Oberflächenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Oberflächenintegral [mm] \integral_{\summe}^{}{z+1 dS}, [/mm] wobei [mm] \summe [/mm] der Teil des Ellipsoiden mit der Funktion [mm] x^2+y^2+z^2/2=1 [/mm] ist welcher eingeschlossen wird vom Zylinder der Funktion: {(x,y,z) [mm] \in \IR³|x²+y²\le1/4 [/mm] } und geteilt wird durch die Bedingung [mm] z\ge0 [/mm] |
Hallo alle zusammen.
Also ich habe das ganze nur teils durchgerechnet mit Hand, für das Integral habe ich einen Taschenrechner verwendet, jedoch ist das richtige Ergebnis dort ausgeblieben.
Also meine Oberfläche kann ich beschreiben durch einen Kreis (Zylinderkoordinaten) und der Umformung der Funktion des Ellipsoiden auf z. Kurz gesag sieht das folgendermaßen aus:
[mm] x^2+y^2+z^2/2=1 [/mm] => z²=2x²+2y²-2
mit
x= [mm] \rho*cos(t)
[/mm]
y= [mm] \rho*sin(t)
[/mm]
[mm] z=\wurzel{2*\rho-2}
[/mm]
Somit: [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
[mm] \begin{cases}x=\rho*cos(t) \\ y=\rho*sin(t) \\ \wurzel{2*\rho-2}\end{cases}
[/mm]
Ableitungen nach r und t
[mm] r_\rho [/mm] = [mm] (cos(t),sin(t),\bruch{\wurzel{2}}{2*\wurzel{\rho-1}})
[/mm]
[mm] r_t [/mm] = [mm] (-\rho*sin(t),\rho*cost(t),0)
[/mm]
Kreuzprodukt
[mm] r_\rho \wedge r_t [/mm] (Vektorprodukt) = [mm] (\bruch{-\wurzel{2}*r*cos(t)}{2*\wurzel{\rho-1}} [/mm] , [mm] \bruch{-\wurzel{2}*r*sin(t)}{2*\wurzel{\rho-1}} [/mm] , [mm] \rho)
[/mm]
[mm] |r_\rho \wedge r_t| [/mm] = [mm] \bruch{\rho}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{2*(2*\rho-1)}{\rho-1}}
[/mm]
Mein Integral wird auf einer Kreisfläche gemacht, der Radius variiert zwischen 0 und 1/2 und der Winkel zwischen 0 und [mm] 2\pi.
[/mm]
Somit wäre mein Integral nichts weiteres als:
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{1/2}{r* (\wurzel{2*\rho-2}-1)} *\bruch{\rho}{2} * \wurzel{\bruch{2*(2*\rho-1)}{\rho-1}} dr dt }
[/mm]
Meine Frage nun, stimmt das ganze bis hierher oder habe ich hier bereits einen Fehler gemacht?
Dankeschön
lg
Zuggel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Do 28.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
Alles klar, dann nochmal alles richtig diesmal (Ergebnis stimmt immer noch nicht):
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Oberflächenintegral [mm] \integral_{\summe}^{}{z+1 dS}, [/mm] wobei [mm] \summe [/mm] der Teil des Ellipsoiden mit der Funktion [mm] x^2+y^2+z^2/2=1 [/mm] ist welcher eingeschlossen wird vom Zylinder der Funktion: {(x,y,z) [mm] \in \IR³|x²+y²\le1/4 [/mm] } und geteilt wird durch die Bedingung [mm] z\ge0 [/mm] |
Also meine Oberfläche kann ich beschreiben durch einen Kreis (Zylinderkoordinaten) und der Umformung der Funktion des Ellipsoiden auf z. Kurz gesag sieht das folgendermaßen aus:
[mm] x^2+y^2+z^2/2=1 [/mm] => z²=2-2x²-2y²
mit
x= [mm] \rho*cos(t)
[/mm]
y= [mm] \rho*sin(t)
[/mm]
z= [mm] \wurzel{2*(1-\rho²)}
[/mm]
Somit:
[mm] \begin{cases}x=\rho*cos(t) \\ y=\rho*sin(t) \\ \wurzel{2*(1-\rho²)}\end{cases}
[/mm]
Ableitungen nach r und t
[mm] r_\rho [/mm] = [mm] (cos(t),sin(t),\bruch{-\wurzel{2}*\rho}{\wurzel{1-\rho²}})
[/mm]
[mm] r_t [/mm] = [mm] (-\rho*sin(t),\rho*cost(t),0)
[/mm]
Kreuzprodukt
[mm] r_\rho \wedge r_t [/mm] (Vektorprodukt) = [mm] (\bruch{-\wurzel{2}*r²*cos(t)}{\wurzel{1-\rho²}} [/mm] , [mm] \bruch{-\wurzel{2}*r²*sin(t)}{\wurzel{1-\rho²}} [/mm] , [mm] \rho)
[/mm]
[mm] |r_\rho \wedge r_t| [/mm] = - rho * [mm] \wurzel{\bruch{\rho²+1}{\rho²-1}}
[/mm]
Mein Integral wird auf einer Kreisfläche gemacht, der Radius variiert zwischen 0 und 1/2 und der Winkel zwischen 0 und [mm] 2\pi.
