Nullstellenbestimmung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 06.06.2013 | | Autor: | sb01 |
Hallo! (Anm.: Ich habe leider keine Umlaute auf der Tastatur, bitte um Entschuldigung)
Ich bin grade dabei mit dem "Lambacher Schweizer, Mathematik fuer Gymnasien, Gesamtband Oberstufe mit CAS" meine Mathematikkentnisse der Oberstufe aufzufrischen.
In einer Aufgabe die unter "Ueben und Wiederholen mit Hilfsmitteln" steht, ergab sich folgender zu loesender Ausdruck:
cos(2x-180°)-sin(x-90°)=0
Die sinnvolle Loesung in diesem Fall ist x=120°.
"Geloest" habe ich diesen Ausdruck, indem ich den dazugehoerigen Graphen mit einer App auf meinem Smartphone dargestellt und mich graphisch an die (sinnvolle) Nullstelle herangetastet habe.
Meine Frage ist, gibt es einen rechnerischen Weg zu dem Ergebnis? (es geht auch als Radiant, wenn das der sinnvollere Weg ist) Oder ist nur eine numerische Loesung moeglich, wenn die Gleichung nicht "glatt" aufgeht?
(Anm.: "mit Hilfsmitteln" bedeutet in diesem Fall, dass man diesen CAS (mit Namen "Voyager 200") zum Loesen der Aufgabe benutzen kann (soll?). Ich habe spaeter auch versucht, die Gleichung mit Microsoft Mathematics zu loesen, aber ohne Eingabe als Radiant, dann Anzeigen der Gleichung und anschliessendem Eingrenzen des Definitionsbereich fuer x kommt da auch nichts sinnvolles raus. )
Falls ich irgendwas vergessen habe, was fuer eine eventuelle Beantwortung wichtig waere, lasst es mich wissen. Ich liefere es gerne nach.
Vielen Dank!
Sven
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo! (Anm.: Ich habe leider keine Umlaute auf der
> Tastatur, bitte um Entschuldigung)
>
> Ich bin grade dabei mit dem "Lambacher Schweizer,
> Mathematik fuer Gymnasien, Gesamtband Oberstufe mit CAS"
> meine Mathematikkentnisse der Oberstufe aufzufrischen.
>
> In einer Aufgabe die unter "Ueben und Wiederholen mit
> Hilfsmitteln" steht, ergab sich folgender zu loesender
> Ausdruck:
>
> cos(2x-180°)-sin(x-90°)=0
>
> Die sinnvolle Loesung in diesem Fall ist x=120°.
Du suchst ja auch nach einem rechnerischen Weg (generell, wenn man
keine andere Idee hat, bietet es sich oft an, mit den  Additionstheoremen
rumzuspielen):
[mm] $$\cos(2x-180^\circ)=\sin(x-90^\circ)$$
[/mm]
[mm] $$\iff \cos(2*(x-90^\circ))=\sin(x-90^\circ)$$
[/mm]
Substituieren wir mal [mm] $y:=x-90^\circ\,,$ [/mm] so haben wir
[mm] $$\cos(2y)=\sin(y)$$
[/mm]
zu lösen:
Nach den erwähnten Additionstheoremen [mm] ($\cos(2y)=\cos(y+y)$) [/mm] können wir
dies äquivalent umschreiben zu
[mm] $$\cos^2(y)-\sin^2(y)=\sin(y)$$
[/mm]
Der trigonometrische Pythagoras liefert nun
[mm] $$1-\sin^2(y)-\sin^2(y)=\sin(y)$$
[/mm]
[mm] $$\iff 1-2\sin^2(y)=\sin(y)$$
[/mm]
[mm] $$\iff \sin^2(y)+\frac{1}{2}\sin(y)-\frac{1}{2}=0\,.$$
[/mm]
Überzeuge Dich nun mit der PQFormel, dass diese Gleichung dazu führt,
dass Du Dir nun Gedanken über sowas wie die Lösbarkeit von einer oder
auch den folgenden Gleichungen (diese sind immer in der Notation [mm] $\pm$
[/mm]
enthalten!)
[mm] $$\sin(y)=-\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}$$
[/mm]
[mm] $$\iff \sin(y)=-\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}}$$
[/mm]
[mm] $$\iff \sin(y)=-\frac{1}{4}\pm \frac{3}{4}$$
[/mm]
machen musst!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Do 06.06.2013 | | Autor: | sb01 |
Hallo Marcel,
vielen Dank fuer deine Antwort, sie hat mir sehr geholfen!
