Ober- und Unterintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass Ober- und Unterintegral einer Klasse [f] mit f [mm] \in F([a,b];\IR) [/mm] nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt. |
Schönen guten Tag,
wir haben vor kurzer Zeit das Thema Integration eingeführt und mir bereitet alles, was etwas über stumpfes Stammfunktionen bilden hinausgeht, noch leichte Probleme.
Zunächst jedoch, wie wir die Dinge definiert haben, wobei ich alles erst einmal auf die Obersumme beschränke, da der Teil für die Untersumme meiner Meinung nach genauso geht.
1.)
[mm] F([a,b];\IR) [/mm] ist der Raum der beschränkten Funktionen
2.)
Die Äquivalenzrelation:
f [mm] \sim [/mm] g [mm] \gdw [/mm] f(x) - g(x) = 0, bis auf endlich viele x
3.)
Das Oberintegral für solche Äquivalenzklassen:
[mm] \integral_{a}^{b \*}{[f(x)] dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b \*}{f(x) dx}
[/mm]
Meine Lösungsansätze:
Also ich soll ja zeigen, dass es egal ist, welchen Repräsentanten einer solchen Äquivalenzklasse ich wähle, da es für das letztendliche Integral keinen Unterschied macht.
Seien f, g [mm] \in F([a,b];\IR), [/mm] für welche die obere Bedingung gilt, also:
[f] = [g], was bedeutet, dass f [mm] \sim [/mm] g
Also gilt auch f(x) - g(x) = 0
Dann folgt für das Oberintegral:
[mm] \integral_{a}^{b \*}{f(x) - g(x) dx} [/mm] = 0
[mm] \integral_{a}^{b \*}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b \*}{g(x) dx} [/mm] = 0
[mm] \integral_{a}^{b \*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b \*}{g(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b \*}{[f(x)] dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b \*}{[g(x)] dx}
[/mm]
Somit ist das Oberintegral für g und f genau gleich, und es macht keinen Unterschied, ob ich nun f oder g zur Berechnung heranziehe.
Ich würde mich sehr freuen, wenn einer von Euch einmal hier drüberschauen würde und mir 1-2 Dinge dazu beitragen könnte.
mit freundlichen Grüßen
Phillippa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Di 20.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass Ober- und Unterintegral einer Klasse [f]
> mit f [mm]\in F([a,b];\IR)[/mm] nicht von der Wahl des
> Repräsentanten abhängt.
> Schönen guten Tag,
>
> wir haben vor kurzer Zeit das Thema Integration eingeführt
> und mir bereitet alles, was etwas über stumpfes
> Stammfunktionen bilden hinausgeht, noch leichte Probleme.
>
> Zunächst jedoch, wie wir die Dinge definiert haben, wobei
> ich alles erst einmal auf die Obersumme beschränke, da der
> Teil für die Untersumme meiner Meinung nach genauso geht.
>
> 1.)
>
> [mm]F([a,b];\IR)[/mm] ist der Raum der beschränkten Funktionen
>
> 2.)
>
> Die Äquivalenzrelation:
>
> f [mm]\sim[/mm] g [mm]\gdw[/mm] f(x) - g(x) = 0, bis auf endlich viele x
>
> 3.)
>
> Das Oberintegral für solche Äquivalenzklassen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b \*}{[f(x)] dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b \*}{f(x) dx}[/mm]
>
>
> Meine Lösungsansätze:
>
> Also ich soll ja zeigen, dass es egal ist, welchen
> Repräsentanten einer solchen Äquivalenzklasse ich wähle,
> da es für das letztendliche Integral keinen Unterschied
> macht.
>
> Seien f, g [mm]\in F([a,b];\IR),[/mm] für welche die obere
> Bedingung gilt, also:
>
> [f] = [g], was bedeutet, dass f [mm]\sim[/mm] g
>
> Also gilt auch f(x) - g(x) = 0
..... bis auf endlich viele x ...... !
>
> Dann folgt für das Oberintegral:
>
> [mm]\integral_{a}^{b \*}{f(x) - g(x) dx}[/mm] = 0
Das ist der Knackpunkt ! Geanau das ist zu zeigen .
>
> [mm]\integral_{a}^{b \*}{f(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b \*}{g(x) dx}[/mm]
> = 0
>
> [mm]\integral_{a}^{b \*}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b \*}{g(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b \*}{[f(x)] dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b \*}{[g(x)] dx}[/mm]
>
> Somit ist das Oberintegral für g und f genau gleich, und
> es macht keinen Unterschied, ob ich nun f oder g zur
> Berechnung heranziehe.
