Nullstellenbestimmung, Extrema < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Aya-chan |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x)=x²(lnx-1), x>0.
Bestimmen sie die exakte Lage der Nullstelle, des Tiefpunktes und des Wendepunktes. |
Nun, ich habe die Nullstelle berechnet, komme jedoch nicht auf das richtige Ergebnis, denn in meinem Buch ist ein Graph zu der Fkt. abgebildet, dessen Nullstelle bei ca. 2,7 liegt.
Hier erstmal mein Versuch:
f(x)=0
0=x²(lnx-1) |/x²
0=lnx-1 |+1
1=lnx
x=0
Wir hatten diese Art von Aufgaben noch nicht und nun stellt sich mir die Frage, wo mein Fehler liegt :(
Bei der Berechnung der Extrema ist es genauso:
f´(x)=0
Ist die Ableting nun [mm] 2x(lnx-1)*\bruch{1}{x} [/mm] ?
Damit würde ich dann auf
[mm] 0=2x(lnx-1)*\bruch{1}{x} |/\bruch{1}{x}
[/mm]
0=2x(lnx-1) |/2x
0=lnx-1 |+1
1=lnx
x=e
kommen.
Ist das überhaupt alles richtig?
Bitte helft mir, ich werd sonst noch wahnsinnig :(
Danke schon mal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Kroni |
> Gegeben sei die Funktion f(x)=x²(lnx-1), x>0.
> Bestimmen sie die exakte Lage der Nullstelle, des
> Tiefpunktes und des Wendepunktes.
> Nun, ich habe die Nullstelle berechnet, komme jedoch nicht
> auf das richtige Ergebnis, denn in meinem Buch ist ein
> Graph zu der Fkt. abgebildet, dessen Nullstelle bei ca. 2,7
> liegt.
> Hier erstmal mein Versuch:
>
> f(x)=0
> 0=x²(lnx-1) |/x²
> 0=lnx-1 |+1
> 1=lnx
> x=0
>
Naja, angenommen dein Ergebnis stimmte, dann siehst du ja schon, dass x=0 außerhalb des Definitionsbereiches liegt.
Okay, gucken wir uns die Funktion nochmal an:
[mm] f(x)=x^2*(lnx-1)
[/mm]
D.h. wann wird eine Funktion 0? Genau, wenn einer ihrer Faktoren Null wird.
[mm] x^2=0 [/mm] liefert x=0, das kann aber nicht sein, da x>0 definiert ist (Das Teilen durch [mm] x^2 [/mm] darfst du hier aber auch nur deshalb machen, weil der Definitionsbereich mit x>0 vorgegebgen ist. Wäre [mm] \ID=\IR [/mm] wäre das verboten!)
Dann bleibt noch über:
lnx-1=0
lnx=1
Jetzt ist deine Umformung falsch:
lnx=1 , nun musst du die Umkehrfunktion von ln nutzen: e hoch:
[mm] e^{lnx}=e^1
[/mm]
[mm] x=e^1
[/mm]
x=e
Da haste dich vertan.
> Wir hatten diese Art von Aufgaben noch nicht und nun stellt
> sich mir die Frage, wo mein Fehler liegt :(
>
> Bei der Berechnung der Extrema ist es genauso:
>
> f´(x)=0
> Ist die Ableting nun [mm]2x(lnx-1)*\bruch{1}{x}[/mm] ?
Nein.
Du musst hier die sog. Produktregel anwenden:
(u*v)'=u'v + v'u
Probiers nochmal=)
Das Nullstezen geht dann analog wie oben!
u
> Damit würde ich dann auf
> [mm]0=2x(lnx-1)*\bruch{1}{x} |/\bruch{1}{x}[/mm]
> 0=2x(lnx-1)
> |/2x
> 0=lnx-1 |+1
> 1=lnx
> x=e
> kommen.
> Ist das überhaupt alles richtig?
> Bitte helft mir, ich werd sonst noch wahnsinnig :(
>
> Danke schon mal im Voraus
Kein Problem
LG
Kroni
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Aya-chan |
| Aufgabe | | Extrema berechnen! |
So, also ich hab das noch mal versucht, aber es kommt mir immer noch merkwürdig vor.
f´(x)= [mm] x^{2}*\bruch{1}{x}(lnx-1)+2x(lnx-1)
[/mm]
[mm] 0=(lnx-1)(x^{2}*\bruch{1}{x}+2x)
[/mm]
Damit würde ich dann wieder auf x=0 und x=e kommen.
Das mit der Nullstelle hab ich verstanden, danke ^^
Liebe Grüße
Aya-chan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ist doch soweit okay, wenn du vorher aber noch aus [mm] \bruch{1}{x^2}*x \bruch{1}{x} [/mm] machst, dann kannste das zu
f'(x)=x(2lnx - 1) zusammenfassen.
So kommst du dann nicht zu (x=0 v) x=e
LG
Kroni
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