Nullstellen von e-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne die Nullstellen von f(x)= x*e^(1-x)! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gibt es nicht unendlich viele Nullstellen?
Die erste, die mir sofort aufgefallen ist, ist x=0.
Das kann man auch rechnerisch belegen:
0=x*e^(1-x)
Es existiert die Regel: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.
Also ist x=0, womit die Regel erfüllt wäre.
0=e^(1-x) I ln
ln 0=ln (e^[1-x]) --> ln0= nicht definiert
Aus diesem Grund habe ich gedacht, dass es nur eine Nullstelle gibt und sich der Graph der x-Achse zwar stark nähert, sie aber nicht wieder berührt.
Das Programm Geogebra hat mir aber eine Nullstelle bei (746,48/0) angezeigt, weshalb ich eine Wertetabelle angelegt habe. Durch diese habe ich heraus gefunden, dass schon bei x=300 der Funktionswert Null beträgt.
Aber wie kann das sein?
0=e^(1-x) kann doch eigentlich niemals null werden oder doch?
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Huhu,
> Gibt es nicht unendlich viele Nullstellen?
Die Aussage steht irgendwie im Widerspruch zu dem, was du hier später gezeigt hast.... aber machen wir erstmal weiter.
> Die erste, die mir sofort aufgefallen ist, ist x=0.
> Das kann man auch rechnerisch belegen:
> Es existiert die Regel: Ein Produkt ist Null, wenn
> mindestens ein Faktor Null ist.
Soweit, so gut und richtig.
> Also ist x=0, womit die Regel erfüllt wäre.
>
> 0=e^(1-x) I ln
> ln 0=ln (e^[1-x]) --> ln0= nicht definiert
Richtig.
> Aus diesem Grund habe ich gedacht, dass es nur eine
> Nullstelle gibt und sich der Graph der x-Achse zwar stark
> nähert, sie aber nicht wieder berührt.
Richtig
> Das Programm Geogebra hat mir aber eine Nullstelle bei
> (746,48/0) angezeigt, weshalb ich eine Wertetabelle
> angelegt habe. Durch diese habe ich heraus gefunden, dass
> schon bei x=300 der Funktionswert Null beträgt.
> Aber wie kann das sein?
Nennt sich Rechenungenauigkeit 
> 0=e^(1-x) kann doch eigentlich niemals null werden oder
> doch?
Richtig, [mm]e^{\text{irgendwas}}[/mm] ist immer grösser als Null, insofern gibt es nur eine Nullstelle.
MfG,
Gono.
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Vielen Dank erst Mal für die schnelle Bearbeitung. ;)
Aber was mich wundert: Ich habe Mal als Argument 300 eingesetzt und komischerweise als Funktionswert Null erhalten!
Wie geht das, wo doch e^irgendwas ;) nie Null werden kann?!
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> Vielen Dank erst Mal für die schnelle Bearbeitung. ;)
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> Aber was mich wundert: Ich habe Mal als Argument 300
> eingesetzt und komischerweise als Funktionswert Null
> erhalten!
>
> Wie geht das, wo doch e^irgendwas ;) nie Null werden kann?!
Hallo,
das liegt daran, daß die Funktion für x=300 verflixt nah an 0 dran ist, so nah, daß Dein Taschenrechner nicht mehr merkt, daß es von 0 verschieden ist.
Dein Taschenrechner kann nicht ganz genau rechnen, und in solchen "Krisenfällen" wie [mm] e^{300} [/mm] macht sich das bemerkbar.
Gruß v. Angela
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ah...danke schön! stunden des verwirrtseins umsonst. ;)
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| Aufgabe | Berechne den Flächeninhalt unter der Wendetangente t(x)=
-0,386x+1,472! Die x-Achse, die beiden Geraden x=0 und x=2 sowie die Wendetangente begrenzen ein Trapez! Es wird durch f in zwei Flächenstücke geteilt. Bestimmen Sie die prozentualen Anteile der beiden Flächenstücke an der Gesamtfläche des Trapez! |
Ich bin mir unsicher, ob ich zu f(x) die richtige Stammfunktion gebildet habe!
[mm] f(x)=x^n [/mm] --> F(x)=1/(n+1)*x(n+1)
Das bedeutet:
f(x)= x*e^(1-x) --> F(x)=1/2x²*e^(1-x)
Aber dann erhalte ich bei dem Flächeninhalt unter f 0,736 cm²! Dabei beträgt die Fläche unter der Wendetangente 2,208 cm² und die Fläche über f aber unter der Wendetangente beträgt sicherlich nicht 1,472 cm²!