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn einer von Euch einmal
> hier drüberschauen würde und mir 1-2 Dinge dazu beitragen
> könnte.
Wie gesagt: der Beweis für
[mm]\integral_{a}^{b \*}{f(x) - g(x) dx}[/mm] = 0
fehlt.
FRED
>
> mit freundlichen Grüßen
>
> Phillippa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Fred,
erst einmal vielen Dank für deine rasche und präzise Antwort.
Wir hatten das Oberintegral so definiert:
[mm] \integral_{a}^{b \*}{f(x) dx} [/mm] = inf [mm] (\integral_{a}^{b \*}{[t(x)] dx} [/mm] | t ist eine Treppenfunktion, [t] [mm] \ge [/mm] [f]) (Mengenklammern wollte er hier leider nicht machen)
Die Obersumme ist, so wie ich es verstanden habe, also das Integral über der kleinsten Treppenfunktion, die sich über dem eigentlichen Funktionsgraphen befindet, bzw. auf unendlich vielen Punkten oberhalb von f verläuft.
Gilt nun [f] = [g], so bezeichnet die Obersumme in beiden Fällen das Integral über der gleichen Treppenfunktion, sodass diese, wenn man sie voneinander abzieht, 0 ergeben muss.
Mir scheint jedoch, dass dies keine so wirkliche Erklärung für deine Anmerkung:
> Wie gesagt: der Beweis für
>
> [mm]\integral_{a}^{b \*}{f(x) - g(x) dx}[/mm] = 0
>
> fehlt.
ist.
Ich scheine hier doch noch etwas auf dem Schlauch zu stehen, da für mich
[mm] \integral_{a}^{b\*}{f(x) - g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b\*}{0 dx} [/mm] = 0
bedeuten würde, da ja f(x) - g(x) = 0 gilt, aber das erscheint mir dann doch noch etwas zu simpel.
Ic hoffe, Du kannst mir vielleicht noch etwas auf die Sprünge helfen.
Grüße
Phillippa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Di 20.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
f-g=0 ist ja für endlich viele Punkte möglicherweise falsch.
das musst du durch das inf über alle Treppenfunktiionen"kompensieren. nimm an [mm] f((x_i)!.g(x_i)=i [/mm] für i=1 bis n
dann sind alle t die [mm] x_i [/mm] enthalten für f größer als für g
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:44 Di 20.01.2015 | | Autor: | Phillippa |
Hallo leduart,
auch Dir erst einmal vielen Dank für deine Antwort, nur leider will sie mir bei meiner Lösungssuche noch nicht direkt weiterhelfen (was aber ziemlich sicher an mir liegt.)
Ich schreibe hier mal meine Gedankengänge auf:
Mein Ausgangsproblem war es ja, wie mich Fred drauf hingewiesen hat, dass ich nicht beweisen konnte, dass:
[mm] \integral_{a}^{b\*}{f(x) - g(x) dx} [/mm] = 0
gilt, wobei hier das Oberintegral betrachtet wird.
Ich denke der Grund, warum das nicht einfach trivial ist, ist der, dass, wie du ja auch schreibst, f(x) und g(x) auf endlich vielen Punkten verschieden sind und deshalb ja zunächst nicht zwingend 0 ergeben müssen.
Nun ist das Oberintegral ja über das Infimum einer Treppenfunktion definiert, die sich überhalb der Funktion f befindet (siehe Frage 2).
Betrachte ich nun zwei Funktionen f und g, wobei f [mm] \sim [/mm] g gilt, f und g also bis auf endlich viele Punkte übereinstimmen und bilde hier das Oberintegral, so stelle ich mir das so vor:
Angenommen man betrachte einen Punkt [mm] x_{i}. [/mm] Dieser ist einer dieser endlich vielen Punkte, denn hier gilt beispielsweise: f [mm] (x_{i})> g(x_{i}).
[/mm]
Auch hier gibt es natürlich wieder Treppenfunktionen, die über den beiden Funktionen liegen, nur wird hier nun von diesen das Infimum gewählt, also die "kleinste" Treppenfunktion, die oberhalb von g, aber unterhalb von f liegt.