[/mm]
Somit wäre mein Integral nichts weiteres als:
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} *- \rho * \wurzel{\bruch{\rho²+1}{\rho²-1}} d\rho dt }
[/mm]
Ausgegangen davon, dass ich richtig eingetippt habe, kommt bei mir als Lösung:0.7022 heraus, der numerische Wert für die richtige Lösung wäre 2,70 oder in Zahlen laut Lösung:
[mm] 2\pi* [\bruch{\wurzel{2}}{3} [/mm] * [mm] ((\bruch{5}{4})^{3/2}-1)-\wurzel{\bruch{5}{3}}*\bruch{3}{8}+arctan(\wurzel{\bruch{5}{3}})+\bruch{1}{2}-arctan(1)]
[/mm]
Dankeschön
lg
Zuggel
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> [mm]\integral_{\summe}^{}{(z+1)\ dS}[/mm]
> .........
> Ableitungen nach r und t
>
> [mm]r_\rho[/mm] = [mm](cos(t),sin(t),\bruch{-\wurzel{2}*\rho}{\wurzel{1-\rho²}})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]r_t[/mm] = [mm](-\rho*sin(t),\rho*cost(t),0)[/mm]
>
> Kreuzprodukt:
>
> [mm]r_\rho \times r_t =(\bruch{-\wurzel{2}*r²*cos(t)}{\wurzel{1-\rho²}},\bruch{-\wurzel{2}*r²*sin(t)}{\wurzel{1-\rho²}}, \rho)[/mm]
bei den ersten beiden Komponenten habe ich andere Vorzeichen
> [mm]|r_\rho \times r_t|\ = - rho * \wurzel{\bruch{\rho²+1}{\rho²-1}}[/mm]
ich habe: [mm]|r_\rho \times r_t|\ = rho * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}[/mm]
Das Integral wäre dann:
[mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho\ dt }[/mm]
Die Integration über t liefert einfach einen Faktor [mm] 2\pi [/mm] . Dann hätten wir:
[mm]2\pi*{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho}[/mm]
[mm]=\pi*{\integral_{0}^{1/2}{ (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ *2\rho*d\rho}[/mm]
Hier sollte man mit der Substitution [mm] 1-\rho^2=u [/mm] weiterkommen.
LG al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 28.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > [mm]\integral_{\summe}^{}{(z+1)\ dS}[/mm]
>
> > .........
>
> > Ableitungen nach r und t
> >
> > [mm]r_\rho[/mm] =
> [mm](cos(t),sin(t),\bruch{-\wurzel{2}*\rho}{\wurzel{1-\rho²}})[/mm]
>
> > [mm]r_t[/mm] = [mm](-\rho*sin(t),\rho*cost(t),0)[/mm]
> >
> > Kreuzprodukt:
> >
> > [mm]r_\rho \times r_t =(\bruch{-\wurzel{2}*r²*cos(t)}{\wurzel{1-\rho²}},\bruch{-\wurzel{2}*r²*sin(t)}{\wurzel{1-\rho²}}, \rho)[/mm]
>
>
> bei den ersten beiden Komponenten habe ich andere
> Vorzeichen
>
>
> > [mm]|r_\rho \times r_t|\ = - rho * \wurzel{\bruch{\rho²+1}{\rho²-1}}[/mm]
>
>
> ich habe: [mm]|r_\rho \times r_t|\ = rho * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}[/mm]
Ich muss eingestehen, das Minus hat irgendwie mein Taschenrechner hergezaubert, ich verstehe zwar nicht ganz wie, aber er bekommt dies durch das Quadrieren und das darauffolgende Wurzelziehen so heraus. Ich habe es jetzt per Hand kontrolliert, ich komme auf das gleiche Ergebnis wie du, somit denke ich sind wir uns einig, dass dein Ergebnis stimmt.