Offensichtlich habe ich irgendwo einen Fehler gemacht und ich schätze, der liegt bei der Bildung der Stammfunktion.
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> Berechne den Flächeninhalt unter der Wendetangente t(x)=
> -0,386x+1,472! Die x-Achse, die beiden Geraden x=0 und x=2
> sowie die Wendetangente begrenzen ein Trapez! Es wird durch
> f in zwei Flächenstücke geteilt. Bestimmen Sie die
> prozentualen Anteile der beiden Flächenstücke an der
> Gesamtfläche des Trapez!
> Ich bin mir unsicher, ob ich zu f(x) die richtige
> Stammfunktion gebildet habe!
Hallo,
bitte beachte die Eingabehilfen für die Formeln, die Du unterhalb des Eingabefensters findest.
Man kann es so sehr schlecht lesen und verstehen.
Ich hoffe, ich habe alles richtig übersetzt.
>
> [mm]f(x)=x^n[/mm] --> [mm] F(x)=\bruch{1}{n+1}*x^{n+1}
[/mm]
Das stimmt.
> Das bedeutet:
>
> f(x)= [mm] x*e^{1-x} [/mm] --> [mm] F(x)=1/2x²*e^{1-x}
[/mm]
Ob diese Stammfunktion stimmt, kannst Du herausfinden, indem Du sie ableitest. Es muß ja F'(x)=f(x) sein.
Das ist heir nicht der Fall.
Du müßtest mal erklären, wie Du die Stammfunktion gefunden hast.
Normalerweise würde man partiell integrieren.
Gruß v. Angela
>
> Aber dann erhalte ich bei dem Flächeninhalt unter f 0,736
> cm²! Dabei beträgt die Fläche unter der Wendetangente 2,208
> cm² und die Fläche über f aber unter der Wendetangente
> beträgt sicherlich nicht 1,472 cm²!
>
> Offensichtlich habe ich irgendwo einen Fehler gemacht und
> ich schätze, der liegt bei der Bildung der Stammfunktion.
>
>
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| Aufgabe | | Geben Sie die Stammfunktion von [mm] f(x)=x\*e^{1-x} [/mm] an! |
Hmm...also ich dachte, man rechnet das so:
[mm] f(x)=x^{n} [/mm] --> F(x)= 1/{1+n}
[mm] f(x)=x*e^{1-x}
[/mm]
Das n wäre ja in diesem Fall 1, oder? Und x würde somit zu 1/2x² werden oder nicht?
Hmm...also wenn ich von [mm] F(x)=1/2x²*e^{1-x} [/mm] ausrechne, komme ich auf f! Komisch!
Die Ableitung von 1/2x² ist doch x oder nicht? Und die Ableitung von [mm] e^{1-x} [/mm] ist doch [mm] e^{1-x} [/mm] oder?
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> Geben Sie die Stammfunktion von [mm]f(x)=x\*e^{1-x}[/mm] an!
> Hmm...also ich dachte, man rechnet das so:
>
> [mm]f(x)=x^{n}[/mm] --> F(x)= 1/{1+n}
>
> [mm]f(x)=x*e^{1-x}[/mm]
>
> Das n wäre ja in diesem Fall 1, oder? Und x würde somit zu
> 1/2x² werden oder nicht?
>
> Hmm...also wenn ich von [mm]F(x)=1/2x²*e^{1-x}[/mm] ausrechne, komme
> ich auf f! Komisch!
Hallo,
Du siehst aber, daß das ein Produkt ist, also mit der Produktregel abgeleitet werden muß ?
>
> Die Ableitung von 1/2x² ist doch x oder nicht?
Ja.
> Und die
> Ableitung von [mm]e^{1-x}[/mm] ist doch [mm]e^{1-x}[/mm] oder?
Nein, Du mußt noch mit der inneren Ableitung multiplizieren, also mit (-1).
Und, wie gesagt: Produktregel.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Geben Sie die Stammfunktion von [mm] f(x)=x\*e^{1-x} [/mm] an! |
Ah ja, habe die Produktregel außer Acht gelassen!
Aber welche Regel muss ich denn nun bei der Stammfunktionsberechnung anwenden?
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Hallo Tag_und_Nacht,
> Geben Sie die Stammfunktion von [mm]f(x)=x\*e^{1-x}[/mm] an!
> Ah ja, habe die Produktregel außer Acht gelassen!
>
> Aber welche Regel muss ich denn nun bei der
> Stammfunktionsberechnung anwenden?
Zur Bestimmung der Stammfunkion wendet man die partielle Integration an.
Gruss
MathePower
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