Nullstellen von Polynomen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 22.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit dem Satz von Rolle, dass eine Polynomfunktion
$p: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
$ x [mm] \mapsto \summe_{j=0}^{n}a_{j}*x^{j}$
[/mm]
vom Grad $n>0$ mit reellen Koeffizienten [mm] $a_{1},..,a_{n}$ [/mm] höchstens n Nullstellen hat. |
Hallo,
habe ein paar Fragen zum Beweis.
Also die Definition von Rolle ist mir ja klar.
Der Beweis läuft auch bestimmt über Induktion.
Induktion-Anfang: $n=1:$ [mm] $p(x)=a_{1}*x^{1}+a_{0}$.
[/mm]
Und hier ist mir klar, dass es hier ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gibt, mit $p(x)=0$, da hier für n=1 die Funktion eine Gerade ist.
Also [mm] $0=p(x)=a_{1}*x^{1}+a_{0}$
[/mm]
[mm] $0=a_{1}*x^{1}+a_{0}$
[/mm]
[mm] $x=\bruch{-a_{0}}{a_{1}}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt genau 1 (=n) Nullstelle.
Aber wie geht es jetzt weiter.
Also Ind.Vor. kann ich ja nicht annehmen, dass $p(x)$ n Nullstellen hat, da das ja zu zeigen ist.
Und was hat der Satz von Rolle hiermit zu tun ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Nimm an, das Polynom besäße $n+1$ Nullstellen [mm] $x_1
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 22.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Also,
Ind. Beh: Für [mm] $p(x)=\summe_{j=0}^{n}a_{j}*x^{j}$ [/mm] gibt es höchstens n Nullstellen.
Ind.Anf.:
$n=1:$ [mm] $p(x)=a_{1}x^{1}+a_{0}$ \Rightarrow $x=\bruch{-a_{0}}{a_{1}}$ \Rightarrow [/mm] es existiert genau ein x : p(x)=0.
( [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert kein $c [mm] \in \IR [/mm] : p'(c)=0$)
$n=2:$ [mm] $p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}$ \Rightarrow [/mm] Nach PQ gibt es höchstens 2 Nullstellen. [mm] \Rightarrow [/mm] es existieren maximal zwei x : [mm] p(x_{1})=0=p(x_{2})
[/mm]
( [mm] \Rightarrow [/mm] (Nach Rolle) Es existiert ein $c [mm] \in \IR [/mm] : p'(c)=0$)
Ind.Vor.: Für [mm] $p(x)=\summe_{j=0}^{n}a_{j}*x^{j}$ [/mm] gibt es höchstens n Nullstellen [mm] \Rightarrow [/mm] (Nach Rolle) Es existieren (n-1) $c [mm] \in \IR [/mm] : p'(c)=0$)(???)
Ind.Bew.:
[mm] $p(x)=\summe_{j=0}^{n+1}a_{j}*x^{j}$ [/mm] mit
[mm] $x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n+1} [/mm] : [mm] p(x_{1})=...=p(x_{n+1})=0$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existieren [mm] $c_{i} \in [x_{i},x_{i+1}]$ [/mm] für $i=1,...,n: [mm] p'(c_{i})=0$
[/mm]
Wenn man nun p(x) Ableitet folgt:
[mm] $p'(x)=\summe_{j=1}^{n+1}j*a_{j}*x^{j-1}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Nach Vor.) Es existieren n-Nullstellen, da aber es ein [mm] c_{i} [/mm] gibt mit [mm] p'(c_{i})=0 \Rightarrow [/mm] Es existieren n+1 Nullstellen für p(x).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 22.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> Ind.Anf.:
Also bevor du noch n=3 extra beweist, ein Geheimnis: n=0 reicht sogar, und ist vollständig trivial (dabei muss man beachten, das der führende Koeffizient, hier dann [m]a_0[/m] nicht 0 sein darf, das muss man bei n=1,2 aber auch berücksichtigen.)
> Ind.Vor.: Für [mm]p(x)=\summe_{j=0}^{n}a_{j}*x^{j}[/mm] gibt es
> höchstens n Nullstellen [mm]\Rightarrow[/mm] (Nach Rolle) Es
> existieren (n-1) [mm]c \in \IR : p'(c)=0[/mm])(???)