>
>
>
> Das Integral wäre dann:
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho\ dt }[/mm]
>
> Die Integration über t liefert einfach einen Faktor [mm]2\pi[/mm]
> . Dann hätten wir:
>
> [mm]2\pi*{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho}[/mm]
>
> [mm]=\pi*{\integral_{0}^{1/2}{ (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ *2\rho*d\rho}[/mm]
>
Soweit sogut, ich habe jetzt der Vollständigheit haber das Integral angeschrieben, vielleicht haben wir dort Differenzen:
u= [mm] 1-\rho²
[/mm]
du/dy = 2r somit dr= du/2r
1+r² kann man auch so ausdrücken:
1+r²=-u+2 bzw 2-u
Somit wird mein Integral:
[mm] \pi*\integral_{}^{}{ (\wurzel{2*u}+1)} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{2-u}{u}} [/mm] du nun multipliziere ich aus und erhalte nach dem Streichen:
[mm] \pi*\integral_{}^{}{(\wurzel{(2-u)*2} + \wurzel{\bruch{2-u}{u})} du}
[/mm]
Wobei:
[mm] \integral_{}^{}{ (\wurzel{(2-u)*2}} [/mm]
ich folgendermaßen löse: t = 2-u
dt/du = -1
-dt = du
Somit mein neues Integral:
[mm] -\integral_{}^{}{\wurzel{t} * \wurzel{2} dt} [/mm] = [mm] -2\wurzel{2}*\bruch{2}{3}*\wurzel{(2-u)³}
[/mm]
beim anderen bin ich noch etwas am überlegen wie ich es lösen sollte, jedenfalls mit Taschenrechner komme ich auf folgendes Ergebnis:
Keine reelle Zahl als Ergebnis.
Ich poste solbald ich etwas neues heraus habe
lg
Zuggel
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> > > [mm]|r_\rho \times r_t|\ = - rho * \wurzel{\bruch{\rho²+1}{\rho²-1}}[/mm]
> >
> >
> > ich habe: [mm]|r_\rho \times r_t|\ = rho * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}[/mm]
>
>
> Ich muss eingestehen, das Minus hat irgendwie mein
> Taschenrechner hergezaubert, ich verstehe zwar nicht ganz
> wie,
ich auch nicht ...
> aber er bekommt dies durch das Quadrieren und das
> darauffolgende Wurzelziehen so heraus. Ich habe es jetzt
> per Hand kontrolliert, ich komme auf das gleiche Ergebnis
> wie du, somit denke ich sind wir uns einig, dass dein
> Ergebnis stimmt.
O.K. (bei deinem Term würden die Radikanden negativ !)
> > Das Integral wäre dann:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho\ dt }[/mm]
>
> >
> > Die Integration über t liefert einfach einen Faktor [mm]2\pi[/mm] . Dann hätten wir:
> >
> > [mm]2\pi*{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\pi*{\integral_{0}^{1/2}{ (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ *2\rho*d\rho}[/mm]
>
>
> Soweit sogut, ich habe jetzt der Vollständigheit halber das
> Integral angeschrieben, vielleicht haben wir dort
> Differenzen:
>
> u= [mm]1-\rho²[/mm]
> du/dy = 2r somit dr= du/2r ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Vorzeichen ??
