Nullteiler, Modul < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Do 29.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich möchte für einen Beweis Folgendes zeigen: Ist $M$ ein $R$-Modul und [mm] $r\in [/mm] R$ kein Nullteiler. Dann möchte ich folgern: gilt [mm] $(r)M\hookrightarrow [/mm] M$ (die kanonische Inklusion existiert), so folgt aus $rm=0$ schon $m=0$ [mm] ($m\in [/mm] M$).
Sollte ja eigentlich nicht so schwierig sein, aber ich komme auf keinen grünen Zweig. Ich weiß: $r*m=0$. Dann wollte ich sagen, dass dann aus $r*m=0$ schon $m=0$ folgen muss, weil ich ja schon weiß, dass $r*0$ das eindeutige Elemente im Kern der kanonischen Inklusion ist. Aber das kann nicht stimmen, weil ich dann auch nicht benötige, dass r kein Nullteiler ist.
Hat jemand einen Ansatz?
Edit: Ich weiß natürlich noch, dass $rm=0 [mm] \Rightarrow [/mm] r'rm=0$ für alle [mm] $r'\in [/mm] R$ folgt. Dabei ist [mm] $r'r\not=0$ [/mm] für [mm] $r'\not=0$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 29.11.2012 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Hi!
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> Ich möchte für einen Beweis Folgendes zeigen: Ist [mm]M[/mm] ein
> [mm]R[/mm]-Modul und [mm]r\in R[/mm] kein Nullteiler. Dann möchte ich
> folgern: gilt [mm](r)M\hookrightarrow M[/mm] (die kanonische
> Inklusion existiert), so folgt aus [mm]rm=0[/mm] schon [mm]m=0[/mm] ([mm]m\in M[/mm]).
>
Was soll das heißen: "falls die kanonische Inklusion existiert"?
(r)M ist immer ein Untermodul von M. Das was du zeigen willst gilt aber natürlich nicht, weil Moduln im Allgemeinen Torsion haben.
Betrachte irgendwie [mm]\mathbb{Z}_{6}[/mm] und das Element [mm]2\in \mathbb{Z}[/mm] als einfaches Gegenbeispiel.
Viele Grüße,
Berieux
> Sollte ja eigentlich nicht so schwierig sein, aber ich
> komme auf keinen grünen Zweig. Ich weiß: [mm]r*m=0[/mm]. Dann
> wollte ich sagen, dass dann aus [mm]r*m=0[/mm] schon [mm]m=0[/mm] folgen
> muss, weil ich ja schon weiß, dass [mm]r*0[/mm] das eindeutige
> Elemente im Kern der kanonischen Inklusion ist. Aber das
> kann nicht stimmen, weil ich dann auch nicht benötige,
> dass r kein Nullteiler ist.
>
> Hat jemand einen Ansatz?
>
> Edit: Ich weiß natürlich noch, dass [mm]rm=0 \Rightarrow r'rm=0[/mm]
> für alle [mm]r'\in R[/mm] folgt. Dabei ist [mm]r'r\not=0[/mm] für [mm]r'\not=0[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Do 29.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ah sorry, ja ich habe etwas durcheinander gebracht. Es soll wohl auch noch gelten, dass M flach ist. Laut Wikipedia ist M dann wohl auch torsionsfrei.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 29.11.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hi!
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> Ah sorry, ja ich habe etwas durcheinander gebracht. Es soll
> wohl auch noch gelten, dass M flach ist. Laut Wikipedia ist
> M dann wohl auch torsionsfrei.
Ja das geht dann. Wenn M flach ist, sei [mm]r\in R[/mm] kein Nullteiler. Betrachte dann den Modulhomomorphismus
[mm]0 \to (r) \to R[/mm] mit [mm]r\mapsto 1_{R}[/mm]. Jetzt tensoriere alles mit M und du wirst sehen, dass für m mit rm=0 folgt, dass m=0 ist.
Viele Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Do 29.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke nochmal.
Ok, also die Sequenz [mm] $0\rightarrow [/mm] (r) [mm] \rightarrow [/mm] R$ ist ja (mit deiner Abbildung von (r) nach R) exakt, da $r$ kein Nullteiler. Tensorieren mit M liefert die exakte Sequenz (da M flach)
$0 [mm] \rightarrow [/mm] (r)M [mm] \rightarrow [/mm] M$. Nun habe ich Probleme zu sehen, wie die Abbildung von $(r)M$ nach $M$ aussehen soll. Ich muss ja eine Summe [mm] $\summe_{i=1}^{N}r_irm_i \in [/mm] (r)M$ nach $M$ bringen. Ich denke, dass [mm] $\summe_{i=1}^{N}r_irm_i \mapsto \summe_{i=1}^{N}r_im_i\in [/mm] M$ klappen könnte.
Leider sehe ich noch nicht, wie ich darauf kommen kann, dass aus rm=0 m=0 folgt.
Ok, geht es einfach so:
[mm] \varphi [/mm] ist der injektive Homomorphismus von $(r)M$ nach $M$, [mm] \varphi(srm)=m ($s\in [/mm] R$).
Dann gilt $rm=0 [mm] \Rightarrow \varphi(rm)=m=\underline{m=0}$. [/mm] Würde das so gehen? Ich sehe nur gerade nicht, wo man noch die Injektivität von [mm] \varphi [/mm] bräuchte.
Edit: Ok, ich habs. Ich habe einfach mit der Sequenz [mm] $0\rightarrow [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] R$ angefangen, wobei die rechte Abbildung die Multiplikation mit $r$ ist. Dann tensorieren.
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