Ind.vorr. ist, dass es für jedes Polynom vom Grad n maximal n Nullstellen gibt.
> Ind.Bew.:
> [mm]p(x)=\summe_{j=0}^{n+1}a_{j}*x^{j}[/mm] mit
> [mm]x_{1} < ... < x_{n+1} : p(x_{1})=...=p(x_{n+1})=0[/mm]
Das ist jetzt ein bel. Polynom mit Grad n+1 - dann solltest du jetzt mal bis [m]x_{n+2}[/m] gehen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existieren [mm]c_{i} \in [x_{i},x_{i+1}][/mm] für
> [mm]i=1,...,n: p'(c_{i})=0[/mm]
Hier geht der Satz von Rolle ein. Die macht bei dir blos n Nullstellen, wenn man es korrigiert macht es n+1 Nullstellen. Die Ableitung von p ist ein Polynom vom Grad n und man kann Ind.vorr anwenden.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Also:
Induktion nach n:
Ind.Beh.: Polynome vom Grad n haben höchstens n Nullstellen.
Ind.Anfang:$n=0: [mm] p(x)=0=a_{0}$, [/mm] da [mm] a_{n}>0 [/mm] nach Vor. folgt: Polynom vom Grad 0 hat 0 Nullstellen. Somit wahr.
[mm] Ind.Schritt:$n\to [/mm] n+1$
Ind.Vor: Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
Also zu beweisen:$ [mm] \summe_{j=0}^{n+1}a_{j}*x^{j}$ [/mm] hat höchstens n+1 Nullstellen.
Ind.Bew:
Zeile 1: Sei [mm] $x_{1}<...
Zeile 2: [mm] \exists $c_{i} \in$ $[x_{i},x_{i+1}]: [/mm] i=1,...,n$, mit [mm] $p'(c_{i})=0$
[/mm]
Zeile 3: [mm] $p´(x)=\summe_{j=1}^{n}j*a_{j}*x^{j-1}+a_{n+1}*x^{n+1}$
[/mm]
Zeile 4: [mm] (Ind.Vor)\Rightarrow [/mm] p'(x) hat höchstens n Nullstellen (da es ja vom Grad n ist.
Also hier hänge ich jetzt. Die Zeile 4 ist vermutlich nicht ganz richtig.
Wie geht der Beweis zu Ende.
Wäre für Hilfe sehr dankbar, da ich hier einfach keinen Bezug zur Aufgabe finde.
Danke.
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Hallo und guten Abend,
solltest Du nicht in Zeile 1 bereits annehmen, das Polynom habe n+2 (anstatt n+1) Nullstellen, und dies dann ueber Deine Schlussweise zum Widerspruch fuehren ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ahh........ wenn ich es richtig verstanden habe, dann muss es dann so lauten:
Induktion nach n:
Ind.Beh.: Polynome vom Grad n haben höchstens n Nullstellen.
Ind.Anfang:$n=0: [mm] p(x)=0=a_{0}$, [/mm] da [mm] a_{n}>0 [/mm] nach Vor. folgt: Polynom vom Grad 0 hat 0 Nullstellen. Somit wahr.
[mm] Ind.Schritt:$n\to [/mm] n+1$
Ind.Vor: Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
Also zu beweisen:$ [mm] \summe_{j=0}^{n+1}a_{j}*x^{j}$ [/mm] hat höchstens n+1 Nullstellen.
Ind.Bew:(Widerspruch)
Zeile 1: Sei [mm] $x_{1}<...
Zeile 2: [mm] \exists $c_{i} \in$ $[x_{i},x_{i+2}]: [/mm] i=1,...,n+1$, mit [mm] $p'(c_{i})=0$
[/mm]
Zeile 3: Daraus folgt, dass $p´(x)$ n+1 Nullstellen hat.
Zeile 4: Da aber nach Ind.Vor. [mm] \Rightarrow [/mm] p'(x) hat höchstens n Nullstellen (da es ja vom Grad n ist), zeigt sich hier ein Widerspruch [mm] \Rightarrow
[/mm]
Ein Polynom mit Grad n+1 hat höchstens n+1 Nullstellen.
Ist das so richtig, oder fehlt da noch was in der Beweisführung ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Di 24.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo DeusRa!
Das ist richtig so! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Julius
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