> 1+r² kann man auch so ausdrücken:
> 1+r²=-u+2 bzw 2-u
>
> Somit wird mein Integral:
>
> [mm]\pi*\integral_{}^{}{ (\wurzel{2*u}+1)}*\wurzel{\bruch{2-u}{u}}\du[/mm]
> nun multipliziere ich aus und erhalte nach dem Streichen:
>
> [mm]\pi*\integral_{}^{}{(\wurzel{(2-u)*2} + \wurzel{\bruch{2-u}{u})}}\ du[/mm]
das hatte ich auch (bis auf das Vorzeichen)
hier sollte man nun die Grenzen für u einsetzen (z.B. [mm] \rho=0 [/mm] führt auf u=1)
Gruß al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Do 28.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > > > [mm]|r_\rho \times r_t|\ = - rho * \wurzel{\bruch{\rho²+1}{\rho²-1}}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > ich habe: [mm]|r_\rho \times r_t|\ = rho * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}[/mm]
>
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> >
> > Ich muss eingestehen, das Minus hat irgendwie mein
> > Taschenrechner hergezaubert, ich verstehe zwar nicht ganz
> > wie,
>
> ich auch nicht ...
>
> > aber er bekommt dies durch das Quadrieren und das
> > darauffolgende Wurzelziehen so heraus. Ich habe es jetzt
> > per Hand kontrolliert, ich komme auf das gleiche Ergebnis
> > wie du, somit denke ich sind wir uns einig, dass dein
> > Ergebnis stimmt.
>
> O.K. (bei deinem Term würden die Radikanden negativ !)
>
>
> > > Das Integral wäre dann:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho\ dt }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Die Integration über t liefert einfach einen Faktor [mm]2\pi[/mm]
> . Dann hätten wir:
> > >
> > > [mm]2\pi*{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho}[/mm]
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> > >
> > > [mm]=\pi*{\integral_{0}^{1/2}{ (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ *2\rho*d\rho}[/mm]
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> >
> > Soweit sogut, ich habe jetzt der Vollständigheit halber das
> > Integral angeschrieben, vielleicht haben wir dort
> > Differenzen:
> >
> > u= [mm]1-\rho²[/mm]
> > du/dy = 2r somit dr= du/2r
>
> Vorzeichen ??
>
> > 1+r² kann man auch so ausdrücken:
> > 1+r²=-u+2 bzw 2-u
> >
> > Somit wird mein Integral:
> >
> > [mm]\pi*\integral_{}^{}{ (\wurzel{2*u}+1)}*\wurzel{\bruch{2-u}{u}}\du[/mm]
>
> > nun multipliziere ich aus und erhalte nach dem Streichen:
> >
> > [mm]\pi*\integral_{}^{}{(\wurzel{(2-u)*2} + \wurzel{\bruch{2-u}{u})}}\ du[/mm]
>
> das hatte ich auch (bis auf das Vorzeichen)
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> hier sollte man nun die Grenzen für u einsetzen (z.B.
> [mm]\rho=0[/mm] führt auf u=1)
>
>
> Gruß al-Ch.
Wohl angemerkt, es kann durchaus sein, dass die Lösung falsch ist. Aber bekommst du eine reelle Lösung heraus, mir hat der Taschenrechner ausgespuckt, dass es nicht ginge? (rechne es morgen per Hand weiter)
lg
Zuggel
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> Wohl angemerkt, es kann durchaus sein, dass die Lösung
> falsch ist. Aber bekommst du eine reelle Lösung heraus, mir
> hat der Taschenrechner ausgespuckt, dass es nicht ginge?
> (rechne es morgen per Hand weiter)
Hallo Zuggel,
ich komme am Schluss auf das Integral:
[m]\ \pi* \integral_{u=0.75}^{1}\left[{(4-2u)^{0.5}}+\wurzel{\bruch{2}{u}-1}\ \right]\ du [/m]
(Unter- und Obergrenze ausgetauscht, um das Vorzeichen zu wechseln)
Stammfunktion (ohne den Faktor [mm] \pi) [/mm] :
[m]-\ \bruch{1}{3}*(4-2u)^{1.5}+\wurzel{2u-u^2}-2*arctan \wurzel{\bruch{2}{u}-1} [/m]
Nach dem Einsetzen der Grenzen erhalte ich den Zahlenwert
2.0711 . Ich habe auch in den Term der von dir angegebenen
Lösung eingesetzt und bekomme damit denselben Wert
(also nicht 2.70 !). Weshalb ich dieses Ergebnis nicht schon früher
hatte, beruht auf einem läppischen Fehler: Faktor [mm] \pi [/mm] vergessen !
LG und gute Nacht !
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Wohl angemerkt, es kann durchaus sein, dass die Lösung
> > falsch ist. Aber bekommst du eine reelle Lösung heraus, mir
> > hat der Taschenrechner ausgespuckt, dass es nicht ginge?
