Oberfläche eines Rotationskörp < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Ein Kelch habe die Form eines Paraboloids [mm] z = f(x,y) : = \bruch{x^2 + y^2}{4} ; 0 \le z \le 25 [/mm]
Der Kelch soll vergoldet werden. Wie groß ist seine Oberfläche? |
Hallo,
ich habe zu dieser Aufgabe 2 Fragen.
Einmal habe ich versucht diese Aufgabe über die Formel für den Mantel für Rotationskörper zu lösen , aus dem Papula hab ich die Formel [mm] M = 2 \pi * \int_c^d x * \sqrt{1+(x^\prime)^2} \mathrm dy [/mm]
Nun augenscheinlich funktioniert diese hier nicht so einfach da ich ja leider ein [mm] f(x,y) [/mm] habe und nicht nur ein [mm] f(x) [/mm].
Also gesucht, leider nichts gefunden und dann in der Lösung geschaut in der diese Lösung verwendet wird
[mm] \rightarrow \bruch{O}{2} = \iint_{x^2 + y^2 \le 100 } \sqrt{1+ {f_x}^2 +{f_y}^2 } \mathrm dx \mathrm dy \text{ mit eingesetzten Polarkoordinaten } \bruch{O}{2} = \int_{r=0}^{10} ( \int_{ \varphi = 0}^{2 \pi } \sqrt{1+ \bruch{ r^2}{4} } * r \mathrm d \varphi ) \mathrm dr [/mm]
Mir ist klar warum er die Funktion einmal nach x und einmal nach y abgeleitet hat, aber fehlt denn ( wenn man die "Papula-Formel" genau übertragt) vor dem Integral nicht noch ein [mm] 2 \pi [/mm] also [mm] \rightarrow \bruch{O}{2} = {\color{red} 2 \pi} \iint_{x^2 + y^2 \le 100 } \sqrt{1+ {f_x}^2 +{f_y}^2 } \mathrm dx \mathrm dy [/mm]
?
Und meine Zweite Frage.
Weiter gehts dann zu [mm] \bruch{O}{2} = \int_{r=0}^{10} ( \int_{ \varphi = 0}^{2 \pi } \sqrt{1+ \bruch{ r^2}{4} } * r \mathrm d \varphi ) \mathrm dr = {\color{red} \left[ 2 \pi * \frac{ (1+\bruch{r^2}{4} )^{\bruch{3}{2}}} {3} *4 \right]_0^{10}} [/mm]
Wie hat hier die Umformung statt gefunden? stehe auf der Leitung...
Grüße und danke
Ich habe die Frage auf keiner anderen Internetseite in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Sa 01.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Kelch habe die Form eines Paraboloids [mm]z = f(x,y) : = \bruch{x^2 + y^2}{4} ; 0 \le z \le 25[/mm]
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> Der Kelch soll vergoldet werden. Wie groß ist seine
> Oberfläche?
> Hallo,
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> ich habe zu dieser Aufgabe 2 Fragen.
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> Einmal habe ich versucht diese Aufgabe über die Formel
> für den Mantel für Rotationskörper zu lösen , aus dem
> Papula hab ich die Formel [mm]M = 2 \pi * \int_c^d x * \sqrt{1+(x^\prime)^2} \mathrm dy[/mm]
>
> Nun augenscheinlich funktioniert diese hier nicht so
> einfach da ich ja leider ein [mm]f(x,y)[/mm] habe und nicht nur ein
> [mm]f(x) [/mm].
Na und?
Die rotierende Kurve hat für jeden beliebigen Rotationswinkel die selbe Form. Hier rotiert sie um die z-Achse.
In der x-z-Ebene (wenn y=0 gilt) kann sie durch [mm] z=0,25x^2 [/mm] beschriben werden. Und diese Kurve rotiert.
Gruß Abakus
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> Also gesucht, leider nichts gefunden und dann in der
> Lösung geschaut in der diese Lösung verwendet wird
> [mm]\rightarrow \bruch{O}{2} = \iint_{x^2 + y^2 \le 100 } \sqrt{1+ {f_x}^2 +{f_y}^2 } \mathrm dx \mathrm dy \text{ mit eingesetzten Polarkoordinaten } \bruch{O}{2} = \int_{r=0}^{10} ( \int_{ \varphi = 0}^{2 \pi } \sqrt{1+ \bruch{ r^2}{4} } * r \mathrm d \varphi ) \mathrm dr[/mm]
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> Mir ist klar warum er die Funktion einmal nach x und einmal
> nach y abgeleitet hat, aber fehlt denn ( wenn man die
> "Papula-Formel" genau übertragt) vor dem Integral nicht
> noch ein [mm]2 \pi[/mm] also [mm]\rightarrow \bruch{O}{2} = {\color{red} 2 \pi} \iint_{x^2 + y^2 \le 100 } \sqrt{1+ {f_x}^2 +{f_y}^2 } \mathrm dx \mathrm dy[/mm]
> ?
>
>
> Und meine Zweite Frage.
>
> Weiter gehts dann zu [mm]\bruch{O}{2} = \int_{r=0}^{10} ( \int_{ \varphi = 0}^{2 \pi } \sqrt{1+ \bruch{ r^2}{4} } * r \mathrm d \varphi ) \mathrm dr = {\color{red} \left[ 2 \pi * \frac{ (1+\bruch{r^2}{4} )^{\bruch{3}{2}}} {3} *4 \right]_0^{10}}[/mm]
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> Wie hat hier die Umformung statt gefunden? stehe auf der
> Leitung...
