Nullstellen vs. Linearfaktoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Lieben!
Habe mit folgender Frage Probleme:
Sei K ein Körper. Man beweise: [mm] a)\gdw [/mm] b).
a) Jedes Polynom [mm] q\in [/mm] K[x] mit [mm] Grad(q)\ge1 [/mm] hat in K eine Nullstelle.
b) Jedes Polynom [mm] q\in [/mm] K[x] mit [mm] Grad(q)\ge1 [/mm] zerfällt in K[x] in Linearfaktoren, d.h. es gibt [mm] a_{1},...,a_{n}\inK [/mm] mit [mm] q=(x-a_{1})*(x-a_{2})*...*(x-a_{n}). [/mm]
So, nun habe ich mir überlegt:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Hat q(x) die Nullstelle [mm] a_{1}\in [/mm] K, so gilt zunächst
[mm] q(x)=(x-a_{1})*f_{1}(x) [/mm] mit einem [mm] f_{1}(x)\in [/mm] K[x]. Hat [mm] f_{1}(x) [/mm] die Nullstelle [mm] a_{2}\in [/mm] K, wobei auch [mm] a_{1}=a_{2} [/mm] gelten kann, so gilt dann [mm] q(x)=(x-a_{1})*(x-a_{2})*f_{2}(x) [/mm] für ein [mm] f_{2}\in [/mm] K[x]. Setzt man dieses Verfahren fort, bricht man nach n Schritten ab und erhält:
[mm] q(x)=(x-a_{1})*(x-a_{2})*...*(x-a_{n})*f_{n}(x).
[/mm]
So weit bin ich gekommen. Ist damit nun b) schon gezeigt? Aber was ist dann mit dem [mm] f_{n}(x)?
[/mm]
Die Rückrichtung müsste dann doch analog gehen, oder gibt es noch einen leichteren Beweis?
Wäre lieb, wenn ihr mir helfen könntet! Lieben Gruß Jessi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:13 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Holgi |
Hallo Jessi,
ich kann dir zwar keine 100% Gewähr auf meine Antwort geben
(meine Algebra-Prüfung liegt schon etwas zurück),
aber ich versuchs mal trotzdem mal.
Also die Rückrichtung b) -> a) müsste offensichtlich sein, denn die
$ [mm] a_{1},...,a_{n}\inK [/mm] $ sind ja Nullstellen in K, insbesondere hat also
jedes $ [mm] q\in [/mm] $ K[x] mit $ [mm] Grad(q)\ge1 [/mm] $ eine Nullstelle in K.
zu a) -> b)
dein Ansatz ist richtig.
Ganz wichtig ist allerdings noch zu erwähnen, dass der Grad von $ [mm] f_{1}(x)$ [/mm] echt kleiner ist, als der Grad von deinem
$ [mm] q(x)=(x-a_{1})\cdot{}f_{1}(x) [/mm] $
(dafür gibt's bestimmt einen Satz aus deiner Vorlesung!!)
Das ist beim nächsten Schritt wieder so, usw.
Nur so kommst du nach endlich vielen Schritten zum Ende
$ [mm] f_{n}(x)=(x-a_{n}) [/mm] $
und damit zur Linearfaktordarstellung
$ [mm] q=(x-a_{1})\cdot{}(x-a_{2})\cdot{}...\cdot{}(x-a_{n}). [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Hallo Holger!
Vielen Dank für deine Antwort. Sie hat mir sehr weitergeholfen. Bin nämlich gerade dabei meine alte Algebra Klausur aufzuarbeiten, und da Algebra nicht gerade meine Stärke ist, stehe ich manchmal ganz schön auf dem Schlauch! Also, nochmals Danke!
PS.: Habe auch BWL im Nebenfach, hab gestern gerade meine Operation Research-Klausur geschrieben 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
> Ich hatte am Anfang auch so meine Probleme mit Algebra.
Bei mir liegt das wahrscheinlich daran, dass ich in den ersten beiden Semester meine Aufgaben für Lin. Algebra selten alleine gemacht und meistens das Ende des Beweises nur abgeschrieben habe.
Im dritten Semester habe ich das meiste alleine gemacht und dadurch auch viel mehr verstanden! Aber besonders gut bin ich dennoch nicht ( die Grundlagen fehlen halt!).
> Bei der mündlichen Prüfung (in Lineare Algebra) zum
> Vordiplom bin ich sogar beim ersten Mal durchgefallen.
Hoffentlich blüht mir das nicht auch! Hab auch schon richtig Bammel vor meinen mündlichen Prüfungen!
> Ich konnte zwar alles rechnen, hatte aber keine Ahnung von
> Definitionen und Hintergrund (und das geht natürlich
> nicht).
> Die zweite Prüfung war dann besser (Note 2) und im
> Hauptdiplom hab ich alle Prüfungen, die was mit Algebra zu
> tun haben auch schon hinter mir gelassen.
>
> Jetzt bereite ich mich gerade auf meine letzten beiden
> mündlichen Prüfungen vor.
> Eine in BWL und eine in Stochastik/Statistik.
> Und dann ist's vorbei mit dem Studentenleben
Na, dann drücke ich dir ganz doll die Daumen für deine Prüfungen!
Liebe Grüße Jessi
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