Gruss,
Sven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Do 06.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo! (Anm.: Ich habe leider keine Umlaute auf der
> Tastatur, bitte um Entschuldigung)
>
> Ich bin grade dabei mit dem "Lambacher Schweizer,
> Mathematik fuer Gymnasien, Gesamtband Oberstufe mit CAS"
> meine Mathematikkentnisse der Oberstufe aufzufrischen.
Hallo,
das (der Wunsch zur Kenntnisauffrischung UND eine CAS-Orientierung) ist ein Widerspruch in sich.
>
> In einer Aufgabe die unter "Ueben und Wiederholen mit
> Hilfsmitteln" steht, ergab sich folgender zu loesender
> Ausdruck:
>
> cos(2x-180°)-sin(x-90°)=0
Laut Komplementwinkelbeziehung gilt sin(x-90°) =cos(x).
Somit hast du
cos(2x-180°) =cos(x).
Damit gilt sofort
[mm] 2x-180°=x+2k$\pi$ [/mm] und wegen cos(x)=cos(-x) auch
[mm] 2x-180°=-x+2k$\pi$.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Die sinnvolle Loesung in diesem Fall ist x=120°.
>
> "Geloest" habe ich diesen Ausdruck, indem ich den
> dazugehoerigen Graphen mit einer App auf meinem Smartphone
> dargestellt und mich graphisch an die (sinnvolle)
> Nullstelle herangetastet habe.
>
> Meine Frage ist, gibt es einen rechnerischen Weg zu dem
> Ergebnis? (es geht auch als Radiant, wenn das der
> sinnvollere Weg ist) Oder ist nur eine numerische Loesung
> moeglich, wenn die Gleichung nicht "glatt" aufgeht?
>
> (Anm.: "mit Hilfsmitteln" bedeutet in diesem Fall, dass man
> diesen CAS (mit Namen "Voyager 200") zum Loesen der Aufgabe
> benutzen kann (soll?). Ich habe spaeter auch versucht, die
> Gleichung mit Microsoft Mathematics zu loesen, aber ohne
> Eingabe als Radiant, dann Anzeigen der Gleichung und
> anschliessendem Eingrenzen des Definitionsbereich fuer x
> kommt da auch nichts sinnvolles raus. )
>
> Falls ich irgendwas vergessen habe, was fuer eine
> eventuelle Beantwortung wichtig waere, lasst es mich
> wissen. Ich liefere es gerne nach.
>
> Vielen Dank!
> Sven
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Abakus,
> > Hallo! (Anm.: Ich habe leider keine Umlaute auf der
> > Tastatur, bitte um Entschuldigung)
> >
> > Ich bin grade dabei mit dem "Lambacher Schweizer,
> > Mathematik fuer Gymnasien, Gesamtband Oberstufe mit
> CAS"
> > meine Mathematikkentnisse der Oberstufe aufzufrischen.
> Hallo,
> das (der Wunsch zur Kenntnisauffrischung UND eine
> CAS-Orientierung) ist ein Widerspruch in sich.
> >
> > In einer Aufgabe die unter "Ueben und Wiederholen mit
> > Hilfsmitteln" steht, ergab sich folgender zu loesender
> > Ausdruck:
> >
> > cos(2x-180°)-sin(x-90°)=0
>
> Laut Komplementwinkelbeziehung gilt sin(x-90°) =cos(x).
stimmt: Folgt auch direkt aus den Additionstheoremen.
Edit: Der Fehler war mir gar nicht aufgefallen, ich hätte es nachrechnen
sollen ^^ Natürlich gilt [mm] $\sin(x-90^\circ)=\red{\text{ -- }}\cos(x)=\cos(x+180^\circ)\,.$
[/mm]
Gut, dass Du noch den einfacheren Weg gezeigt hast. 
P.S. Hast Du ein (einfaches) Argument, wie Du von
[mm] $$\cos(2x-180^\circ)=\cos(x)$$
[/mm]
auf [mm] $2x-180^\circ=x +k*2\pi$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$) [/mm] kommst?
Für sowas muss man eigentlich eingeschränkte Funktionen betrachten und
dann die Periodizität ausnutzen - da steckt schon etwas mehr Überlegung
dahinter, wenn ich das richtig sehe!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Fr 07.06.2013 | | Autor: | sb01 |
Hallo Abakus,
vielen Dank für Deinen Beitrag.
