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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Fr 13.06.2008 | | Autor: | opibert |
| Aufgabe | | Ich suche Mehtoden zur bestimmung von Nullstellen, und wie diese funktionieren. |
Hi welche Methoden zur Nullstellenbestimmung gibt es alles, und wie funktionieren diese ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht sagst Du mal, von welcher Art Funktionen Du Nullstellen bestimmen möchtest. Oder ist Deine Frage wirklich so allgemein?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Fr 13.06.2008 | | Autor: | opibert |
Danke, für die erste Antwort/Frage, aber ich suche ganz plump einfach Verfahren zur Nullstellenbestimmung, welche Art funktion ist egal.
Ich kenne z.B. Regula-Falsi und Newton, aber das werden ja nicht alle sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Fr 13.06.2008 | | Autor: | aram |
Hallo opibert!
> Ich suche Mehtoden zur bestimmung von Nullstellen, und wie
> diese funktionieren.
> Hi welche Methoden zur Nullstellenbestimmung gibt es
> alles, und wie funktionieren diese ?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wenn du eine NST bestimmen willst, muss der erste Ansatz f(x)=0 sein. Die Gleichung nach x auflösen und du bekommst deine NST. Denke dabei an den Satz vom Nullprodukt.
In manchen Fällen ( [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+f=0) [/mm] musst du eine NST durch probieren finden, um danach eine Polynomdivision durchführen zu können. Zum Probieren nimmst du die Teiler von f.
Wenn auch dieser Weg nicht zum Erfolg führt, kannst du das Newtonsche Näherungsverfahren anwenden.
Mfg Aram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Fr 13.06.2008 | | Autor: | opibert |
Danke für deine Antwort, aber ich suche bestimmte Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Fr 13.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast du eine Funkto der Form f(x)=mx+b, also eine Gerade, kannst duie die Nullstelle direkt ermitteln.
0=mx+n
Hast du eine Funktion der Form f(x)=ax²+c:
$ 0=ax²+c $
$ [mm] \gdw [/mm] ax²=-c $
[mm] \gdw x²=-\bruch{c}{a}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm\wurzel{-\bruch{c}{a}}
[/mm]
Hast du die Form f(x)=ax²+bx+c,
kannst du zur Ermittlung der Nullstellen die p-q-Formel benutzen.
Also:
[mm] 0=ax^{2}+bx+c
[/mm]
[mm] \gdw 0=x²\underbrace{+\bruch{b}{a}}_{p}*x+\underbrace{\bruch{c}{a}}_{q}
[/mm]
Und damit: [mm] x_{1;2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
Hast du eine Funktion der Form
f(x)=ax³+bx²+cx, klammere aus.
Also:
[mm] ax^{3}+bx²+cx=0
[/mm]
[mm] \gdw x(ax^{2}+bx+c)=0
[/mm]
Nach den Satzt vom Nullprodukt (Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird) gilt:
$ [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 $ oder [mm] ax^{2}+bx+c=0 [/mm] was du ja mit oben erwähnten Mitteln lösen kannst.
Hast du eine Funktion der Form [mm] f(x)=ax^{4}+bx²+c [/mm] substituiere
Also
[mm] ax^{4}+bx²+c=0
[/mm]
Definiere nun [mm] z=x^{2}
[/mm]
Also: [mm] az^{2}+bz+c=0
[/mm]
Daraus berechne nun [mm] z_{1;2}
[/mm]
Um die x-werte zu bekommen, musst du rücksubstituieren.
Also: [mm] x_{1}=\wurzel{z_{1}} [/mm] ; [mm] x_{2}=-\wurzel{z_{1}} [/mm] ; [mm] x_{3}=\wurzel{z_{2}} [/mm] und [mm] x_{2}=-\wurzel{z_{2}}
[/mm]
Du kannst natürlich auch bei [mm] f(x)=ax^{6}+bx^{3}+c [/mm] substituieren, dann aber [mm] t=x^{3}
[/mm]
Oder auch [mm] a*\cos²(x)+b*\cos(x)+c, [/mm] dann halt [mm] w=\cos(x)
[/mm]
Klappt das alles nicht, und du hast eine Funktion á la f(x)=ax^^{3}+bx²+cx+d musst du eine Nullstelle [mm] x_{0}erraten, [/mm] und eine Polynomdivision machen.
Also [mm] (ax^{3}+bx²+cx+d):(x-x_{0})=...
[/mm]
und dann kannst du den Satz des Nullproduktes anwenden.
Das waren erstmal einige rechnerische Verfahren - ohne Anspruch auf Vollständigkeit.
Marius
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Hallo,
![[]](/images/popup.gif) hier findest Du eine Liste numerischer Verfahren, auf welcher Du nachschauen kannst, was bei Euch dran war.
Prinzipiell mußt Du unterscheiden zwischen dem exakten Ausrechnen von Nullstellen und dem Finden von Näherungslösungen mit irgendwelchen geeigneten Näherungsverfahren.
Gruß v. Angela
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