnungen der Extrema und Wendepunkte kann man durch Herausheben und Trennen der Faktoren erreichen:
y'=2*sin(x)*cos(x)-sin(x)=sin(x)*(2*cos(x)-1)
Bei der Berechnung der NST kann ich mir aber leider nicht helfen. Habt ihr vielleicht eine Möglichkeit? Annährung?
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> [mm]f(x)=sin^2(x)+cos(x)[/mm]
> Ich möchte zu folgender Funktion [mm]y=sin^2(x)+cos(x)[/mm] die
> Nullstellen berechnen
Hallo,
Du kannst folgendes tun:
es ist ja [mm] sin^{2}x+cos^{2}x=1,
[/mm]
also ist f(x)=1 - [mm] \cos^ [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x.
Nun machst Du folgendes: [mm] t:=\cos [/mm] x
[mm] 0=1-t^2+t
[/mm]
<==> [mm] t^2-t-1=0 [/mm] und jetzt weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 09.02.2008 | | Autor: | aenima |
Tja, das habe ich leider alles schon probiert:
1) Substitution (dein Vorschlag)
2) Umformung:
[mm] sin^2(x)=-cos(x)
[/mm]
[mm] sin^2(x)/cos(x)=-1
[/mm]
2b) von da aus dann:
sin(x)*tan(x)=-1
3) das Additionstheorem:
[mm] sin^2(x)=1/2-1/2*cos(2x)
[/mm]
Lösung nach DERIVE lautet +-2,24
Könntest du diese Varianten bitte durchrechnen? Danke im Voraus.
PS: Kann erst wieder in 2-3 Stunden antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 09.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Tja, das habe ich leider alles schon probiert:
>
> 1) Substitution (dein Vorschlag)
>
> 2) Umformung:
>
> [mm]sin^2(x)=-cos(x)[/mm]
> [mm]sin^2(x)/cos(x)=-1[/mm]
Beides ist leider falsch.
Es gilt [mm] \sin^2 [/mm] x + [mm] \cos^2 [/mm] x = 1, daraus folgt [mm] \sin^2 [/mm] x = 1 - [mm] \cos^2 [/mm] x (und das ist was anderes als [mm] -\cos [/mm] x).
>
> 2b) von da aus dann:
>
> sin(x)*tan(x)=-1
>
> 3) das Additionstheorem:
>
> [mm]sin^2(x)=1/2-1/2*cos(2x)[/mm]
Das bringt nichts. Damit hast du eine Gleichung mit [mm] \cos2x [/mm] und [mm] \cosx.. [/mm] Wie willst du das verarbeiten?
Es glt [mm] \cos2x=\cos^2x-\sin^2x [/mm] (und damit hättest du den gerade beseitigten Sinus wieder drin).
Der einzig vernünftige Weg ist Variante 1. Zeige bitte mal, wie weit du damit kommst.
>
>
>
> Lösung nach DERIVE lautet +-2,24
>
>
> Könntest du diese Varianten bitte durchrechnen? Danke im
> Voraus.
>
>
> PS: Kann erst wieder in 2-3 Stunden antworten.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Sa 09.02.2008 | | Autor: | aenima |
| Aufgabe | | f(x)=sin(x)+tan(x) |
Okay, ich bekomme als Ergebnisse t1=1,6180 (das ich insofern ignorieren kann, da -1<cos<1) und t2=-0,6180. Der Winkel in Grad lautet dann 128,73°, im Bogenmaß ist das Ergebnis 2,237.
Also hab ich mich wohl damals einfach nur verrechnet :)
Danke trotzdem für die Antworten.
Ich hätte dann noch eine Frage, sofern es euch nicht stört:
Bei der Funktion, die ich oben angeführt habe, kann ich also mit tan(x)=sin(x)/cos(x) vorgehen, oder muss ich dabei etwas noch anderes beachten?
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> Okay, ich bekomme als Ergebnisse t1=1,6180 (das ich
> insofern ignorieren kann, da -1<cos<1) und t2=-0,6180. Der
> Winkel in Grad lautet dann 128,73°, im Bogenmaß ist das
> Ergebnis 2,237.