> Hallo,
> das (der Wunsch zur Kenntnisauffrischung UND eine
> CAS-Orientierung) ist ein Widerspruch in sich.
Diese Aussage verstehe ich nicht eindeutig. Es wäre nett, wenn Du eine Begründung dazu angeben magst.
Ich möchte aber schon mal voraus schicken, dass der in Anführungsstriche gesetzte Ausdruck der komplette Name des Buches ist, welches ich im Moment benutze. Ungefähr die Hälfte der Bespiele im Buch beziehen sich auf den Voyager 200, einen CAS und ungefähr die Hälfte der Aufgaben sollen dann auch mit so einem CAS gelöst werden (Was ich persönlich höchst ärgerlich finde. Ich werde mich definitiv nach anderen Büchern umschauen, denn ich bin im Moment nicht bereit 200+ Euro für einen Taschenrechner auszugeben). Ich selber besitze keinen und versuche mich halt so "durchzubeißen". Smartphone Apps und PC nutze ich dann zur Kontrolle.
Meine Oberstufe ist 17 Jahre her und da tun sich doch auch gewaltige Lücken auf. Ich denke, ich weiß noch genau, was ich noch alles nicht weiß.
Führten vielleicht die übersehenen Anführungsstriche zu der Aussage?
> > cos(2x-180°)-sin(x-90°)=0
>
> Laut Komplementwinkelbeziehung gilt sin(x-90°) =cos(x).
> Somit hast du
> cos(2x-180°) =cos(x).
> Damit gilt sofort
> 2x-180°=x+2k[mm]\pi[/mm] und wegen cos(x)=cos(-x) auch
> 2x-180°=-x+2k[mm]\pi[/mm].
> Gruß Abakus
>
Hierzu habe ich Fragen:
Laut Darstellungsprogrammen ist sin(x-90°) = -cos(x)
Also, wenn ich diesen Ausdruck einsetzt dann erhalte ich:
cos(2x-180°) + cos(x) = 0 | <=>
cos(2x-180^) = -cos(x)
Der nächste Ausdruck, den Du schreibst lautet dann:
2x-180° = -x + 2k*180° , k [mm] \in \IZ
[/mm]
Welcher Rechenschritt ist da passiert? Augenscheinlich würde ich vermuten: cos^-1
Setzt man nun k=0 und stellt die Gleichung um, so erhält man für x = 60°.
Diese Antwort stimmt leider nicht.
Der von Dir genannte Ausdruck (sin(x-90°)=-cos(x)) sieht aber ganz sinnvoll aus, aber irgendwo muss da (später?) der Fehlerteufel drin stecken?
Gruß,
Sven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Abakus,
> vielen Dank für Deinen Beitrag.
>
> > Hallo,
> > das (der Wunsch zur Kenntnisauffrischung UND eine
> > CAS-Orientierung) ist ein Widerspruch in sich.
>
> Diese Aussage verstehe ich nicht eindeutig. Es wäre nett,
> wenn Du eine Begründung dazu angeben magst.
>
> Ich möchte aber schon mal voraus schicken, dass der in
> Anführungsstriche gesetzte Ausdruck der komplette Name des
> Buches ist, welches ich im Moment benutze. Ungefähr die
> Hälfte der Bespiele im Buch beziehen sich auf den Voyager
> 200, einen CAS und ungefähr die Hälfte der Aufgaben
> sollen dann auch mit so einem CAS gelöst werden (Was ich
> persönlich höchst ärgerlich finde. Ich werde mich
> definitiv nach anderen Büchern umschauen, denn ich bin im
> Moment nicht bereit 200+ Euro für einen Taschenrechner
> auszugeben). Ich selber besitze keinen und versuche mich
> halt so "durchzubeißen". Smartphone Apps und PC nutze ich
> dann zur Kontrolle.
> Meine Oberstufe ist 17 Jahre her und da tun sich doch auch
> gewaltige Lücken auf. Ich denke, ich weiß noch genau, was
> ich noch alles nicht weiß.
> Führten vielleicht die übersehenen Anführungsstriche zu
> der Aussage?
>
> > > cos(2x-180°)-sin(x-90°)=0
> >
> > Laut Komplementwinkelbeziehung gilt sin(x-90°) =cos(x).
> > Somit hast du
> > cos(2x-180°) =cos(x).