> > (rechne es morgen per Hand weiter)
>
>
>
> Hallo Zuggel,
>
> ich komme am Schluss auf das Integral:
>
>
> [m]\ \pi* \integral_{u=0.75}^{1}\left[{(4-2u)^{0.5}}+\wurzel{\bruch{2}{u}-1}\ \right]\ du[/m]
>
> (Unter- und Obergrenze ausgetauscht, um das Vorzeichen zu
> wechseln)
>
> Stammfunktion (ohne den Faktor [mm]\pi)[/mm] :
>
> [m]-\ \bruch{1}{3}*(4-2u)^{1.5}+\wurzel{2u-u^2}-2*arctan \wurzel{\bruch{2}{u}-1}[/m]
>
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> Nach dem Einsetzen der Grenzen erhalte ich den Zahlenwert
> 2.0711 . Ich habe auch in den Term der von dir
> angegebenen
> Lösung eingesetzt und bekomme damit denselben Wert
> (also nicht 2.70 !). Weshalb ich dieses Ergebnis nicht
> schon früher
> hatte, beruht auf einem läppischen Fehler: Faktor [mm]\pi[/mm]
> vergessen !
Da ist mir wohl ein Ziffernsturz passiert, entschuldige - also ist das richtige Ergebnis 2,07
Aber eine Frage habe ich noch: WIe löst du das Integral:
[mm] \integral {\wurzel{\bruch{2}{u}-1} du}
[/mm]
Ich habe jetzt mal versucht für t=2/u zu verwendet, das verschlimmert meine Lage jedoch noch mehr.
Dankeschön
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > > Wohl angemerkt, es kann durchaus sein, dass die Lösung
> > > falsch ist. Aber bekommst du eine reelle Lösung heraus, mir
> > > hat der Taschenrechner ausgespuckt, dass es nicht ginge?
> > > (rechne es morgen per Hand weiter)
> >
> >
> >
> > Hallo Zuggel,
> >
> > ich komme am Schluss auf das Integral:
> >
> >
> > [m]\ \pi* \integral_{u=0.75}^{1}\left[{(4-2u)^{0.5}}+\wurzel{\bruch{2}{u}-1}\ \right]\ du[/m]
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> > (Unter- und Obergrenze ausgetauscht, um das Vorzeichen zu
> > wechseln)
> >
> > Stammfunktion (ohne den Faktor [mm]\pi)[/mm] :
> >
> > [m]-\ \bruch{1}{3}*(4-2u)^{1.5}+\wurzel{2u-u^2}-2*arctan \wurzel{\bruch{2}{u}-1}[/m]
>
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> > Nach dem Einsetzen der Grenzen erhalte ich den Zahlenwert
> > 2.0711 . Ich habe auch in den Term der von dir
> > angegebenen
> > Lösung eingesetzt und bekomme damit denselben Wert
> > (also nicht 2.70 !). Weshalb ich dieses Ergebnis nicht
> > schon früher
> > hatte, beruht auf einem läppischen Fehler: Faktor
> [mm]\pi[/mm]
> > vergessen !
>
> Da ist mir wohl ein Ziffernsturz passiert, entschuldige -
> also ist das richtige Ergebnis 2,07
>
> Aber eine Frage habe ich noch: WIe löst du das Integral:
>
> [mm]\integral {\wurzel{\bruch{2}{u}-1} du}[/mm]
> Ich habe jetzt mal
> versucht für t=2/u zu verwendet, das verschlimmert meine
> Lage jedoch noch mehr.
>
> Dankeschön
>
Einfacher ist die Substitution mit t= u/2 somit bekomme ich mein Integral in die Form:
wobei dt/du= 1/2 und du= 2dt
[mm] \integral{ \wurzel{\bruch{1}{t}-1} * 2dt}
[/mm]
Wobei immer noch die Wurzel ein Problem für mich ein Problem darstellt!
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> Aber eine Frage habe ich noch: WIe löst du das Integral:
>
> [mm]\integral {\wurzel{\bruch{2}{u}-1} du}[/mm]
> Ich habe jetzt mal
> versucht für t=2/u zu verwendet, das verschlimmert meine
> Lage jedoch noch mehr.
