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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Untersumme [mm] U_{n} [/mm] und die Obersumme [mm] O_{n} [/mm] für die Funktion [mm] f(x)=2x^{2}+x [/mm] über dem Intervall I=[0;1].Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für [mm] n\to\infty [/mm] ? |
Hallo zusammen^^
Ich versuche grad diese Aufgabe zu lösen,jedoch komme ich da nicht richtig weiter.Ich hab mal so angefangen:
[mm] U_{n}=\bruch{1}{n}*[(2*(\bruch{1}{n})^{2}+\bruch{1}{n})+...+(2*(\bruch{n-1}{n})^{2}+\bruch{n-1}{n})]=\bruch{2}{n^{2}}*[(\bruch{1}{n}+1)+...+(\bruch{n-1}{n}+1)]=\bruch{2}{n^{3}}*[1+...+(n-1)]=\bruch{(n-1)*(n-1+1)}{2}=\bruch{(n-1)*n}{2}=...
[/mm]
Stimmt meine Rechnung bis hierhin?
Ich wusste halt nicht genau,wie ich hier das Intervall ins Spiel bringen soll und wann ich den Grenzwert bilden muss?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
es gibt doch sooo schöne Schreibweisen mit dem Summenzeichen. Das ist echt viel besser lesbar.
> Ich wusste halt nicht genau,wie ich hier das Intervall ins
> Spiel bringen soll und wann ich den Grenzwert bilden muss?
Das ist ein Problem...
Das Intervall läuft ja von 0 bis 1 (beide Werte mit eingeschlossen).
Jetzt berechnest Du erstmal, wie die Unter- bzw.  Obersumme denn bei einer endlichen Zahl von Unterteilungen aussieht.
> Ich hab mal so angefangen:
>
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{n}*\left[\blue{\left(2*0^2+\bruch{0}{n}\right)}+(2*(\bruch{1}{n})^{2}+\bruch{1}{n})+...+(2*(\bruch{n-1}{n})^{2}+\bruch{n-1}{n})\right]=\cdots[/mm]
>
> Stimmt meine Rechnung bis hierhin?
Den blauen Nullterm habe ich mal vollständigkeitshalber dazugeschrieben, damit es in der langen Klammer auch n Terme gibt, denn darum geht es doch: Du unterteilst die Fläche zwischen der x-Achse und der Funktion in n Streifen der Breite [mm] \tfrac{1}{n}, [/mm] und da die Funktion in diesem Intervall streng monoton steigend ist, bildest Du nun die Untersumme, indem Du die Streifenbreite mit dem Funktionswert am linken Rand des Streifens multiplizierst.
Der Ansatz ist dann soweit richtig, aber ab da verrechnest Du Dich bei jedem Rechenschritt. Schon nach dem ersten Gleichheitszeichen stimmt es nicht mehr, aber auch die Umformung nach dem zweiten ist noch einmal falsch.
Mach das doch mal gründlicher, und ich würde Dir wirklich ganz dringend zur Summenschreibweise raten!
Ein Hinweis: wenn Du [mm] \tfrac{2}{n} [/mm] ausklammerst, und vorher in der Klammer der Ausdruck [mm] \tfrac{pipapo}{n} [/mm] stand, dann muss nach dem Ausklammern natürlich noch [mm] \tfrac{pipapo}{2} [/mm] stehen bleiben. Und diese Halben fehlen z.B. durchgehend.
Es ist auch gar nicht geschickt, mehr als ein einfaches [mm] \tfrac{1}{n} [/mm] auszuklammern. Du solltest im nächsten Schritt nur die Terme umordnen und alle, die aus dem ursprünglichen Quadratterm stammen, zu einer Gruppe zusammenfassen, und den Rest zu einer andern.
lg
reverend
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