Nullstellenbestimmung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 22.02.2009 | | Autor: | pehdr |
| Aufgabe | | Geben Sie alle komplexen Nullstellen des reellen Polynoms F = [mm] X^9 [/mm] + [mm] 3*X^6 [/mm] + [mm] 3*X^3 [/mm] + 1 an. |
Hallo,
Ich versuche die obige Aufgabe zu lösen und habe bisher folgendes gemacht. Man sieht ja, daß das Polynom die Koeffizienten die des Pascal'schen Dreiecks sind, ich habe es daher aufgeschrieben als:
F = [mm] (X^3 [/mm] + [mm] 1)^3
[/mm]
Dann habe ich [mm] X^3 [/mm] + 1 = 0 gelöst und bekomme dann die 3 Nullstellen
[mm] x_{0} [/mm] = 0.5 + [mm] \wurzel{3} [/mm] / 2 * i
[mm] x_{1} [/mm] = 0.5 - [mm] \wurzel{3} [/mm] / 2 * i
[mm] x_{2} [/mm] = -1
Ist das soweit richtig? Was muss ich denn jetzt weiter tun? Also die reelle Nullstelle -1 liegt ja drei mal vor, oder? Es muss doch insgesamt 9 Nullstellen geben, da das Polynom 9-ten Grades ist, nicht wahr?
Bitte gebt mir einen Hinweis, vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallp pehdr,
> Geben Sie alle komplexen Nullstellen des reellen Polynoms F
> = [mm]X^9[/mm] + [mm]3*X^6[/mm] + [mm]3*X^3[/mm] + 1 an.
> Hallo,
>
> Ich versuche die obige Aufgabe zu lösen und habe bisher
> folgendes gemacht. Man sieht ja, daß das Polynom die
> Koeffizienten die des Pascal'schen Dreiecks sind, ich habe
> es daher aufgeschrieben als:
>
> F = [mm](X^3[/mm] + [mm]1)^3[/mm]
>
> Dann habe ich [mm]X^3[/mm] + 1 = 0 gelöst und bekomme dann die 3
> Nullstellen
>
> [mm]x_{0}[/mm] = 0.5 + [mm]\wurzel{3}[/mm] / 2 * i
> [mm]x_{1}[/mm] = 0.5 - [mm]\wurzel{3}[/mm] / 2 * i
> [mm]x_{2}[/mm] = -1
>
> Ist das soweit richtig? Was muss ich denn jetzt weiter tun?
Ja, das ist soweit richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also die reelle Nullstelle -1 liegt ja drei mal vor, oder?
Ja, was heisst das dann für die anderen Nullstellen?
> Es muss doch insgesamt 9 Nullstellen geben, da das Polynom
> 9-ten Grades ist, nicht wahr?
So isses.
>
> Bitte gebt mir einen Hinweis, vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mo 23.02.2009 | | Autor: | pehdr |
Hallo MathePower, vielen Dank für die Antwort.
Also kommt jede Nullstelle 3 mal vor? Ich hatte das Polynom zur Kontrolle auf einer Webseite in eine Maske zur Nullstellenberechnung eingegeben und dort kamen noch andere komische Ergebnisse heraus, deshalb war ich mir nicht sicher.
Nun soll ich noch die Primfaktorzerlegung des Polynoms angeben. Ist damit die Linearfaktorzerlegung gemeint und ist da dies richtig:
F = (x + [mm] 1)^{3} [/mm] * ((x - [mm] \bruch{1}{2})^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2})^{3}
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
> Hallo MathePower, vielen Dank für die Antwort.
>
> Also kommt jede Nullstelle 3 mal vor?
Hallo,
ja.
> Ich hatte das Polynom
> zur Kontrolle auf einer Webseite in eine Maske zur
> Nullstellenberechnung eingegeben und dort kamen noch andere
> komische Ergebnisse heraus, deshalb war ich mir nicht
> sicher.
Ach, das waren bestimmt irgendwelche genäherten Nullen beim Imaginärteil von 1, die Du nicht als solche erkannt hast.
>
> Nun soll ich noch die Primfaktorzerlegung des Polynoms
> angeben. Ist damit die Linearfaktorzerlegung gemeint und
> ist da dies richtig:
>
> F = (x + [mm]1)^{3}[/mm] * ((x - [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] + [mm](\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2})^{3}[/mm]
F(x)= [mm] (x+1)^3*(x-(\bruch{1}{2}+ \bruch{\wurzel{3} }{2}i))^3(x-(\bruch{1}{2}- \bruch{\wurzel{3} }{2}i))^3
[/mm]
Das wäre die Zerlegung im Komplexen.
> (x + [mm]1)^{3}[/mm] * ((x - [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] + [mm](\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2})^{3}[/mm],
Dies ist die Zerlegung im Reellen, ich würd's noch ausmultiplizieren und sortieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Mo 23.02.2009 | | Autor: | pehdr |
Super, alles klar und vielen Dank!
|
|
|
|