Hallo,
geht das nicht mit
u=2cos^2t ?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > Aber eine Frage habe ich noch: WIe löst du das Integral:
> >
> > [mm]\integral {\wurzel{\bruch{2}{u}-1} du}[/mm]
> > Ich habe jetzt
> mal
> > versucht für t=2/u zu verwendet, das verschlimmert meine
> > Lage jedoch noch mehr.
>
> Hallo,
>
> geht das nicht mit
>
> u=2cos^2t ?
>
> Gruß v. Angela
Hallo Angela
Also mit deinem Vorschlag:
u=2cos(t)² somit [mm] \bruch{ \partial u}{ \partial t } [/mm] = 4cos(t)*sin(t) oder [mm] \partial [/mm] u = 4cos(t)*sin(t)*dt
Somit mein Integral:
[mm] \integral {\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}*4cos(t)*sin(t)*dt}
[/mm]
Also ich weiß nicht ob mich das weiterbring, denn 1/ cos²(t) ist doch wieder so eine Sache...
2. Frage:
Kann es sein,dass wir beim Integral die Jacobi Konstante [mm] \rho [/mm] vergessen haben, ich zitiere hier unseren Start mit dem Integral:
> ich habe: [mm]|r_\rho \times r_t|\ = rho * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}[/mm]
> Das Integral wäre dann:
>
> [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{1/2}{\rho * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho\ dt }
[/mm]
Das eine rho kommt aus der Substitution, müsste jetzt nicht noch eines dazu kommen und mein Integral in folgende Form bringen:
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{1/2}{\rho² * (\wurzel{2*(1-\rho²)}+1)} * \wurzel{\bruch{1+\rho²}{1-\rho²}}\ d\rho\ dt }
[/mm]
Soviel ich verstanden habe, wird Jacobi doch immer angewandt, wenn ich KO-System wechsle, in diesem Fall sind wird von kartesischen in Zylinder-Ko gegangen.
lg und Dankeschön
Zuggel
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> >
> > > Aber eine Frage habe ich noch: WIe löst du das Integral:
> > >
> > > [mm]\integral {\wurzel{\bruch{2}{u}-1} du}[/mm]
> > > Ich habe
> jetzt
> > mal
> > > versucht für t=2/u zu verwendet, das verschlimmert meine
> > > Lage jedoch noch mehr.
> >
> > Hallo,
> >
> > geht das nicht mit
> >
> > u=2cos^2t ?
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
> Hallo Angela
>
> Also mit deinem Vorschlag:
>
> u=2cos(t)² somit [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial t }[/mm] =
> 4cos(t)*sin(t) oder [mm]\partial[/mm] u = 4cos(t)*sin(t)*dt
>
> Somit mein Integral:
>
> [mm]\integral {\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}*4cos(t)*sin(t)*dt}[/mm]
>
> Also ich weiß nicht ob mich das weiterbring, denn 1/
> cos²(t) ist doch wieder so eine Sache...
Hallo,
da kann ich nur sagen: Mut zur Bruchrechnung...
Bring den Ausdruck unter der Wurzel doch mal auf einen gemeinsamen Nenner.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > >
> > > > Aber eine Frage habe ich noch: WIe löst du das Integral:
> > > >
> > > > [mm]\integral {\wurzel{\bruch{2}{u}-1} du}[/mm]
> > > > Ich
> habe
> > jetzt
> > > mal
> > > > versucht für t=2/u zu verwendet, das verschlimmert meine
> > > > Lage jedoch noch mehr.
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > geht das nicht mit
> > >
> > > u=2cos^2t ?
> > >
> > > Gruß v. Angela
> >
> >
> > Hallo Angela
> >
> > Also mit deinem Vorschlag:
> >
> > u=2cos(t)² somit [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial t }[/mm] =
> > 4cos(t)*sin(t) oder [mm]\partial[/mm] u = 4cos(t)*sin(t)*dt
> >
> > Somit mein Integral:
> >
> > [mm]\integral {\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}*4cos(t)*sin(t)*dt}[/mm]
>
> >
> > Also ich weiß nicht ob mich das weiterbring, denn 1/
> > cos²(t) ist doch wieder so eine Sache...
>
> Hallo,
>
> da kann ich nur sagen: Mut zur Bruchrechnung...
>
> Bring den Ausdruck unter der Wurzel doch mal auf einen
> gemeinsamen Nenner.