Da dieser Vorgang nun an alles "Ungleichheitsstellen" der beiden Funktionen stattfindet, wird der Unterschied der beiden Funktionen an den endlich vielen Punkten kompensiert, sodass das Oberintegral beider Funktionen letztendlich gleich ist.
Leider weiß ich jedoch nicht, ob das wirklich die Frage, die Fred aufgeworfen hatte, wirklich beantwortet.
Zudem weiß ich nicht ganz, was du mit
[mm]f((x_i)!.g(x_i)=i[/mm]
meinst, soll das einfach bedeuten, beide Funktionen sind ungleich?
Vielen Lieben Dank
Phillippa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Di 20.01.2015 | | Autor: | Phillippa |
Hallo,
habe noch folgendes bei meiner Recherche gefunden:
"Die Wohldefiniertheit von Unter– und Oberintegral basiert zum einen auf der Beschränktheitsvoraussetzung an f (x) und zum anderen auf der Existenz von Infimum und Supremum beschränkter Mengen. (Die zweite Eigenschaft gilt auf Grund der Vollständigkeit von R, das heißt dass jede Cauchy–Folge reeller Zahlen auch einen Grenzwert in den reellen Zahlen besitzt.)"
Hilft das vielleicht, weil so recht erklären kann ich mir die Aussage nicht.
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Hallo,
ich habe heute den Tag über noch ein wenig mehr über die Aufgabe nachdenken können und mich mit einem meiner Kommilitonen beraten können. Vielleicht kann ja doch noch jemand seine Meinung zu diesem etwas weiter ausgearbeitetem Lösungsweg abgeben:
Zu zeigen war es, dass das Ober- bzw. Unterintegral Repräsentantenunabhängig ist. Für genaue Definitionen, etc. siehe bitte Post #1.
Seien nun f, g [mm] \in F([a,b];\IR) [/mm] (Raum der beschränkten Funktionen) gegeben, die sich beide in der selben Äquivalenzklasse befinden. Es gilt also:
[f] = [g], wobei
f [mm] \sim [/mm] g [mm] \gdw [/mm] f(x) - g(x) = 0 , bis auf endlich viele Punkte.
Aus der Definition für das Oberintegral einer Äquivalenzklasse
[mm] \integral_{a}^{b\*}[{f(x)] dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b\*}{f(x) dx}
[/mm]
folgt:
[mm] \integral_{a}^{b\*}{[f(x)] dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b\*}[{g(x)] dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b\*}{f(x) dx}
[/mm]
0 = [mm] \integral_{a}^{b\*}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b\*}{g(x) dx}
[/mm]
0 = [mm] \integral_{a}^{b\*}{(f(x) - g(x)) dx}
[/mm]
Fred hatte mich gestern in seiner ersten Antwort darauf hingewiesen, dass ich nun genau zeigen muss, dass eben genau die letzte Zeile gilt, worauf leduart erwiderte, dass dies wohl über die Definition des Oberintegrals funktioniere.
Dieses hatten wir definiert als:
[mm] \integral_{a}^{b\*}{f(x) dx} [/mm] = inf ( [mm] \integral_{a}^{b}{[t(x)] dx} [/mm] | t ist Treppenfunktion, [t] [mm] \ge [/mm] [f] )
Dann habe ich mir überlegt, dass ja folgendes gelten könnte:
[mm] \integral_{a}^{b\*}{(f(x) - g(x)) dx} [/mm]
= inf ( [mm] \integral_{a}^{b}{[t(x)] dx} [/mm] | t ist Treppenfunktion, [t] [mm] \ge [/mm] [f-g] )
= inf ( [mm] \integral_{a}^{b}{[t(x)] dx} [/mm] | t ist Treppenfunktion, [t] [mm] \ge [/mm] [f]-[g] )
= inf ( [mm] \integral_{a}^{b}{[t(x)] dx} [/mm] | t ist Treppenfunktion, [t] [mm] \ge [/mm] 0 ), da ja [f] = [g] gilt
Dann gilt also:
0 = [mm] \integral_{a}^{b\*}{(f(x) - g(x)) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b\*}{0 dx} [/mm] = 0
Da ja nach Defintion des Oberintegrals die kleinste Treppenfunktion über der 0 gerade die Treppenfunktion, die konstant 0 ist.
Es wäre super, wenn ich hierfür eine kleine Rückmeldung bekommen könnte, und wenn das immer noch nicht stimmen sollte, ein paar weitere hilfreiche Tipps.
Liebe Grüße
Phillippa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 23.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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