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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Emilia |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit [mm] f(x)=3x^4-12x^3+12x^2-3
[/mm]
Bestimmen Sie die Nullstellen, die Lage und die Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.
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Nullstelle:
[mm] f(x)=3x^4-12x^3+12x^2-3
[/mm]
= x * [mm] (3x^3-12x^2+12x) [/mm] - 3
[mm] 3x^3-12x^2+12x-3/(x-1)=3x^2-9x+3
[/mm]
[mm] -3x^3+3x^2
[/mm]
__________
[mm] -9x^2+12x
[/mm]
[mm] 9x^2+ [/mm] 9x
_________
3x-3
-3x+3
_____
0
[mm] 0=3x^2-9x+3|/3
[/mm]
= [mm] x^2-3x+1
[/mm]
p/q-Formel
[mm] x_1/_2=\bruch{3}{2}\pm\wurzel{(\bruch{3}{4})^2-1}
[/mm]
[mm] x_1=2,6
[/mm]
[mm] x_2=0,4
[/mm]
Lage und Art von Extremstellen
[mm] f'(x)=12x^3-36x^2+24x
[/mm]
[mm] f''(x)=36x^2-72x+24
[/mm]
f'''(x)=72x-72
[mm] f'(x)=12x^3-36x^2+24x
[/mm]
[mm] 0=12x^3-36x^2+24x
[/mm]
[mm] =x^2 [/mm] * (12x-36) +24 [mm] x^2=Nullstelle
[/mm]
=36x-36
=1
[mm] f(x)=3x^4-12x^3+12x^2-3
[/mm]
[mm] f(1)=3*1^4-12*1^3+12*1^2-3
[/mm]
=0
[mm] P_E [/mm] (1/0)
Bei der Bestimmung der Wendepunkte bekomme ich ganz utopische Werte raus...
[mm] P_W_1 [/mm] (0/0)
[mm] P_W_2 [/mm] (2/99)
stimmt das??? ich bezweifel...
wäre sehr nett, wenn jemand drüber gucken könnte...
Liebe Grüße
Emy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
also bei f''(x)=0 bekomme ich folgendes raus:
[mm] x_{1}=-\bruch{1}{3}*(\wurzel{3}-3) [/mm] und
[mm] x_{2}=\bruch{1}{3}*(\wurzel{3}+3)
[/mm]
Und für die beiden is [mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
Vll hilft dir das ja weiter.
Bis denne
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Hallo,
also ich hänge momentan an der gleichen Aufgabe. Und leider bin ich mir bei den Nullstellen etwas unsicher. Ich komme zwar zu den gleichen Ergebnissen, doch wenn ich mir den Graphen mit Algebra anzeigen lassen, sind ganz andere Nullstellen eingezeichnet. Zum Beispiel bei -0,4.
Zudem sind die oben genannten Nullstellen in der Grafik garnicht die Nullstellen!? Mache ich etwas falsch?
Grüße und einen schönen Sonntag Abend
Daniel
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Hi Daniel,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") *smile* !!!
Die Nullstellen der Funktion f(x) = [mm] 3x^{4} [/mm] - [mm] 12x^{3} [/mm] + [mm] 12x^{2} [/mm] - 3
lauten: [mm] x_{1,2} [/mm] = 1 und [mm] x_{3} [/mm] = 1 - [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] + 1
Der Graph sieht denn folgendermaßen aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
PS: In der obigen Berechnung wurden Fehler zur Berechnung der Nullstellen mit Polynomdivison gemacht. Das Restpolynom müsste dritter Ordnung sein, und nicht zweiter... (Folgefehler)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hey,
vielen Dank für die schnelle und nette Antwort. Nur irgendwie muss ich leider zugeben, dass es mit der Nullstellenberechnung noch nicht geklappt hat. Denn wenn ich die erste Polynomdivision durchführe f(x) = [mm] 3x^4-12x^3+12x^2-3 [/mm] / (x-1) kommt bei mit [mm] 3x^3-9x^2+3x-3 [/mm] heraus. Um die Nullstellen zu berechnen müsste ich jetzt ja noch einmal eine Polynomdivision durchführen, oder? Leider ist das hier aber mit dem Raten einer Nullstelle etwas schwieriger...!?
Denn wenn ich nur x ausklammere und dann versuche auf das Ergebnis zu kommen, klappt das irgendwie nicht, vermutlich geht es auf diesem Wege auch garnicht!?
Viele Grüße und besten Dank
Daniel
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Hallo Daniel,
das Ergebnis deiner Polynomdivision ist richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
[mm] \red{\text{doch nicht ganz, siehe unten im Edit..}}
[/mm]
Die Frage, ob [mm] 3x^2-9x^2+3x+3=3(x^3-3x^2+x+1) [/mm] weitere ganzzahlige Nullstellen hat, kannst du schnell klären, denn wenn es ganzzahlige Nullstellen gäbe, so wären sie Teiler des Absolutgliedes (dasjenige ohne x), also von 1.
Dh. ganzzahlige Kandidaten für eine Nullstelle von [mm] x^3-3x^2+x+1 [/mm] wären [mm] \pm [/mm] 1
Nun, ich denke, so findest du schnell die nächste NST und kannst eine weitere Polynomdivision machen, die dir ein Polynom 2ten Grades beschert, das du mit den "schönen" Standardverfahren weiter verarzten kannst
Gruß
schachuzipus
[mm] \red{EDIT:}
[/mm]
ich sehe gerade im Nachhinein, dass du doch einen kleinen Vorzeichenfehler hast
Das Ergebnis der ersten PD ist [mm] 3x^3-9x^2+3x\red{+}3
[/mm]
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Hallo,
super, jetzt ist es klar und kommt alles wie gewünscht raus :)
Vielen Dank für die Unterstützung und noch einen schönen Abend!
Daniel
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