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Forum "Integralrechnung" - O *
O * < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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O *: Algebraische Kurve, Integrale
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Fr 06.03.2015
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Eine ebene Kurve k ist durch folgende Parameterdarstellung gegeben:

     $\ k:\ [mm] \begin{cases}\ x(t)\ =\ 8*cos(t)-sin(2\,t) \\ \ y(t)\ =\ 12*sin(t) \end{cases}$ [/mm]

a)  Eliminiere den Parameter t .

b)  Ermittle die Kurvenpunkte mit achsenparallelen Tangenten.

c)  Berechne den Schwerpunkt des Gebietes G, das von k umschlossen wird.

d)  Berechne den Schwerpunkt des Drehkörpers D, der durch Rotation von G
    um seine Symmetrieachse erzeugt wird.

Eine Aufgabe mit (hoffentlich) einem frühlingshaften Hauch ...

Für jeden, der z.B. Integralrechnung üben möchte.


Viel Spaß !     :-)   Al-Chwarizmi

        
Bezug
O *: Dummy
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:04 Fr 06.03.2015
Autor: Al-Chwarizmi

Diese "Dummy-Frage" bitte nicht beantworten !
Sie dient nur dazu, die obige Frage sichtbar zu halten.

Danke
Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
O *: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 06.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
O *: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 So 08.03.2015
Autor: Fulla

Hallo Al,

eine schöne, österliche Aufgabe ist das ;-)

[mm] \ k:\ \begin{cases}\ x(t)\ =\ 8\cdot{}cos(t)-sin(2\,t) \\ \ y(t)\ =\ 12\cdot{}sin(t) \end{cases} [/mm]

a)  Eliminiere den Parameter t .

Es ist [mm]x(t)=\cos t(8-2\sin t)[/mm] und [mm]t=\arcsin\left(\frac{y}{12}\right)[/mm]  (für [mm]-12\le y\le 12[/mm]).
Zusammen:
[mm]x(y)=\cos\left(\arcsin(\left\frac{y}{12}\right)\right)\left(8-\sin\left(\arcsin\left(\frac{y}{12}\right)\right)\right)=\pm\frac{1}{12}\sqrt{144-y^2}\left(8-\frac y6\right)[/mm].

[Dateianhang nicht öffentlich]


b)  Ermittle die Kurvenpunkte mit achsenparallelen Tangenten.

Waagerechte Tangenten:
[mm]\vektor{x\\y}(t)=\vektor{8\cos t-sin(2t)\\12\sin t}[/mm]

[mm]\vektor{x^\prime\\y^\prime}(t)=\vektor{-8\sin t-2\cos(2t)\\12\cos t}[/mm]

[mm]\vektor{x^\prime\\y^\prime}\circ\vektor{0\\1}=0\quad\Leftrightarrow\quad 12\cos t=0\quad\Leftrightarrow\quad t=\pm\frac\pi 2[/mm] (Ich betrachte nur den Bereich [mm]-\pi< t\le \pi[/mm])

Dies ergibt die beiden Punkte [mm]\vektor{x\\y}\left(\pm\frac\pi 2\right)=\vektor{0\\\pm 12}[/mm]  [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]P_{1,2}(0,\pm 12)[/mm].

Für die senkrechten Tangenten betrachte ich die Umkehrfunktion
[mm]f(x):=\frac{1}{12}\sqrt{144-x^2}\left(8-\frac x6\right)[/mm] bzw.
[mm]g(x):=-\frac{1}{12}\sqrt{144-x^2}\left(8-\frac x6\right)[/mm] mit Definitionsbereich [mm]D=[-12,12][/mm].

Es ist [mm]f^\prime(x)=\ldots =\frac{x^2-24x-72}{36\sqrt{144-x^2}}[/mm] und [mm]f^\prime(x)=0\ \Leftrightarrow\ x=12\pm 6\sqrt 6[/mm].

Die (+)-Lösung ist zu vernachlässigen, da außerhalb des Definitionsbereichs. Die (-)-Lösung liefert [mm]f(12-6\sqrt 6)=\frac 12\sqrt{4\sqrt 6.6}(6+\sqrt 6)\approx 8.2333[/mm], was übertragen auf die ursprüngliche Kurve (und mit Symmetrieüberlegungen die Punkte [mm]P_{3,4}(\pm 8.2333,- 2.6969)[/mm] liefert.


c)  Berechne den Schwerpunkt des Gebietes G, das von k umschlossen wird.

Auch hier betrachte ich [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm]. Aus Symmetriegründen gilt für die y-Koordinate des Schwerpunkts [mm]y_S=0[/mm]. [mm]x_S[/mm] berechnet sich zu
[mm]x_S=\frac{\int_{-12}^{12}x(f(x)-g(x))\ dx}{\int_{-12}^{12}f(x)-g(x)\ dx}=\frac{\int_{-12}^{12}2xf(x)\ dx}{\int_{-12}^{12}2f(x)\ dx}=\frac{\int_{-12}^{12}xf(x)\ dx}{\int_{-12}^{12}f(x)\ dx}=\ldots =-\frac 34[/mm]

Der Schwerpunkt der ursprünglichen Kurve ist also [mm]S_1\left(0,-\frac 34\right)[/mm].

d)  Berechne den Schwerpunkt des Drehkörpers D, der durch Rotation von G
    um seine Symmetrieachse erzeugt wird.

Wie in d) behelfe ich mir mit der Darstellung [mm]f(x)[/mm] und der Formel für den Schwerpunkt von Rotationskörpern:
[mm]x_S=\frac{\int_{-12}^{12}x[f(x)]^2\ dx}{\int_{-12}^{12}[f(x)]^2\ dx}}\ldots = -\frac{32}{27}[/mm]

Der Rotationskörper der Kurve k hat also den Schwerpunkt [mm]S_2\left(0,0,-\frac{32}{27}\right)[/mm].


