www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Ganzrationale Funktionen" - Nullstellenbestimmung von A !
Nullstellenbestimmung von A ! < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Ganzrationale Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nullstellenbestimmung von A !: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Sa 26.03.2005
Autor: steph

Hallo nochmal,

tut mir leid, dass ich so viele Fragen habe, aber Ihr (alle User des Mathematik-Forums) seit meine letzte Rettung in den Osterferien.

Also die Funktion lautet:

f(x)= [mm] 1/3(a-5)x^3+(a+5)x=0 a=R\{5} [/mm]
f(x)= [mm] x(1/3(a-5)x^2+(a+5))=0 [/mm] x1=0

man bekommt dann als Diskriminante x1= +Wurzel [mm] -3a^2+75 [/mm]
und für x2= -Wurzel [mm] -3a^2+75 [/mm]

dann wenn die Diskriminante = 0 ist

heißt es doch: [mm] -3a^2+75=0 [/mm]
a= +-5
also nur -5, da 5 oben ja ausgeklammert wurde
also a= -5 dann hab ich als Lösung rausbekommen 1 Nullstelle und die ist x1=0 und ist doppelt.

Ich weiß, aber nicht ob das stimmt, da ich denke, es muss doch eine dreifache Nullstelle rauskommen man hat ganz oben bereits eine Nullstelle, nämlich 0 und wenn unten also bei der Wurzel auch noch mal zwei Nullstellen nämlich 0, dann sind es doch drei ???? Verstehe ich das richtig


        
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Sa 26.03.2005
Autor: FriedrichLaher

Hallo steph,

wenn ich es richtig lese ist doch Deine 2te Zeile

[mm] $x*\left( \frac{a-5}{3}x^2 + (a+5) \right) [/mm] = 0$

woraus sich ( außer x1 = 0 ) dann doch ganz einfach

[mm] $x^2 [/mm] = [mm] \frac{-3*(a+5)}{a-5} [/mm] = [mm] \frac{3*(a+5)}{5-a}$ [/mm] ergibt.



Bezug
                
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: ÄNDERUNG
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Sa 26.03.2005
Autor: steph

Also danke schonmal friedrich, bloß die Aufgabe die du abgeschrieben hast von meinem ersten Posting ist falsch !! Hier nochmal

f(x)= [mm] 1/3(a-5)x^3+(a+5)x [/mm]

d.h. 3(a-5) stehen im Nenner !!

Danke !!

Bezug
                        
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Sa 26.03.2005
Autor: Disap

Evtl. mal gucken, was der FriedrichLaher bei der Aufgabe (die er leider falsch interpretiert hat) gemacht hat. Er hat da nämlich nichts weiter gemacht, als deinen Ausdruck

[mm] 1/3(a-5)x^2+(a+5)=0 [/mm] nach x umgestellt.
Übringens ist dieser Ausdruck sehr unschön geschrieben. Auch wenn manchmal "Befehle" wie Brüche (ganz besonders Vektoren) schwer zu finden sind, wäre es schön, wenn du mal kurz suchen würdest. Dann hättest du jetzt auch einen sehr schöne Lösung gehabt (wobei die von FriedrichLaher auch ganz gut ist).
In der Mathematik gehts ja nicht darum, sich etwas vorrechnen zu lassen, sondern es selbst zu verstehen. Falls seine Antwort "unzureichend" erklärt war, dann kannst du ja noch mal fragen. Aber ich persönlich finde, dass es mehr bringt, wenn du dir jetzt erst einmal seine Beispielrechnung angucken würdest.

Liebe Grüße Disap

Bezug
                        
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Sa 26.03.2005
Autor: FriedrichLaher

tja, steph

dann ist aber leider schon Deine 2te Zeile,
egal wie interpretiert, falsch und
x=0 entschieden keine Lösung
[mm] $\frac{1}{3(a-5)x^3}=-(a+5)*x$ [/mm]
[mm] $\frac{1}{3*(a^2-5^2)}= -x^4$ [/mm]
[mm] $\frac{1}{3*(5^2-a^2)}=x^4$ [/mm]
$x = [mm] \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3*(5^2-a^2)}}$ [/mm]
( abgesehen von komplexen Lösungen )

Bezug
                        
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: Funktionsvorschlag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Sa 26.03.2005
Autor: Loddar

Hallo an alle Fragebeteiligten!



Kann es sein, daß die Funktion

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x^3 [/mm] + (a+5)*x \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x [/mm] * [mm] \left[x^2 + 3*(a^2-5^2)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x [/mm] * [mm] \left[x^2 - 3*(25-a^2)\right]$
[/mm]

heißen soll? Das würde auch die Nullstelle [mm] $x_{N1} [/mm] = 0$ erklären ...


