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Hallo!
Ich muss die Nullstellen des Terms
[mm] \bruch {1}{2} \wurzel{x}-a [/mm]
berechnen.
Dann habe ich
[mm] \wurzel{x} = 2a[/mm]
Als nächstes muss ich die Gleichung potenzieren. Genau da ist meine Frage. Gibt es jetzt zwei Lösungen oder nur x = 4a² ?
Vielen Dank schon mal.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Di 19.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Substituierer,
> Hallo!
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> Ich muss die Nullstellen des Terms
> [mm]\bruch {1}{2} \wurzel{x}-a[/mm]
> berechnen.
> Dann habe ich
> [mm]\wurzel{x}[/mm] = [mm]2a[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als nächstes muss ich die Gleichung potenzieren. Genau da ist meine
> Frage. Gibt es jetzt zwei Lösungen oder nur x = 4a² ?
Nun ja, die Antwort auf deine Frage hängt gewissermaßen von deinem $a$ ab. Zunächst hattest du ja:
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]\wurzel{x}=2a[/mm]
zu lösen. Nun ist aber [mm] $\wurzel{x} \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0;\infty[$ [/mm] (beachte auch, dass [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] im reellen für $x<0$ nicht definiert ist!).
Ist nun $a<0$, so ist also die Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] für kein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gültig, weil dann dort auf der rechten Seite immer eine Zahl $<0$ (nämlich $2a$) steht und auf der linken Seite, sofern die Wurzel definiert ist, eine Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$.
Im Falle [mm] $a\ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]\wurzel{x}=2a[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x=4a²$.
(Das [mm] $\gdw$ [/mm] bedeutet ja (hier):
Aus [mm] $\wurzel{x}=2a$ $\Rightarrow$ [/mm] $x=4a²$ (das ist das [mm] $\Rightarrow$-Zeichen [/mm] des Zeichens [mm] $\gdw$; [/mm] diese Richtung sieht man, indem man auf beiden Seiten der Gleichung [mm] $\wurzel{x}=2a$ [/mm] quadriert!) und:
aus $x=4a²$ [mm] $\Rightarrow$ $\wurzel{x}=2a$ [/mm] (das ist das [mm] $\Leftarrow$-Zeichen [/mm] des Zeichens [mm] $\gdw$!).
[/mm]
Die Folgerung:
$x=4a²$ [mm] $\Rightarrow$ $\wurzel{x}=2a$
[/mm]
ist aber i.A. falsch, weil ja auch [mm] $\wurzel{x}=-2a$ [/mm] als "Lösung" in Frage käme.
(Hier kann man das ganze etwas verifizieren:
Aus $x=4a²$ folgt entweder [mm] ($\star_1$) $\wurzel{x}=2a$ [/mm]
oder [mm] ($$\star_2) $\wurzel{x}=-2a$.
[/mm]
Es gilt präziser:
$x=4a²$ [mm] $\stackrel{a \ge 0}{\Rightarrow}$ $\wurzel{x}=2a$
[/mm]
($a [mm] \ge0$ [/mm] steht über dem Folgerungspfeil, man kann es, glaube ich, schlecht erkennen!)
und
$x=4a²$ [mm] $\stackrel{a < 0}{\Rightarrow}$ $\wurzel{x}=-2a$.
[/mm]
(hier steht $a<0$ über dem Folgerungspfeil!)
Eben, weil stets [mm] $\wurzel{x} \ge [/mm] 0$, sofern die Wurzel definiert ist.)
Aber unter der Voraussetzung $a [mm] \ge [/mm] 0$ ist sie richtig:
[mm] $x=4a^2$ $\stackrel{a \ge0}{\Rightarrow}$ $\wurzel{x}=2a$.
[/mm]
(Hier steht wieder $a [mm] \ge0$ [/mm] über dem Folgerungspfeil!)
Fazit:
Im Falle $a<0$ ist die Lösungsmenge [mm] $\IL_{a<0}=\emptyset$, [/mm] im Falle [m]a \ge0[/m] ist [mm] $\IL_{a \ge 0}=\{4a²\}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Marcel
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Vielen Dank für diese ausführliche Antwort!
Ich habe jetzt soweit alles verstanden und die zusätzliche PN hat mir viel Klarheit verschafft. Ich denke ich weiß jetzt alles zu diesem Thema 
Viele Grüße und besten Dank
Substituierer
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