Hallo,
wenn Du sämtliche Nullstellen suchst, ist das, was Du bisher ausgerechnet hast, nur ein Teil der Wahrheit.
> Bei der Funktion, die ich oben angeführt habe, kann ich
> also mit tan(x)=sin(x)/cos(x) vorgehen,
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Sa 09.02.2008 | | Autor: | aenima |
Die Bedingung [mm] N(k*\pi/0), k\in\IZ [/mm] kenne ich, also ist das kein Problem. Danke für die Antworten.
[Edit:]Achso, du meintest die goniometrischen Gleichungen. Mit den Reduktionsformeln bekomme ich dann als Ergebnis [mm] x_{2}=4,046.
[/mm]
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> Die Bedingung [mm]N(k*\pi/0), k\in\IZ[/mm] kenne ich, also ist das
> kein Problem. Danke für die Antworten.
>
> [Edit:]Achso, du meintest die goniometrischen Gleichungen.
> Mit den Reduktionsformeln bekomme ich dann als Ergebnis
> [mm]x_{2}=4,046.[/mm]
Hallo,
ja, genau den Verlust dieses Ergebnisses wollte ich verhindern.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 09:38 So 10.02.2008 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
$f(x)=0 [mm] \iff \sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos(x) [/mm] = 0 [mm] \iff (1-\cos^2(x)) [/mm] + [mm] \cos(x)=0 \iff -\cos^2(x) [/mm] + [mm] \cos(x) [/mm] + 1 = 0 [mm] \iff \cos^2(x) [/mm] - [mm] \cos(x) [/mm] - 1 = 0 $
Substitution [mm] $\cos(x) [/mm] = u$ liefert
[mm] $u^2 [/mm] - u - 1=0$.
Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Rücksubstitution.
Keine sonderlich eleganten Lösungen.
Ableitung:
[mm] $\left(\sin^2(x) + \cos(x)\right)' [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] 2\,\sin \left( x \right) \cos \left( x \right) -\sin \left( x \right) [/mm] $.
Lösungstipp: Faktorisieren, Satz vom Nullprodukt
Lösungen: $0; [mm] \pm \frac \pi [/mm] 3$ (Auswahl)
Gruß
mathemak
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:39 So 10.02.2008 | | Autor: | angela.h.b. |
> [mm] \sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos(x) [/mm] = 0 [...]
> Substitution [mm]\cos(x) = u[/mm] [...]
>
> Keine sonderlich eleganten Lösungen.
Hallo,
Dir mag dieser Lösungsweg nicht sehr elegant vorkommen.
Er hat jedoch eine bestechende Eigenschaft: er liefert das korrekte Ergebnis.
Ich weiß ja nicht so recht, was Du Dir bei der Ableiterei gedacht hast, aber daß sie nicht zum Ziele führt, kannst Du durch Einsetzen der von Dir errechneten Punkte schnell sehen: Nullstellen sind das nicht...
Ich glaube, ich weiß jetzt doch, wo Dein Denkfehler liegt.
Die Tatsache, daß die durch [mm] f(x):=\sin^{2}{x}+\cos{x} [/mm] definierte Funktion eine Nullstelle hat, heißt keinesfalls, daß es sich bei f um die Nullfunktion handelt.(!)
Daher ist Dein Schluß, daß die Ableitung =0 ist, verkehrt, und bei kurzen Nachdenken qwerden Dir viele Funktionen einfallen, die an ihren Nullstellen keine horizontalen Tangenten haben.
Gruß v. Angela
>
> Ableitung:
>
> [mm]\left(\sin^2(x) + \cos(x)\right)' = \ldots = 2\,\sin \left( x \right) \cos \left( x \right) -\sin \left( x \right) [/mm].
>
> Lösungstipp: Faktorisieren, Satz vom Nullprodukt
>
> Lösungen: [mm]0; \pm \frac \pi 3[/mm] (Auswahl)
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