> > Damit gilt sofort
> > 2x-180°=x+2k[mm]\pi[/mm] und wegen cos(x)=cos(-x) auch
> > 2x-180°=-x+2k[mm]\pi[/mm].
> > Gruß Abakus
> >
>
> Hierzu habe ich Fragen:
> Laut Darstellungsprogrammen ist sin(x-90°) = -cos(x)
rechnen wir's mit den Additionstheoremen nach:
[mm] $$\sin(x-90^\circ)=\sin(x)\cos(90^\circ)-\sin(90^\circ)\cos(x)=\sin(x)*0-1*\cos(x)=\;-\;\cos(x)\,.$$
[/mm]
Du hast recht!
> Also, wenn ich diesen Ausdruck einsetzt dann erhalte ich:
>
> cos(2x-180°) + cos(x) = 0 | <=>
> cos(2x-180^) = -cos(x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der nächste Ausdruck, den Du schreibst lautet dann:
>
> 2x-180° = -x + 2k*180° , k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> Welcher Rechenschritt ist da passiert? Augenscheinlich
> würde ich vermuten: cos^-1
Nein, jedenfalls nicht nurda stecken ein paar Überlegungen dahinter. Der
eingeschränkte Kosinus hat eine Umkehrfunktion, nicht der [mm] $\cos\colon \IR \to [-1,1]\,.$
[/mm]
> Setzt man nun k=0 und stellt die Gleichung um, so erhält
> man für x = 60°.
> Diese Antwort stimmt leider nicht.
Ja, Du hast recht. Du kannst es so machen:
[mm] $$\cos(2x-180^\circ)=-\cos(x)$$
[/mm]
[mm] $$\iff \cos(2x-180^\circ)-\cos(x+180^\circ)=0\,.$$
[/mm]
Wenn man jetzt ganz sauber argumentieren will, dann überzeugt man sich,
dass [mm] $f(x):=\cos(2x-180^\circ)-\cos(x+180^\circ)$ [/mm] die Periode [mm] $2\pi\;\hat{=}\;\red{\;360\;}^\circ$ [/mm] hat, rechnet
(etwa mit Differentialrechnung) nach, dass [mm] $f\,$ [/mm] im Intervall [mm] $[0,2\pi]\;\hat{=}\;[0,360^\circ]$ [/mm]
vier Nullstellen hat (entweder mit Monotonieverhalten oder mit Hoch- und
Tiefpunkten); und gibt diese am Besten direkt an.
Wenn wir's ähnlich machen wie Abakus:
Betrachten wir die Gleichung
[mm] $$\cos(2x-180^\circ)=\cos(x+180^\circ)$$
[/mm]
nur für $x [mm] \in [0,\;90^\circ)\,.$ [/mm] Dann kannst Du [mm] $\cos^{-1}$ [/mm] anwenden und es folgt:
[mm] $$2x-180^\circ=x+180^\circ$$
[/mm]
Beachtest Du die Periodizität(en), so folgt, dass wir die "ersten" Stellen der
Gleichheiten (=Nullstellen von [mm] $f\,$) [/mm] haben mit
[mm] $x_k^{(1)}=k*360^\circ$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $\cos(x+180^\circ)=\cos(-x+180^\circ)$ [/mm] folgt analog
[mm] $$2x-180^\circ=-x+180^\circ$$
[/mm]
Damit haben wir die "zweiten" Stellen der Gleichheit (auch =Nullstellen von [mm] $f\,$) [/mm] mit
[mm] $x_k^{(2)}=120^\circ+k*360^\circ$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Da mit gerade keine bessere Begründung einfällt:
Weil obige Funktion [mm] $f\,$ [/mm] symmetrisch bzgl. der zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] Parallelen
Geraden [mm] $x=\pi\;\hat{=}\;180^\circ$ [/mm] ist, gibt es auch noch "dritte" Stellen der Gleichheit
[mm] $x_k^{(3)}=240^\circ+k*360^\circ$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Insgesamt also die "Lösungsmenge"
[mm] $$\IL=\{x_k^{(1)},\;x_k^{(2)},\;x_k^{(3)}:\;\; k \in \IZ\}=\{k*360^\circ,\;120^\circ+k*360^\circ,\;240^\circ+k*360^\circ:\;\;k \in \IZ\}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Sa 08.06.2013 | | Autor: | sb01 |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung! =)
Ein paar Sachen sind mir dennoch nicht ganz klar bzw. ich möchte sicher gehen, dass ich es richtig verstanden habe:
> Der eingeschränkte Kosinus hat eine Umkehrfunktion, nicht der
> [mm]\cos\colon \IR \to [-1,1]\,.[/mm]
Der eingeschränkte Cosinus ist der, der im Dreieck verwendet wird und dieser besitzt die Umkehrfunktion cos^-1? Bei periodischen Gleichungen mit Sinus und Cosinus, deren Werte von -1 bis +1 schwanken, gibt es keine Umkehrfunktion?
