ONB & Fourrierreihe in L² < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktionen [mm] C_{0}, C_{n}, S_{n} \in L^{2}((-\pi,\pi),\IR),n\in\IN, [/mm] seien definiert durch [mm] C_{0}=\bruch{1}{2\pi},C_{n}=\bruch{1}{\pi}cos(nx),S_{n}=\bruch{1}{\pi}sin(nx)
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass das Funktionensystem [mm] {C_{0}, C_{n}, S_{n}:n\in\IN} [/mm] eine ONB in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] bildet
b) Folgern Sie, dass sich jedes [mm] f\in L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] darstellen lässt als reelle Fourierreihe [mm] f=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n}cos(n*)+b_{n}sin(n*)). [/mm] Geben Sie die Formeln für die Koeffizienten [mm] a_{0},a_{n},b_{n},n\in\IN, [/mm] an. |
Hallo, bei der Teilaufgabe a) müsste ich eigentlich alles haben und zur Teilaufgabe b) kann ich einen Tipp gebrauchen.
Aufgabe a) Hier muss ich die Orthogonalität paarweise und die Normierung bestimmen.
Skalarprdukt in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR): =\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)g(x) dx}
[/mm]
Orthogonalität:
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}*\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(nx) dx}=\bruch{1}{\wurzel{2}*\pi}[\bruch{1}{n}sin(nx)]^{\pi}_{-\pi}=0
[/mm]
( Nullstellen von sin(x) sind auch Nullstellen von sin(nx) [mm] \forall n\in\IN [/mm] )
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}*\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx) dx}=\bruch{1}{\wurzel{2}*\pi}[\bruch{1}{n}(-)cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}=0
[/mm]
( -cos(nx) ist eine gerade Funktion, also -cos(nx)=-cos(-nx) [mm] \forall n\in\IN [/mm] )
[mm] =\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)cos(nx) dx}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}[sin^{2}(nx)]^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)\bruch{1}{n}cos(nx)n dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{2}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)cos(nx) dx}=\bruch{1}{n\pi}[sin^{2}(nx)]^{\pi}_{-\pi}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)cos(nx) dx}=\bruch{1}{2n\pi}[sin^{2}(nx)]^{\pi}_{-\pi}=0
[/mm]
(erste Schritt mit partieller Integration, Nullstellen von sin(x) sind auch Nullstellen von sin(nx) gilt logischerweise auch für [mm] sin^{2}(x) [/mm] und [mm] sin^{2}(nx) \forall n\in\IN [/mm] )
Normierung:
durch Skalarprodukt induzierte Norm: [mm] \parallel f(x)\parallel=\integral_{-\pi}^{\pi}{(f(x))^{2} dx}
[/mm]
[mm] \parallel C_{0}\parallel=\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{2\pi} dx}=\bruch{1}{2}-(-)\bruch{1}{2}=1
[/mm]
[mm] \parallel C_{n}\parallel=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx) dx}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)*cos(nx) dx}
[/mm]
partielle Integration [mm] \Rightarrow \bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{n}*sin(nx)*(-)sin(nx)*n dx})=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}+\integral_{-\pi}^{\pi}{1-cos^{2}(nx) dx})=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}+2\pi-\integral_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx) dx})
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2*\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{\pi}cos^{2}}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}+2\pi)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{\pi}cos^{2}}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{2n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}+\pi)
[/mm]
[mm] sin(nx)*cos(nx)=\bruch{sin(2nx)}{2}\Rightarrow \bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{4n}*\underbrace{[sin(2nx)]^{\pi}_{-\pi}}_{=0}+\pi)=\bruch{\pi}{\pi}=1
[/mm]
Analog [mm] \parallel S_{n}\parallel=1
[/mm]
Damit bildet das Funktionensystem [mm] {C_{0}, C_{n}, S_{n}:n\in\IN} [/mm] ein ONS in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR)
[/mm]
Aufgabe b)
Jetzt muss ich zeigen, dass die 3 Funktion [mm] C_{0}, C_{n}, S_{n} [/mm] ein vollständiges ONS in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] bilden, also eine ONB. Wie kann ich das zeigen? Wenn ich das gezeigt habe, kann man alle Funktionen aus [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] mit abzählbar unendlich vielen Funktionen der ONB darstellen. Die Fourrierreihe bezüglich der ONB ist dann gerade die Reihendarstellung einer Funktion aus [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] und die Koeffizienten sind gerade [mm] , [/mm] und [mm]
[/mm]
Vielen Dank für eure Mühe im voraus!
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 31.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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