Loddar


Bezug
                                
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: RICHTIG !!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Sa 26.03.2005
Autor: steph

Genau so lautet die Aufgabe, >> auf darauf bezieht sich auch die Frage

Bezug
                                        
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 So 27.03.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo steph,

Wie Loddar schon gesagt hat, lautet also deine Funktion:

[m]f\left( x \right): = \frac{{x^3 + \left( {a + 5} \right)x}} {{3\left( {a - 5} \right)}}\;\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l} {\text{wir klammern im Zähler}} \\ x{\text{ aus (hat Loddar schon gemacht)}} \end{subarray}}\; \frac{{x\left( {x^2 + a + 5} \right)}} {{3\left( {a - 5} \right)}}[/m]

Wir wollen die Nullstellen dazu bestimmen, also quasi folgende Menge [m]\left\{ {x\;|\;f\left( x \right) = 0} \right\}[/m]. Da es sich hier um eine gebrochenrationale Funktion handelt, interessieren wir uns nur für die Nullstellen des Zählers. Wir setzen die Gleichung also = 0 und formen um:

[m]\frac{{x\left( {x^2 + a + 5} \right)}} {{3\left( {a - 5} \right)}} = 0 \Leftrightarrow x\left( {x^2 + a + 5} \right) = 0[/m]. Wie Loddar schon gesagt hat, lautet die erste Nullstelle dann
[mm] $x_{N_1} [/mm] = 0$ (Setz' es einfach in den Nenner ein und rechne es aus; Du wirst sehen, daß du 0 = 0 rausbekommst). Um die anderen Nullstellen rauszubekommen, teilen wir nun durch x und erhalten folgende Gleichung:

[m]\Rightarrow x^2 + a + 5 = 0[/m]

Wir formen um:

[m] \Rightarrow x^2 + a + 5 = 0 \Leftrightarrow x^2 = - a - 5 \Rightarrow \left( {x = \sqrt { - a - 5} \vee x = - \sqrt { - a - 5} } \right)[/m]. Der Term in der Wurzel darf nicht negativ werden und außerdem müssen wir aufpassen, daß der Nenner von [mm] $f\left(x\right)$ [/mm] nicht 0 wird.
Es muß also gelten:

[m] - a - 5 \ge 0 \Rightarrow - 5 \ge a \Rightarrow a \le - 5[/m]

Das heißt also: Für alle [m]a \le - 5[/m] gilt [m]\left\{ {x\;|\;f\left( x \right) = 0} \right\} = \left\{ {0,\sqrt { - a - 5} , - \sqrt { - a - 5} } \right\}[/m].

Viele Grüße
Karl



Bezug
                                                
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: @Karl: falsche Funktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 So 27.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Karl!


Diese Funktion scheint ja wirklich keiner so richtig zu mögen [lol], denn Du hast sie auch noch falsch interpretiert ...

Sie sollte wohl (nach einigen Hin und Her) so lauten:

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x^3 [/mm] + (a+5)*x$


Daraus wird dann mit Ausklammern von [mm] $\bruch{x}{3*(a-5)}$ [/mm] (siehe oben):

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{3*(a-5)}*\left[x^2 + 3*(a+5)*(a-5)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x * \left[x^2 + 3*(a^2-5^2)\right]}{3*(a-5)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x * \left[x^2 - 3*(25-a^2)\right]}{3*(a-5)}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                        
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: jep, reingefallen ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 So 27.03.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Loddar,


Ja, hier war ich ja wohl keine allzu große Hilfe. Die Antwort ist zwar inhaltlich richtig, aber die Frage dazu existiert nicht. ;-)



Grüße
Karl



Bezug
                                        
Bezug
Nullstellenbestimmung von A !: Nullstellen + Zusammenfassung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 So 27.03.2005
Autor: Loddar

Hallo steph!


Nach einiger Verwirrung hier im MatheRaum sind wir doch nun mit Deiner Funktion (einschließlich Ausklammern, siehe oben) angelangt bei:

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3*(a-5)}*x^3 [/mm] + (a+5)*x \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{x * \left[x^2 - 3*(25-a^2)\right]}{3*(a-5)}$ [/mm]


Nun können wir in der eckigen Klammer im Zähler die 3. binomische Formel anwenden: [mm] $(a^2 [/mm] - [mm] b^2) [/mm] \ = \ (a+b)*(a-b)$

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x * \left[x^2 - (75-3a^2)\right]}{3*(a-5)}$ [/mm]

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x * \left(x - \wurzel{75-3a^2}\right) * \left(x + \wurzel{75-3a^2}\right)}{3*(a-5)}$ [/mm]


Damit hätten wir nun drei (allgemeine) Nullstellen:

[mm] $x_{N1} [/mm] \ = \ 0$

[mm] $x_{N2} [/mm] \ = \ + [mm] \wurzel{75-3a^2}$ [/mm]

[mm] $x_{N3} [/mm] \ = \ - [mm] \wurzel{75-3a^2}$ [/mm]


Wie Karl bereits richtig festgestellt hat, müssen wir nun noch untersuchen, für welche $a$ diese Wurzel überhaupt definiert ist:

$75 - [mm] 3a^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$

$25 - [mm] a^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$

$25 \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] a^2$ [/mm]

$5 \ [mm] \ge [/mm] \ |a|$


Allerdings haben wir gleich zu Beginn $a \ [mm] \red{=} [/mm] \ +5$ aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, so daß verbleibt: $|a| \ [mm] \red{<} [/mm] \ 5$


Zusammenfassung

Für $|a| \ < \ 5$  [mm] $\gdw$ [/mm]   $-5 \ < \ a \ < \ +5$ gibt es also genau drei Nullstellen in [mm] $\IR$, [/mm] nämlich die drei oben genannten.


Für $|a| \ > \ 5$ gibt es genau eine Nullstelle in [mm] $\IR$, [/mm] nämlich: [mm] $x_N [/mm] \ = \ 0$.


So! Ich hoffe, nun sind alle Klarheiten beseitigt ...

Gruß
Loddar


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Ganzrationale Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de