> Wenn man jetzt ganz sauber argumentieren will, dann
> überzeugt man sich,
> dass [mm]f(x):=\cos(2x-180^\circ)-\cos(x+180^\circ)[/mm] die
> Periode [mm]2\pi\;\hat{=}\;180^\circ[/mm] hat, rechnet
> (etwa mit Differentialrechnung) nach, dass [mm]f\,[/mm] im Intervall
> [mm][0,2\pi]\;\hat{=}\;[0,360^\circ][/mm]
> vier Nullstellen hat (entweder mit Monotonieverhalten oder
> mit Hoch- und
> Tiefpunkten); und gibt diese am Besten direkt an.
Wieso ist die Periode hier [mm] 2\pi [/mm] = 180°?
Ich bin verwirrt, dass nicht gilt [mm] 2\pi\hat=360°
[/mm]
> ...
> [mm]\cos(2x-180^\circ)=\cos(x+180^\circ)[/mm]
> nur für [mm]x \in [0,\;90^\circ)\,.[/mm] Dann kannst Du [mm]\cos^{-1}[/mm]
> anwenden und es folgt:
> [mm]2x-180^\circ=x+180^\circ[/mm]
>
> ...
>
> Insgesamt also die "Lösungsmenge"
> [mm]\IL=\{x_k^{(1)},\;x_k^{(2)},\;x_k^{(3)}:\;\; k \in \IZ\}=\{k*360^\circ,\;120^\circ+k*360^\circ,\;240^\circ+k*360^\circ:\;\;k \in \IZ\}[/mm]
Die Umkehrfunktion cos^-1 ist unter der Einschränkung [mm] x\in[0°,90°] [/mm] angewendet worden. In den Lösungsmengen nimmt x aber Werte an, die außerhalb dieses Definitionsbereiches sind und die auch richtig sind. Wie hängt das zusammen?
Fühle dich nicht gedrängt diese Fragen zu beantworten, Du hast mir schon wirklich sehr geholfen. Vielen Dank nochmal! =)
Sven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Sa 08.06.2013 | | Autor: | chrisno |
Der cos allgemein kann keine Umkehrfunktion haben. Das liegt am Wort "Funktion". Da darf nur jedem x genau ein y zugeordnet werden. Sprich, wenn Du von der x-Achse senkrecht losziehst, darfst Du nur einmal den Funktionsgraph treffen. Das ist bei m cos auch so. Für die Umkehrfunktion spiegelst Du den Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden in ersten Quadranten. Damit entsteht eine "Wellenlinie" die sich um die y-Achse schlängelt. Wenn Du nun von der x-Achse losziehst, hast Du zwischen -1 und 1 unendlich viele Treffer. Also keine Funktion mehr. Der Taschenrechner könnte also nicht wissen, welchen der Werte er nun ausgeben soll. Also hat man sich geeinigt, nur den Bereich zwischen 0° und 180° (nicht nur bis 90°) für die Umkehrfunktion zu nutzen. Wenn Dein gesuchter Winkel nicht in diesem Bereich liegt, dann musst Du entweder so oft 360° addieren oder subtrahieren, bis Du bei dem benötigten Winkel angekommen bist oder aber, Du musst erst einmal in den Bereich von 180° bis 360° kommen. Dafür gibt es die Beziehung cos(x) = cos(360°-x). Dann wieder [mm] $\pm [/mm] k [mm] \cdot$ [/mm] 360°
Wenn Du alle möglichen Lösungen angeben sollst, dann musst Du das eben so entsprechend hinschreiben.
Marcel hat sich einmal vertippt, die 180° sollten 360° sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Sa 08.06.2013 | | Autor: | sb01 |
Hallo Chrisno,
vielen Dank für die Erklärung. Ich denke, mir ist in diesem Zusammenhang auch der Begriff Umkehrfunktion klarer geworden.
Schönes Wochenende!
