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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Zirbe |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Nullstellen von:
f(x) = x - ln(1+x) |
Also ich hab das folgendermaßen gemacht:
x - ln (1+x) = 0
x - 0 - ln(x) = 0
ln(x) = x
x = [mm] e^{x}
[/mm]
Es soll aber x= 0 als Nullstelle rauskommen.
Darf ich das so machen:
x (1 - ln) = 0 damit das erste x Null ist? Aber ich glaub ja nicht, weil ich dann in der Klammer kein x habe.
Bitte bitte um Hilfe :)
Lg
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Hallo!
> Berechnen Sie die Nullstellen von:
> f(x) = x - ln(1+x)
> Also ich hab das folgendermaßen gemacht:
>
> x - ln (1+x) = 0
> x - 0 - ln(x) = 0
Ui ui ui, was haben wir denn hier gemacht? Du darfst nicht einfach die Funktionsvorschrift des ln ausmultiplizieren; diese Vorschrift stellt keinen Faktor im Sinne des Distributivgesetzes dar. Ich würde wie folgt vorgehen:
Wir haben
f(x)=x-ln(1+x), aus [mm] f(x)=0\Rightarrow [/mm] x-ln(1+x)=0
Umstellen der Gleichung liefert
x=ln(1+x)
Durch Anwendung von [mm] e^{x} [/mm] (der Umkehrfunktion des ln(x)), erhält man
[mm] e^{x}=e^{ln(1+x)}
[/mm]
Nun darfst du mal versuchen fortzufahren. 
> ln(x) = x
> x = [mm]e^{x}[/mm]
>
> Es soll aber x= 0 als Nullstelle rauskommen.
> Darf ich das so machen:
> x (1 - ln) = 0 damit das erste x Null ist? Aber ich glaub
> ja nicht, weil ich dann in der Klammer kein x habe.
>
> Bitte bitte um Hilfe :)
> Lg
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Zirbe |
Hi Marcel,
erstmal danke für deine Antwort.
Ja, bei sowas würde ich jetzt ja nen Exponenten-Vergleich machen aber dann hab ich wieder da stehen, was du vorher hingeschrieben hast.
Tut mir leid, ich komm einfach nicht drauf. Sitz jetzt seit ner Stunde drüber. Wäre sehr nett, wenn du mir die Lösung sagen könntest.
LG
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> Hi Marcel,
>
> erstmal danke für deine Antwort.
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> Ja, bei sowas würde ich jetzt ja nen Exponenten-Vergleich
> machen aber dann hab ich wieder da stehen, was du vorher
> hingeschrieben hast.
>
> Tut mir leid, ich komm einfach nicht drauf. Sitz jetzt seit
> ner Stunde drüber. Wäre sehr nett, wenn du mir die
> Lösung sagen könntest.
>
> LG
Wir haben ja [mm] e^{x}=e^{ln(1+x)}
[/mm]
Daraus erhält man
[mm] e^{x}=1+x, [/mm] mit [mm] e^{ln(x)}=ln(e^{x})=x, [/mm] (ähnlich wie [mm] \wurzel[n]{x^{n}}=(\wurzel[n]{x})^{n}=x)
[/mm]
Also hat man wieder durch Umstellen
[mm] e^{x}-x=1
[/mm]
Frage an dich: Für welche x ist diese Gleichung erfüllt?
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Zirbe |
Für x=0, das ist klar.
Aber wie rechne ich da schriftlich weiter damit ich auf die x=0 komme? Ich muss es ja sicher nicht nur sehen, dass es x=0 ist,sondern auch beweisen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
mit Auflösen wirst Du nicht viel Glück haben. Geht nicht. Brauchst Du aber auch nicht. =)
1. f(0)=0, einfach durch Einsetzen. Damit ist bewiesen, daß 0 eine Nullstelle ist.
2. Jetzt mußt Du noch zeigen, daß es die einzige Nullstelle ist. Dazu kannst Du z.B. feststellen, daß die Funktion auf ihrem Definitionsbereich stetig ist, links von der Nullstelle fällt und rechts davon wächst.
3. Fertig.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Zirbe |
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ohne euch würde ich noch die ganze Nacht hier mit dem Mist sitzen ;)
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Man sollte halt versuchen, markante Punkte der beiden Funktionen wie
[mm] e^{0}=1, [/mm] ln(1)=0
und eben die Beziehung
[mm] ln(e^{x})=e^{ln(x)}=x
[/mm]
vielleicht auch durch eine Skizze, im Hinterkopf zu behalten.
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Fr 12.03.2010 | | Autor: | abakus |
> > Hi Marcel,
> >
> > erstmal danke für deine Antwort.
> >
> > Ja, bei sowas würde ich jetzt ja nen Exponenten-Vergleich
> > machen aber dann hab ich wieder da stehen, was du vorher
> > hingeschrieben hast.
> >
> > Tut mir leid, ich komm einfach nicht drauf. Sitz jetzt seit
> > ner Stunde drüber. Wäre sehr nett, wenn du mir die
> > Lösung sagen könntest.
> >
> > LG
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>
>
> Wir haben ja [mm]e^{x}=e^{ln(1+x)}[/mm]
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>
>
> Daraus erhält man
>
>
> [mm]e^{x}=1+x,[/mm] mit [mm]e^{ln(x)}=ln(e^{x})=x,[/mm] (ähnlich wie
Hallo, wenn man die Potenzreihe von [mm] e^x [/mm] kennt, kann man an dieser Stelle aufhören.
x MUSS jetzt 0 sein.
Gruß Abakus
> [mm]\wurzel[n]{x^{n}}=(\wurzel[n]{x})^{n}=x)[/mm]
>
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>
> Also hat man wieder durch Umstellen
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>
> [mm]e^{x}-x=1[/mm]
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> Frage an dich: Für welche x ist diese Gleichung erfüllt?
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>
> Gruß, Marcel
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