Lieben Gruß,
Fulla


P.S.: Ich habe alle "..." selbst berechnet und mittels CAS überprüft.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
O *: Lösung richtig !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Fr 03.04.2015
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Fulla und alle anderen Interessierten !

Das Osterwochenende ist da, also muss ich endlich antworten.

Alle Antworten von Fulla sind (natürlich) korrekt.
Ich hätte einiges wohl etwas anders gemacht bzw. dargestellt.
Dabei handelt es sich aber eher um Details.

Als ich das "Ei" ein paar Freunden zur Begutachtung vorlegte,
waren nicht alle ganz zufrieden mit seiner Form. Beispielsweise
meinten sie, das Ei sei an seinem "spitzen" Ende eher etwas
zu "spitz" (Krümmungsradius in diesem Scheitelpunkt zu klein).
Daran schlossen sich Diskussionen darüber an, dass es sehr viele
Vogelarten (und weiterer eierlegender Tiere) und auch sehr
unterschiedliche Eiformen gibt. Darauf beschloss ich dann doch,
mich auf Eier des Haushuhns (Gallus gallus domesticus)
sowie des Osterhasen (Lepus paschalis) zu beschränken.
Natürlich wissen alle, dass ein Ei einem anderen nicht unbedingt
so sehr gleicht, wie das geflügelte Wort es glauben machen will.
Im Supermarkt findet man zum Beispiel die Kategorien S, M, L und XL .
Zudem können sich auch die Formen ziemlich voneinander unterscheiden.
Dazu habe ich eine Anzahl Eier vermessen (Länge L, größter
Kreisdurchmesser D, Abstand H dieser Schnittebene vom
Hauptscheitel am stumpfen Ende) und fand erhebliche Diskre-
panzen in den Verhältnissen dieser Messgrößen.
Folgerung:  So etwas wie "die" ideale Eiform gibt es offenbar
in der Realität nicht.
Um trotzdem zu einem brauchbaren Ergebnis zu kommen,
habe ich mir dann zwei neue Ziele gesteckt:

1.)  Beschreibung der Form eines (ungefähr) durchschnitt-
lichen Hühnereies in einem Koordinatensystem mit der Einheit 1 mm.
Dies sollte brauchbar sein z.B. für Schulaufgaben, wo etwa
ein Ei-Volumen berechnet werden soll.

2.)  Beschreibung einer ungefähren Eiform durch eine
möglichst einfache Gleichung (mit kleinen ganzen Zahlen).

Die entsprechenden Lösungsvorschläge möchte ich
am Ostermorgen servieren ...

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                        
Bezug
O *: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Sa 04.04.2015
Autor: fred97

[mm] x^2+y^2+0,02=e^{2x-2} [/mm]


Frohe Ostern wünscht

FRED

Bezug
                                
Bezug
O *: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 So 05.04.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]x^2+y^2+0.02=e^{2x-2}[/mm]


oder etwas weniger "spitz" :     []x^2+y^2+0.06=e^(2x-2)


Gruß zum Ostermontag

Al

Bezug
                
Bezug
O *: "wohlgeformte" Eier
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Sa 04.04.2015
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo an alle Eiersucher

Als Destillat meiner Eiervermessungen möchte ich hier als
ansprechende Parameterdarstellung folgendes Beispiel
angeben:

      $\ x(t)\ =\ [mm] 22\,sin(t)-3\,sin(t)\,cos(t)$ [/mm]
      $\ y(t)\ =\ [mm] 30\,cos(t)$ [/mm]

Interpretiert man die Werte als Maßangaben in Millimetern,
hat man ein recht schönes Ei (vermutlich von der Größen-
klasse L ).

Wer eine wirklich sehr einfache Formel für ein ebenfalls
nett geformtes Ei haben möchte, freut sich vielleicht über
diese Gleichung:

      $\ [mm] x^2+\frac{y^3}{8}-y\ [/mm] =\ [mm] 0\qquad (y\ge [/mm] 0)$

Daraus ließe sich ein Hühnerei in echter Größe machen,
wenn die Maßeinheit 2cm beträgt.

So, und nun wünsche ich Euch allen schöne, wirklich
wohlgeformte Ostereier !

:-)    Al-Chwarizmi






    

    

Bezug
                        
Bezug
O *: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:19 So 05.04.2015
Autor: Al-Chwarizmi

        $ \ [mm] x^2+\frac{y^3}{8}-y\ [/mm] =\ [mm] 0\qquad (y\ge [/mm] 0) $

        [Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
O *: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:16 Mo 06.04.2015
Autor: leduart

Hallo Al
fällt dein Ei auf den Berg, oder steigt es weil Ostern ist auf?

[Dateianhang nicht öffentlich]
frohe Ostern Leduart

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
O *: gut aufgepasst !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:26 Mo 06.04.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al
>  fällt dein Ei auf den Berg, oder steigt es weil Ostern
> ist auf?
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  frohe Ostern Leduart


Hallo Leduart,

auf eine solche Bemerkung habe ich fast gewartet.
Dass du sie machst, zeigt immerhin, dass du das
Ganze wirklich nachvollzogen hast.
Deine zweite Interpretation gefällt mir besser,
denn es gehört doch zum Kerngehalt von Ostern,
dass da einiges auf den Kopf gestellt wird - warum
also nicht auch ein simples Koordinatensystem ?

Liebe Grüße

Al


Bezug
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