Sven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo chrisno,
> Der cos allgemein kann keine Umkehrfunktion haben. Das
> liegt am Wort "Funktion". Da darf nur jedem x genau ein y
> zugeordnet werden. Sprich, wenn Du von der x-Achse
> senkrecht losziehst, darfst Du nur einmal den
> Funktionsgraph treffen. Das ist bei m cos auch so. Für die
> Umkehrfunktion spiegelst Du den Funktionsgraphen an der
> Winkelhalbierenden in ersten Quadranten. Damit entsteht
> eine "Wellenlinie" die sich um die y-Achse schlängelt.
> Wenn Du nun von der x-Achse losziehst, hast Du zwischen -1
> und 1 unendlich viele Treffer. Also keine Funktion mehr.
> Der Taschenrechner könnte also nicht wissen, welchen der
> Werte er nun ausgeben soll. Also hat man sich geeinigt, nur
> den Bereich zwischen 0° und 180° (nicht nur bis 90°)
dazu ein Wort: Ich habe [mm] $x\,$ [/mm] zwischen 0° und 90° betrachtet, weil bei
der einen Funktion eben nicht [mm] $\cos(x+...)\,$ [/mm] steht, sondern da steht [mm] $\cos(2x+...)\,.$
[/mm]
$x [mm] \mapsto \cos(x)$ [/mm] ist (jedenfalls) umkehrbar für 0° [mm] $\le [/mm] x <$ 180°, und $x [mm] \mapsto \cos(2x)$ [/mm] dann halt für
0° [mm] $\le [/mm] x$ <90°.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen Dank für die ausführliche Erklärung! =)
>
> Ein paar Sachen sind mir dennoch nicht ganz klar bzw. ich
> möchte sicher gehen, dass ich es richtig verstanden habe:
>
> > Der eingeschränkte Kosinus hat eine Umkehrfunktion, nicht
> der
> > [mm]\cos\colon \IR \to [-1,1]\,.[/mm]
>
> Der eingeschränkte Cosinus ist der, der im Dreieck
> verwendet wird und dieser besitzt die Umkehrfunktion
> cos^-1? Bei periodischen Gleichungen mit Sinus und Cosinus,
> deren Werte von -1 bis +1 schwanken, gibt es keine
> Umkehrfunktion?
>
> > Wenn man jetzt ganz sauber argumentieren will, dann
> > überzeugt man sich,
> > dass [mm]f(x):=\cos(2x-180^\circ)-\cos(x+180^\circ)[/mm] die
> > Periode [mm]2\pi\;\hat{=}\;180^\circ[/mm] hat, rechnet
> > (etwa mit Differentialrechnung) nach, dass [mm]f\,[/mm] im Intervall
> > [mm][0,2\pi]\;\hat{=}\;[0,360^\circ][/mm]
> > vier Nullstellen hat (entweder mit Monotonieverhalten oder
> > mit Hoch- und
> > Tiefpunkten); und gibt diese am Besten direkt an.
>
> Wieso ist die Periode hier [mm]2\pi[/mm] = 180°?
> Ich bin verwirrt, dass nicht gilt [mm]2\pi\hat=360°[/mm]
ja sorry, da hab' ich mich vertan. Natürlich meinte ich [mm] $2\pi\;\hat{=}\;360^\circ\,,$ [/mm] habe
das gerade korrigiert!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 08.06.2013 | | Autor: | chrisno |
Offen war hier noch:
> ...
> > Hallo,
> > das (der Wunsch zur Kenntnisauffrischung UND eine
> > CAS-Orientierung) ist ein Widerspruch in sich.
>
> Diese Aussage verstehe ich nicht eindeutig. Es wäre nett,
> wenn Du eine Begründung dazu angeben magst.
ganz knapp: CAS macht nur Sinn, wenn die Kenntnisse da sind.
Manche Techniken braucht man nicht zu lernen, wenn einem das CAS das abnimmt. Davor muss man aber gut verstanden haben was man treibt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Sa 08.06.2013 | | Autor: | sb01 |
Hallo ChrisNo,
ja, dem stimme ich zu. Ich bin deshalb auch von den Buch enttäuscht und mir wird auch nicht ganz klar, wie jemand dieses Buch als "gutes Buch zur Auffrischung" rezensieren kann... Vielleicht bin ich zu streng, aber seitenlange Erklärungen, wie man diesen CAS bedient sind für mich wertlos. Naja, ich werde mal an geeigneter Stelle nach Vorschlägen fragen.
Vielen Dank!
Sven
|
|
|
|
