Ober- und Untersumme < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Sa 22.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie die Ober- bzw Untersumme von folgender FUnktion:
f: { [0,1] \to R ; x\to 2^x
mit der Zerlegung von (x_{0},....x_{n}) von [0,1] mit x_{k} = k/n (k= 0,..n) |
Also heißt das wieder, ich schaue mir nur den Bereich an, wo x zwischen 0 und eins liegt. Das wäre der Bereich, wenn n=3 ist.
Wie berechne ich dann die Ober- bzw Untersumme??
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo sissenge,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Berechnen Sie die Ober- bzw Untersumme von folgender
> FUnktion:
> f: { [0,1] \to R ; x\to 2^x
> mit der Zerlegung von (x_{0},....x_{n}) von [0,1] mit x_{k}
> = k/n (k= 0,..n)
> Also heißt das wieder, ich schaue mir nur den Bereich an,
> wo x zwischen 0 und eins liegt. Das wäre der Bereich, wenn
> n=3 ist.
>
> Wie berechne ich dann die Ober- bzw Untersumme??
Schaust Du hier: Ober- und Untersumme
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 So 23.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Also die Definition der Obersumme ist ja : [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1}) [/mm] sup f(x)
damit ergibt sich für meine Bedingungen: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (k/n - (k-1)/n) sup f(x)
Das sup f(x) liegt bei einer monoton steigenden Funktion bekanntlich immer am Ende eines intervalls also bei f(k/n) also bei 2^(k/n)
Dann lautet meine Summe: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (1/n) (2^(k/n))
Wie kann ich jetzt weiter machen??
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Hallo sissenge,
> Also die Definition der Obersumme ist ja :
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1})[/mm] sup f(x)
Glaub ich nicht. Was ist denn nun Dein Summationsindex, i oder k?
>
> damit ergibt sich für meine Bedingungen: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm](k/n - (k-1)/n) sup f(x)
dito.
> Das sup f(x) liegt bei einer monoton steigenden Funktion
> bekanntlich immer am Ende eines intervalls also bei f(k/n)
> also bei 2^(k/n)
Ja.
> Dann lautet meine Summe: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (1/n) (2^(k/n))
Auch ja.
> Wie kann ich jetzt weiter machen??
Na, ausrechnen. Das ist eine geometrische Reihe.
Dann auch noch die Untersumme aufstellen. Geht im Prinzip genauso.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 So 23.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Ahh war ein Tippfehler ichhab natürlich k unter dem SUmmenzeichen, fängt mein k bei 0 oder 1 an. Laut aufgabe ist k = 0,.....,n also müsste ich bei 0 anfangen oder.
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Hallo sissenge,
> Ahh war ein Tippfehler ichhab natürlich k unter dem
> SUmmenzeichen, fängt mein k bei 0 oder 1 an. Laut aufgabe
> ist k = 0,.....,n also müsste ich bei 0 anfangen oder.
Nein, die Grenzen des Summationsindexes sind
mit k=1 und k=n schon richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 23.10.2011 | | Autor: | sissenge |
könnte mir evtl noch einer bei der geometrischen Reihe helfen, meine Hochzahl ist ja nun k/n ... was setzte ich dann für n+1 ein:
[mm] \summe_{k=1}^{n} q^{k}= \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
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Hallo sissenge,
> könnte mir evtl noch einer bei der geometrischen Reihe
> helfen, meine Hochzahl ist ja nun k/n ... was setzte ich
> dann für n+1 ein:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} q^{k}= \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
Nein, das gilt für die Summe ab [mm]k=0[/mm] !
Du musst also den Summanden für [mm]k=0[/mm], das ist [mm]q^0=1[/mm] noch abziehen!
Wenn ich das richtig sehe, möchtest du [mm]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot{}2^{\frac{k}{n}}[/mm] berechnen?
Da kannst du erstmal das [mm]\frac{1}{n}[/mm] ausklammern und [mm]2^{\frac{k}{n}}[/mm] gem. Potenzgesetzen umschreiben in [mm]2^{\frac{k}{n}}=\left(2^{1/n}\right)^k[/mm]
Damit [mm]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot{}2^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^n\left(2^{1/n}\right)^k[/mm]
Nun kannst du die obige Formel anwenden mit [mm]q=2^{1/n}[/mm], beachte aber, dass sie erst bei [mm]k=1[/mm] startet!
Gruß
schachuzipus
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