>
>
> Grüße und danke
>
> Ich habe die Frage auf keiner anderen Internetseite in
> keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Aha wäre dann also der Mantel [mm] M= 2 \pi \int_0^{25} \sqrt{4z} * \sqrt{1+4z} * \mathrm dz [/mm] ?
Aber habe ich hiermit auch gleich die Oberfläche?
Nunja hier wird ja dann nicht mit [mm] 0,25x^2 [/mm] weitergerechnet sondern mit Polarkoordinaten.Hab jetzt aber eine Herleitung gefunden für die Funktion die in meinem Beispiel verwendet wird.
Ist nur noch die ganz prinzipielle Frage nach dem rotunterlegten Integrationsschritt offen.
Wie ist der vonstatten gegangen?
Also wie gings von [mm] \int_{r=0}^{10} \left ( \int_{\varphi = 0}^{2 \pi} \sqrt{1+ \bruch{r^2}{4} } *r \mathrm d \varphi \right ) \mathrm dr [/mm] zu [mm] \rightarrow \left [ 2*\pi \bruch { (1+\bruch{r^2}{4} )^{\bruch{3}{2}} }{3} *4 \right ]_0^{10} [/mm]
?
Grüße und danke bisher schonmal
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Hallo Nickles,
> Aha wäre dann also der Mantel [mm]M= 2 \pi \int_0^{25} \sqrt{4z} * \sqrt{1+4z} * \mathrm dz[/mm]
> ?
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> Aber habe ich hiermit auch gleich die Oberfläche?
>
> Nunja hier wird ja dann nicht mit [mm]0,25x^2[/mm] weitergerechnet
> sondern mit Polarkoordinaten.Hab jetzt aber eine Herleitung
> gefunden für die Funktion die in meinem Beispiel verwendet
> wird.
>
> Ist nur noch die ganz prinzipielle Frage nach dem
> rotunterlegten Integrationsschritt offen.
> Wie ist der vonstatten gegangen?
> Also wie gings von [mm]\int_{r=0}^{10} \left ( \int_{\varphi = 0}^{2 \pi} \sqrt{1+ \bruch{r^2}{4} } *r \mathrm d \varphi \right ) \mathrm dr[/mm]
> zu [mm]\rightarrow \left [ 2*\pi \bruch { (1+\bruch{r^2}{4} )^{\bruch{3}{2}} }{3} *4 \right ]_0^{10}[/mm]
>
> ?
Da die Integrationsgrenzen nicht von r bzew [mm]\varphi[/mm] abhängen,
kannst Du dieses Integral so schreiben:
[mm]\int_{r=0}^{10} \left ( \int_{\varphi = 0}^{2 \pi} \sqrt{1+ \bruch{r^2}{4} } *r \mathrm d \varphi \right ) \mathrm dr[/mm]
[mm]=\integral_{\varphi=0}^{2\pi}{ 1 \ d\varphi}*\integral_{r=0}^{10}{r*\wurzel{1+\bruch{r^{2}}{4}} \ dr}[/mm]
Das Integral [mm]\integral_{\varphi=0}^{2\pi}{ 1 \ d\varphi}[/mm] ist leicht zu lösen.
Hingegen bedarf es beim Integral [mm]\integral_{r=0}^{10}{r*\wurzel{1+\bruch{r^{2}}{4}} \ dr}[/mm] etwas mehr Überlegung.
Letztlich hilft hier eine geeignete Substitution weiter.
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> Grüße und danke bisher schonmal
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Substitution hab ich mir auch schon überlegt.
Durch [mm] r^2 = u [/mm] hätte ich ja [mm] \int_0^{ \sqrt{10}} \sqrt{u} * \sqrt{1+ \bruch{u}{4}} \bruch{ \mathrm du}{2r} [/mm]
Aber das nun zu integrieren ist ja auch nicht wirklich besser. Muss ich hier mehr als nur [mm] r^2 = u [/mm] substituieren?
Eine partielle Integration hilft mir ja hier glaube ich auch nicht weiter.
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Hallo Nickles,
> Substitution hab ich mir auch schon überlegt.
> Durch [mm]r^2 = u[/mm] hätte ich ja [mm]\int_0^{ \sqrt{10}} \sqrt{u} * \sqrt{1+ \bruch{u}{4}} \bruch{ \mathrm du}{2r}[/mm]
>
> Aber das nun zu integrieren ist ja auch nicht wirklich
> besser. Muss ich hier mehr als nur [mm]r^2 = u[/mm] substituieren?
> Eine partielle Integration hilft mir ja hier glaube ich
> auch nicht weiter.
Besser Du substituierst hier [mm]u=1+\bruch{r^{2}}{4}[/mm]
Dann ist [mm]u'=\bruch{r}{2}[/mm] bzw. [mm] du = \bruch{r}{2} \ dr[/mm]
Das sollte Dir jetzt weiterhelfen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Nickles |
ah ja gut danke...bin davor zurückgeschreckt, einfach das ganze in der Wurzel zu substituieren ...
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