>
> Gruß v. Angela
Gut also mein Lösungsweg (ich frage mich immer noch wie du auf diese raffinierte Substitution gekommen bist):
Wir hatten:
u=2cos(t)² somit [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial t } =
4cos(t)*sin(t) [/mm] oder [mm]\partial u = 4cos(t)*sin(t)*dt[/mm]
Somit mein Integral:
[mm] \integral {\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}*4cos(t)*sin(t)*dt}
[/mm]
Das Problem war:
[mm] \integral {\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}} [/mm] =
[mm] \integral {\wurzel {\bruch{1-cos²(t)}{cos(t)²}}} [/mm] = [mm] \integral {\wurzel {\bruch{sin²(t)}{cos(t)²}}} [/mm] = [mm] \integral {\wurzel {tan²(t)}} [/mm] = [mm] \integral [/mm] {tan(t)}
Also:
[mm] \integral [/mm] {tan(t)*4cos(t)*sin(t)*dt} = [mm] \integral {\bruch{sin(t)}{cos(t)}*4cos(t)*sin(t)*dt} [/mm] = [mm] \integral [/mm] {4 * sin²(t) *dt} = 2 * x-sin(t)*cos(t)
Stimmt das so? Mir gehen etwas die arc tan ab, welche in der Lösung zu finden sind.
lg
Zuggel
Meine Frage bezüglich der Jacobi Konstante steht noch
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> Gut also mein Lösungsweg (ich frage mich immer noch wie du
> auf diese raffinierte Substitution gekommen bist):
>
Hallo,
Lebenserfahrung: 1000mal nicht gekonnt, 1000mal gestaunt, beim 1001.ten Mal selbst gemacht und andere zum Staunen gebracht.
> Wir hatten:
> u=2cos(t)² somit [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial t } =
4cos(t)*sin(t)[/mm]
> oder [mm]\partial u = 4cos(t)*sin(t)*dt[/mm]
>
> Somit mein Integral:
>
> [mm]\integral {\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}*4cos(t)*sin(t)*dt}[/mm]
>
> Das Problem war:
>
> [mm]{\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}}[/mm] =
>
> [mm] {\wurzel {\bruch{1-cos²(t)}{cos(t)²}}}[/mm] =
> [mm] {\wurzel {\bruch{sin²(t)}{cos(t)²}}}[/mm] = [mm]\integral {\wurzel {tan²(t)}}[/mm]
> = [mm][/mm] {tan(t)}
>
> Also:
>
> [mm]\integral[/mm] {tan(t)*4cos(t)*sin(t)*dt} = [mm]\integral {\bruch{sin(t)}{cos(t)}*4cos(t)*sin(t)*dt}[/mm]
> = [mm]\integral[/mm] {4 * sin²(t) *dt} = 2 * x-sin(t)*cos(t)
>
> Stimmt das so?
Fast. Du hast Dich bei [mm] \partial [/mm] u mit dem Vorzeichen vertan.
> Mir gehen etwas die arc tan ab, welche in
> der Lösung zu finden sind.
Irgendwelche Arküsse müssen ja bei Rücksubstituieren oder (falls Du mit Grenzen rechnest) beim Anpassen der Grenzen auftauchen.
Gruß v. Angela
>
> lg
> Zuggel
>
> Meine Frage bezüglich der Jacobi Konstante steht noch
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > Gut also mein Lösungsweg (ich frage mich immer noch wie du
> > auf diese raffinierte Substitution gekommen bist):
> >
>
> Hallo,
>
> Lebenserfahrung: 1000mal nicht gekonnt, 1000mal gestaunt,
> beim 1001.ten Mal selbst gemacht und andere zum Staunen
> gebracht.
