ONB < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 So 12.06.2005 | | Autor: | wee |
Hi, ich habe Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:
Bestimme eine ONB [mm] {v_{1} , v_{2} } [/mm] von [mm] \IR^2 [/mm] (für das Standardskalarprodukt) und [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \IR [/mm] mit folgender Eigenschaft: Für alle [mm] s_{1}, v_{1}, s_{2}, v_{2}= \vektor{t_{1} \\ t_{2}} [/mm] gilt [mm] 5t_{2}^2+ 2t_{1}^2+4t_{1}t_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{1}s_{1}^2 [/mm] + [mm] \lambda_{2}s_{2}^2
[/mm]
Ich weiss hir leider überhaupt keinen Ansatz. Kann mir also bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt
|
|
| |
|
Hallo wee,
> mit folgender Eigenschaft: Für alle [mm]s_{1}, v_{1}, s_{2}, v_{2}= \vektor{t_{1} \\ t_{2}}[/mm]
> gilt
zwar kann ich mir hierauf nicht so recht einen Reim machen, doch ich denke, Du könntest es so versuchen:
ONB bedeutet doch: [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] sind orthogonal (also Skalarprodukt =0) und jeweils normiert ( [mm] |v_{1}|=1 [/mm] und [mm] |v_{2}|=1).
[/mm]
Dies würde ich mir mit den Koordinaten aufschreiben und dann verarbeiten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Di 14.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Schreibe dir das Ganze mal in Matrizenschreibweise auf:
[mm] $\pmat{t_1 & t_2} \pmat{5 & 2 \\ 2 & 2} \pmat{t_1 \\ t_2} [/mm] = [mm] \pmat{s_1& s_2} \pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2} \pmat{s_1 \\ s_2}$.
[/mm]
Jetzt sieht du, dass du die symmetrische Matrix [mm] $\pmat{5 & 2 \\ 2 & 2}$ [/mm] diagonalisieren musst. Du musst als eine ON-Basis, bestehend aus Eigenvektoren dieser Matrix finden. Rechne also einfach die beiden Eigenvektoren aus. Diese stehen, da wir zwei paarweise verschiedene Eigenwerte einer symmetrischen Matrix haben, dann automatisch senkrecht aufeinander. Anschließend musst du diese dann nur noch gegebenenfalls normieren und bist fertig.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 14.06.2005 | | Autor: | wee |
Alles klar soweit. Ich habe die Eigenwerte 1 und 6 und eine ONB. Aber was sind jetzt die noch zubestimmenden [mm] \lambda [/mm] ? Sind das die Eigenwerte oder die Einträge auf der Hauptdiagonalen der Matrix zur ONB ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Wee,
wenn ich das richtig verstanden habe, dann gilt ja:
[mm] (A-\lambda*E)*x=0
[/mm]
-- als Berechnung des Eigenvektors zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Multiplizierst du E mit [mm] \lambda, [/mm] so taucht dieser Wert auf der Hauptdiagonalen auf - Quasi beides!
Angaben ohne Gewähr (A.d.R.) ......... sollte jemand meine Mitteilung für richtig befinden, so kann sie (er) den Status ja ändern.
Liebe Grüße
Herby
-----------------------------------------------
Jetzt müsste es stimmen 
|
|
|
|
