Ober und Untersumme < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen!
Wir haben vor kurzem mit INtegralrechnung angefangen und sollen nun sozusagen die Berechnung von Ober und Untersumme verbessern. Dazu haben wir das Intervall [0;4] in n Intervalle eingeteilt.
Unsere Funktion ist [mm] I(t)=\bruch{1}{4} t^2 [/mm] + 1
durch die Einteilung in n Intervalle ist [mm] \Delta [/mm] t = [mm] \bruch{4}{n}
[/mm]
Also hab ich jetzt aufgestellt, dass die Untersumme
[mm] \underline{Q_{n}} [/mm] = I(0)* [mm] \bruch{4}{n} [/mm] + I( [mm] \bruch{4}{n})* \bruch{4}{n} [/mm] + I(2* [mm] \bruch{4}{n})* \bruch{4}{n} [/mm] + I(3* [mm] \bruch{4}{n})* \bruch{4}{n} [/mm] + ... + I(4- [mm] \bruch{4}{n})* \bruch{4}{n}
[/mm]
ist. Das muss ich jetzt aber irgendwie vereinfachen... ich poste mal wie weit ich gekommen bin, aber dann weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll. Hoffe mir kann jemand helfen. Danke schonmal im voraus!
Also : [mm] \underline{Q_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{n} [/mm] * ( I(0) + I( [mm] \bruch{4}{n})+ I(2*\bruch{4}{n})+ [/mm] I(3* [mm] \bruch{4}{n}) [/mm] + ... + I(4- [mm] \bruch{4}{n}))
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{n} [/mm] * ( [mm] \bruch{4}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{32}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{48}{n^2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{4*(n-1)^2}{n^2} [/mm] + n)
= [mm] \bruch{4}{n} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{n^2}*(4+32+48+ [/mm] ...+ [mm] 4*(n-1)^2 [/mm] + [mm] n^3))
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{n^3}* [/mm] (4+32+48+ ...+ [mm] 4*(n-1)^2+n^3)
[/mm]
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Hallo Pia90,
> Hallo zusammen!
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> Wir haben vor kurzem mit INtegralrechnung angefangen und
> sollen nun sozusagen die Berechnung von Ober und Untersumme
> verbessern. Dazu haben wir das Intervall [0;4] in n
> Intervalle eingeteilt.
> Unsere Funktion ist [mm]I(t)=\bruch{1}{4} t^2[/mm] + 1
> durch die Einteilung in n Intervalle ist [mm]\Delta[/mm] t =
> [mm]\bruch{4}{n}[/mm]
>
> Also hab ich jetzt aufgestellt, dass die Untersumme
> [mm]\underline{Q_{n}}[/mm] = I(0)* [mm]\bruch{4}{n}[/mm] + I( [mm]\bruch{4}{n})* \bruch{4}{n}[/mm]
> + I(2* [mm]\bruch{4}{n})* \bruch{4}{n}[/mm] + I(3* [mm]\bruch{4}{n})* \bruch{4}{n}[/mm]
> + ... + I(4- [mm]\bruch{4}{n})* \bruch{4}{n}[/mm]
> ist. Das muss ich
> jetzt aber irgendwie vereinfachen... ich poste mal wie weit
> ich gekommen bin, aber dann weiß ich nicht wie ich weiter
> vorgehen soll. Hoffe mir kann jemand helfen. Danke schonmal
> im voraus!
> Also : [mm]\underline{Q_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{4}{n}[/mm] * ( I(0) + I(
> [mm]\bruch{4}{n})+ I(2*\bruch{4}{n})+[/mm] I(3* [mm]\bruch{4}{n})[/mm] + ...
> + I(4- [mm]\bruch{4}{n}))[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{n}[/mm] * ( [mm]\bruch{4}{n^2}[/mm] + [mm]\bruch{32}{n^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{48}{n^2}[/mm] + ... + [mm]\bruch{4*(n-1)^2}{n^2}[/mm] + n)
> = [mm]\bruch{4}{n}[/mm] * ( [mm]\bruch{1}{n^2}*(4+32+48+[/mm] ...+
> [mm]4*(n-1)^2[/mm] + [mm]n^3))[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{n^3}*[/mm] (4+32+48+ ...+ [mm]4*(n-1)^2+n^3)[/mm]
Für die Summe der ersten k Quadratzahlen gibt es eine Formel:
[mm]\summe_{i=1}^{k}i^{2}=\bruch{k*\left(k+1\right)*\left(k+2\right)}{6}[/mm]
Gruß
MathePower
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