>
> > Wir hatten:
> > u=2cos(t)² somit [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial t } =
4cos(t)*sin(t)[/mm]
> > oder [mm]\partial u = 4cos(t)*sin(t)*dt[/mm]
> >
> > Somit mein Integral:
> >
> > [mm]\integral {\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}*4cos(t)*sin(t)*dt}[/mm]
>
> >
> > Das Problem war:
> >
> > [mm]{\wurzel {\bruch{1}{cos(t)²}-1}}[/mm] =
> >
> > [mm]{\wurzel {\bruch{1-cos²(t)}{cos(t)²}}}[/mm] =
> > [mm]{\wurzel {\bruch{sin²(t)}{cos(t)²}}}[/mm] = [mm]\integral {\wurzel {tan²(t)}}[/mm]
> > =[mm][/mm] {tan(t)}
> >
> > Also:
> >
> > [mm]\integral[/mm] {tan(t)*4cos(t)*sin(t)*dt} = [mm]\integral {\bruch{sin(t)}{cos(t)}*4cos(t)*sin(t)*dt}[/mm]
> > = [mm]\integral[/mm] {4 * sin²(t) *dt} = 2 * x-sin(t)*cos(t)
> >
> > Stimmt das so?
>
> Fast. Du hast Dich bei [mm]\partial[/mm] u mit dem Vorzeichen
> vertan.
>
> > Mir gehen etwas die arc tan ab, welche in
> > der Lösung zu finden sind.
>
> Irgendwelche Arküsse müssen ja bei Rücksubstituieren oder
> (falls Du mit Grenzen rechnest) beim Anpassen der Grenzen
> auftauchen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > lg
> > Zuggel
> >
> > Meine Frage bezüglich der Jacobi Konstante steht noch
>
Das wird wohl so sein. Danke jedenfalls :)
Sag Angela, hast du zufällig eine Idee warum hier die Jacobi Konstante nicht gebraucht wird? Ich habe jetzt unsere Rechnung nochmals kontrolliert, mit Jacobi kommt hier das falsche heraus. Ohne wohl das richtige wie ich feststellen muss.
lg
Zuggel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
Die Jacobi-Konstante verschwindet bei der Substitution durch [mm] u=1-\rho²
[/mm]
Danke an alle die mir hier geholfen haben!
lg
Zuggel
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Ich denke, was die Jacobi-Konstante leistet, haben
wir durch die Berechnung des Flächenelementes
dS durch das Vektorprodukt quasi selber gemacht,
ohne Jacobi ...
Ich habe dazu gerade noch etwas hübsches im Netz
gefunden: siehe unten, speziell Abschnitt II. !
tschüss und schönes Wochenende !  al-Chw.
Wann brauche ich denn nun in einem Integral eine "Verzerrung" und wann nicht ?
Grundsätzlich tritt im Integral immer eine Verzerrung auf, wenn man die Transformationsformel benutzt oder eine Parametrisierung verwendet. Also braucht man dann grundsätzlich immer eine Verzerrung.
I.) Bei Bereichsintegralen (also Volumenintegralen im Dreidimensionalen und bei Flächenintegralen im Zweidimensionalen) ist das die Jacobi-Determinante der Transformation.
II.) Bei Oberflächenintegralen im Dreidimensionalen ist es [mm] \|X_u\times X_v\|, [/mm] wobei X: [mm] (u,v)\mapsto [/mm] X(u,v) die Parametrisierung des Flächenstücks ist. Handelt es sich um ein Flussintegral, d.h. der Integrand ist von der Form [mm] F\cdot [/mm] n, und wir ermitteln den Normalenvektor n als Kreuzprodukt [mm] n=X_u\times X_v, [/mm] so kürzt sich die "Verzerrung" gegen die Norm der Normalen weg. In diesem Fall brauchen wir die Verzerrung nicht auszurechnen, da der Normalenvektor diese Information bereits mitbringt. Anders sieht es aus, wenn wir uns n auf andere Weise beschaffen (z.B. wenn offensichtlich ist, dass er genau nach unten oder oben zeigt). In diesem Fall steckt keine Information über die Verzerrung im Normalenvektor, wir müssen sie also extra berechnen.
III.) Bei Kurvenintegralen im Zwei- und Dreidimensionalen ist es [mm] \|\dot{x}(t)\|, [/mm] wobei x: [mm] t\mapsto [/mm] x(t) die Parametrisierung des Kurvenstücks ist. Auch hier gilt wieder: bei speziellen Integralen, nämlich Arbeitsintegralen (d.h. über [mm] f\cdot\tau, \tau [/mm] Tangenteneinheitsvektor) und Flussintegralen (d.h. über [mm] f\cdot\nu, \nu [/mm] Normaleneinheitsvektor) kürzt sich die Verzerrung gegen die Norm weg, wenn wir uns den Tangentenvektor als [mm] \dot{x}(t) [/mm] beschaffen.
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