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Nullstellen von Polynomen: Polynom vom Grad n
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Mi 11.07.2012
Autor: ConstantinJ

Aufgabe
Sei [mm] p:\IR \to \IR [/mm] ein Polynom
a) Seien [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] versch. Nullstellen von p.
Zeigen Sie, dass die Ableitung p' eine Nullstelle [mm] x_3 [/mm] mit [mm] x_1 b) Nehmen Sie an,p habe k Nullstellen. Zeigen Sie, dass p' mindestens k -1 Nullstellen hat.
c) Zeigen Sie mittels Induktion, dass ein von Null verschiedenes Polynom vom Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen hat.

Hallo,

also die a) und b) sind eigentlich klar

a)(skizze)
ich weiß [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] und [mm] p(x_1)=p(x_2)=0 [/mm]
ich weiß auch das p diffbar ist
also kann den Satz von Rolle (Ralle) anwenden
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt [mm] x_3 \in (x_1,x_2) [/mm] mit p'(x) =0
b) (skizze)
ich wähle als Nullstellen von p : [mm] {x_1,...,x_k} [/mm]
da alle verschieden
O.E.: [mm] x_1 dann wende ich a) k-1 mal an
( also jeweils für [mm] x_i [/mm] und [mm] x_{i+1} [/mm] )

c) hier hab ich jetzt meine Probleme
Induktion nach n
IA: ist klar
IV: Für ein n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] p_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i x^i [/mm]
hat höchstens n Nullstellen.

IS: Hier weiß ich jetzt nicht genau was besser ist.
n [mm] \to [/mm] n-1 (ich müsste also zeigen, dass min eine Nullstelle wegfällt)
also hab versucht zu zeigen, dass eine Nullstelle wegfällt
[mm] p_{n-1} =\summe_{i=o}^{n-1} a_i x^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i x^i -a_n x^n [/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n} a_i x^i -a_n x^n [/mm] =0
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n} a_i x^i =a_n x^n [/mm]      | [mm] :a_n [/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n} \bruch{a_i}{a_n} x^i [/mm] = [mm] x^n [/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n-1} \bruch{a_i}{a_n} x^i +x^n =x^n [/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n-1} \bruch{a_i}{a_n} x^i [/mm] =0

(hier weiß ich aber nicht weiter )

Ich habs auch mit [mm] n\to [/mm] n+1 versucht
dann müsste ich ja zeigen, dass maximal eine Nullstelle hinzukommt. (komme dann aber auch auf kein ergebnis)

oder kann ich mit der a) und b) arbeiten
also mein [mm] p_{n+1} [/mm] ableiten?



mfg

ConstantinJ



        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Mi 11.07.2012
Autor: Diophant

Hallo,

a) und b) sehen IMO gut aus. Der fragliche Satz ist der Satz von Rolle.

Weshalb gehst du bei der c nicht einfach über die maximal mögliche Anzahl an Linearfaktoren?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Mi 11.07.2012
Autor: ConstantinJ

Wie kann ich das dann in eine Induktion packen ?


Bezug
                        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mi 11.07.2012
Autor: SEcki


> Wie kann ich das dann in eine Induktion packen ?

Am besten gar nicht.

Aber mal ein Tip: wenn ein Polynom zweiten Grades drei Nullstellen hätte, dann hätte die Ableitung (vom Grade 1) nach b mindestens 2 - Widerspruch.

(Das ist die _komplette_ und _vollständige_ Beweisidee!)

SEcki


Bezug
                                
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:56 Do 12.07.2012
Autor: ConstantinJ

ok, stimmt, da hätte ich wirklich selbst drauf kommen könnnen.
Danke.

Also hier mal mein Lösungsversuch:
[mm] a_n \not=0, a_i \in\IR [/mm]  , [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {0,1,...,n}
IA:n=1
[mm] p_1=a_1 [/mm] x [mm] +a_0 [/mm] =0
[mm] \gdw a_1 [/mm] x [mm] =-a_0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{-a_0}{a_1} (\in \IR) [/mm]
[mm] \Rightarrow p_1 [/mm] hat genau eine Nullstelle (stimmt)
I.V.: Für ein n [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt: ein Polynom [mm] p_n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k x^k [/mm]  n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen

I.S.: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] p_{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} a_k x^k [/mm]
Angenommen: [mm] p_{n+1} [/mm] hat n+2 Nullstellen.
[mm] p_{n+1}' [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}ka_k x^{k-1} [/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} (k+1)a_{k+1} x^k [/mm]
(Setze : [mm] (k+1)a_{k+1}=: b_k [/mm] )
= [mm] \summe_{k=0}^{n}b_k x^k [/mm]
[mm] P_{n+1}' [/mm] ist ein Polynom n-ten Grades.
Durch die Annahme und b) gilt dann,
[mm] P_{n+1}' [/mm] hat mindestens (n+2)-1 =n+1 Nullstellen.
Widerspruch zur Induktionsvorrausetzung.

also: Behhauptung stimmt.

Bezug
                                        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:01 Do 12.07.2012
Autor: fred97


> ok, stimmt, da hätte ich wirklich selbst drauf kommen
> könnnen.
>  Danke.
>
> Also hier mal mein Lösungsversuch:
> [mm]a_n \not=0, a_i \in\IR[/mm]  , [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {0,1,...,n}
>  IA:n=1
>  [mm]p_1=a_1[/mm] x [mm]+a_0[/mm] =0
>  [mm]\gdw a_1[/mm] x [mm]=-a_0[/mm]
>  [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\bruch{-a_0}{a_1} (\in \IR)[/mm]
>  [mm]\Rightarrow p_1[/mm] hat
> genau eine Nullstelle (stimmt)
>  I.V.: Für ein n [mm]\in \IN_0[/mm] gilt: ein Polynom [mm]p_n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_k x^k[/mm]  n-ten Grades hat höchstens n
> Nullstellen

Die IV lautet so: für ein n [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt: jedes Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.


>  
> I.S.: n [mm]\to[/mm] n+1
>  [mm]p_{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n+1} a_k x^k[/mm]
>  Angenommen: [mm]p_{n+1}[/mm]
> hat n+2 Nullstellen.
>  [mm]p_{n+1}'[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n+1}ka_k x^{k-1}[/mm]
>  =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (k+1)a_{k+1} x^k[/mm]
>  (Setze : [mm](k+1)a_{k+1}=: b_k[/mm]
> )
>  = [mm]\summe_{k=0}^{n}b_k x^k[/mm]
>  [mm]P_{n+1}'[/mm] ist ein Polynom n-ten
> Grades.
>  Durch die Annahme und b) gilt dann,
>  [mm]P_{n+1}'[/mm] hat mindestens (n+2)-1 =n+1 Nullstellen.
> Widerspruch zur Induktionsvorrausetzung.
>  
> also: Behhauptung stimmt.  

Ja

FRED


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