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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Mi 02.04.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit Obersumme und Untersumme, ich soll nun [mm] F_0(4) [/mm] für f(x) = x bestimmen.
Nun kann man die Strecke von 0 bis 4 in n-Teile teilen, somit würde sich ergeben:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{4}{n}(0+1+2+ [/mm] ... + (n-1))
in meinem Buch steht: [mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{16}{n²}(0+1+2+ [/mm] ... + (n-2)+(n-1))
Warum wird dort [mm] \bruch{16}{n²} [/mm] verwendet? Dies ist doch das gleiche wie [mm] \bruch{4}{n}? [/mm] Hat dies was mit dem Auflösen der arithmetischen Reihe zu tun, dass dort dann ein n im Nenner verbleibt? Wie sieht man denn sowas?
Eine weitere Frage, warum steht da: (n-2)+(n-1) für die Folge 0, 1, 2, 3 .. würde sich doch folgende Vorschrift ergeben:
[mm] a_n [/mm] = 0 + (n-1) [mm] \cdot{} [/mm] 1 = n-1
nun kann man dafür die Formel für die Summe der arithmetischen Reihe benutzen, somit:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{4}{n} \cdot{} \bruch{n}{2} \cdot{} [/mm] (n-1) = 2(n-1)
dann die Grenzwertbetrachtung:
[mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] 2(n-1) = [mm] \infty
[/mm]
somit würde die Fläche unter dem Graphen unendlich groß und da kann ja nicht sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mi 02.04.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich beschäftige mich gerade mit Obersumme und Untersumme,
> ich soll nun [mm]F_0(4)[/mm] für f(x) = x bestimmen.
>
> Nun kann man die Strecke von 0 bis 4 in n-Teile teilen,
> somit würde sich ergeben:
>
> [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{n}(0+1+2+[/mm] ... + (n-1))
Das ist nicht die Untersumme. Die Untersumme ist die Summe der Rechtecksflächen. Zu ihrer Berechnung brauchst du zunächst einmal die beiden Rechtecksseiten. Die eine ist immer 4/n. Und die anderen?
> in meinem Buch steht: [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{16}{n²}(0+1+2+[/mm] ... +
> (n-2)+(n-1))
Das wird wohl auch richtig sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Mi 02.04.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > ich beschäftige mich gerade mit Obersumme und Untersumme,
> > ich soll nun [mm]F_0(4)[/mm] für f(x) = x bestimmen.
> >
> > Nun kann man die Strecke von 0 bis 4 in n-Teile teilen,
> > somit würde sich ergeben:
> >
> > [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{n}(0+1+2+[/mm] ... + (n-1))
>
> Das ist nicht die Untersumme. Die Untersumme ist die Summe
> der Rechtecksflächen. Zu ihrer Berechnung brauchst du
> zunächst einmal die beiden Rechtecksseiten. Die eine ist
> immer 4/n. Und die anderen?
Also um die Fläche der einzelnen Rechtecke zu erhalten gilt: x*y. x erhält man aus der Unterteilung der Strecke 4 somit für x = [mm] \bruch{4}{n}
[/mm]
dies nun in die Funktionsvorschrift einsetzen f(x) = x:
f(0) = 0
[mm] f(\bruch{4}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{4}{n}
[/mm]
um nun jeweils die Höhe des nächsten Rechtecks zu bestimmen, musss man die einzelnen Bereich mal 2, 3, 4 usw. nehmen, oder? also:
[mm] f(2\cdot{} \bruch{4}{n}) [/mm] = [mm] 2\cdot{} \bruch{4}{n}
[/mm]
[mm] f(3\cdot{} \bruch{4}{n}) [/mm] = [mm] 3\cdot{} \bruch{4}{n}
[/mm]
daraus folgt für die Untersumme:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{4}{n}[0 [/mm] + [mm] \bruch{4}{n} [/mm] + [mm] 2\cdot{} \bruch{4}{n} [/mm] + [mm] 3\cdot{} \bruch{4}{n}+ [/mm] ... + [mm] (n-1)\cdot{} \bruch{4}{n}]
[/mm]
nun das [mm] \bruch{4}{n} [/mm] ausklammern:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{16}{n²}[0+1+2+3+ [/mm] ...+(n-1)]
dafür wieder die Summe der arithmetische Reihe verwenden:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{16}{n²}\cdot{}\bruch{n}{2}\cdot{}(n-1) [/mm] = [mm] \bruch{16}{2}\cdot{}\bruch{n-1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{16}{2}\cdot{}(1-\bruch{1}{n})
[/mm]
Grenzwertbetrachtung:
[mm] \lim_{n \to \infty} \bruch{16}{2}\cdot{}(1-\bruch{1}{n}) [/mm] = 8 [mm] \cdot{}(1-0) [/mm] = 8
für die Obersumme:
[mm] \lim_{n \to \infty} \bruch{16}{2}\cdot{}(1+\bruch{1}{n}) [/mm] = 8 [mm] \cdot{}(1+0) [/mm] = 8
somit ergibt sich eine Fläche von 8, [mm] F_0(4) [/mm] = 8
> > in meinem Buch steht: [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{16}{n²}(0+1+2+[/mm] ... +
> > (n-2)+(n-1))
>
> Das wird wohl auch richtig sein.
Für die Reihe 0, 1, 2, 3, 4 usw. folgt doch die Vorschrift (n-1), darum verstehe ich nicht, warum es so (n-2)+(n-1) im Buch steht?
Für die Obersumme ergibt sich ja 1, 2, 3, 4 usw. dafür erhalte ich die Vorschrift n+(n-1)
Gruß
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mi 02.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi Michael!
> Für die Reihe 0, 1, 2, 3, 4 usw. folgt doch die Vorschrift
> (n-1), darum verstehe ich nicht, warum es so (n-2)+(n-1) im
> Buch steht?
Naja, da stehen jetzt einfach der vorletzte und der letzte Summand, wenn man die Summe nicht mit dem großen Sigma, sondern in der Pünktchenschreibweise schreibt, kann man das machen. Auch eine Schreibweise wie 0 + 1 + ... + k-1 + k + k+1 + ... + n-1 ist möglich und in manchen Situationen sinnvoll.
Gruß
Dieter
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