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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Di 31.01.2012 | | Autor: | thadod |
Guten abend alle zusammen.
Aufgabe:
Berechne das Oberflächenintegral der skalaren Funktion [mm] f:\IR^3 \to \IR [/mm] über die Oberfläche O [mm] \subset \IR^3
[/mm]
Es ist [mm] f:(x,y,z)\to x^2+y^2
[/mm]
O sei die Halbsphäre vom Radius r, deren Grundlinie in der xy - Ebene liegt.
Mir ist nun leider unklar, wie ich ein Oberflächenintegral einer skalaren Funktion über eine Oberfläche berechnen kann.
Was mir klar ist:
die Oberfläche ist ja eine Halbsphäre. Wir verwenden also scheinbar Kugelkoordinaten.
Und die parametrisierung von Kugelkoordinaten ist ja:
[mm] \Phi(\theta, \phi)=\pmat{ r sin\theta cos\phi \\ r\sin\theta sin\phi \\ r cos\theta }
[/mm]
allgemein weiß ich zwar, dass [mm] x^2+y^2 [/mm] einen Kreis beschreibt, aber es ist ja nur [mm] f(x,y,z)=x^2+y^2
[/mm]
wie also muss ich hier ran gehen ?
mfg und vielen vielen dank thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 31.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Guten abend alle zusammen.
>
> Aufgabe:
>
> Berechne das Oberflächenintegral der skalaren Funktion
> [mm]f:\IR^3 \to \IR[/mm] über die Oberfläche O [mm]\subset \IR^3[/mm]
>
> Es ist [mm]f:(x,y,z)\to x^2+y^2[/mm]
> O sei die Halbsphäre vom
> Radius r, deren Grundlinie in der xy - Ebene liegt.
>
> Mir ist nun leider unklar, wie ich ein Oberflächenintegral
> einer skalaren Funktion über eine Oberfläche berechnen
> kann.
das tut man mit einem skalaren Oberflächenintegral (-> Nachschlagen).
>
> Was mir klar ist:
>
> die Oberfläche ist ja eine Halbsphäre. Wir verwenden also
> scheinbar Kugelkoordinaten.
>
> Und die parametrisierung von Kugelkoordinaten ist ja:
>
> [mm]\Phi(\theta, \phi)=\pmat{ r sin\theta cos\phi \\ r\sin\theta sin\phi \\ r cos\theta }[/mm]
Wenn überhaupt, dann ist das die Parametrisierung eines beliebigen Teils einer Kugeloberfläche. Dazu fehlt aber noch die Angabe eines Definitionsbereiches.
>
> allgemein weiß ich zwar, dass [mm]x^2+y^2[/mm] einen Kreis
Nein, das beschreibt so gar nichts, außer einer Summe aus zwei Quadraten.
> beschreibt, aber es ist ja nur [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2[/mm]
>
> wie also muss ich hier ran gehen ?
Wie dieses f aussieht spielt für das Oberflächenintegral überhaupt keine Rolle. Du musst Dich nur um die Parametrisierung kümmern und ausrechen.
>
> mfg und vielen vielen dank thadod
Die gleiche Frage wird auch hier behandelt:
https://vorhilfe.de/read?t=864090
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Mi 01.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo notinx und dankeschön für deine Hilfe...
Der Link den du mir geschickt hast, ist leider nicht so informativ...
Also es geht ja letztlich scheinbar um das skalare Oberflächenflächenintegral einer Halbsphäre.
Ich entscheide mich nun für die Halbsphäre, nennen wir sie besser obere Halbkugel. Diese Obere Halbkugel liegt mit der Grundfläche auf der xy - Ebene (Wie gefordert).
Es gilt nun allgemein für die Menge in Kugelkoordinaten (nennen wir sie A):
A= [mm] \left\{ (r,\theta,\phi) \in \IR^3 | r \ge 0 , 0 \le \theta \le \bruch{\pi}{2} , 0 \le \phi \le 2\pi \right\}
[/mm]
Ich parametrisiere nun wie folgt:
[mm] \Phi(\theta, \phi)=\pmat{ r sin\theta cos\phi \\ r\sin\theta sin\phi \\ r cos\theta }
[/mm]
Wie [mm] \theta [/mm] und [mm] \phi [/mm] definiert sind, gibt ja eigentlich meine Menge wieder.
Was bei Oberflächenintegralen allgemein passiert ist mir ja klar.
Ich war mir leider nicht so sicher, wie ich [mm] f(x,y,z)=x^2+y^2 [/mm] unterbringen soll.
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Mi 01.02.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinx und dankeschön für deine Hilfe...
>
> Der Link den du mir geschickt hast, ist leider nicht so
> informativ...
>
> Also es geht ja letztlich scheinbar um das skalare
> Oberflächenflächenintegral einer Halbsphäre.
>
> Ich entscheide mich nun für die Halbsphäre, nennen wir
> sie besser obere Halbkugel. Diese Obere Halbkugel liegt mit
> der Grundfläche auf der xy - Ebene (Wie gefordert).
>
> Es gilt nun allgemein für die Menge in Kugelkoordinaten
> (nennen wir sie A):
>
> A= [mm]\left\{ (r,\theta,\phi) \in \IR^3 | r \ge 0 , 0 \le \theta \le \bruch{\pi}{2} , 0 \le \phi \le 2\pi \right\}[/mm]
Diese Menge wäre der komplette positive Halbraum (oberhalb der x-y-Ebene).
Richtig ist so:
[mm] $A=\left\{ (r,\theta,\varphi) \in \IR^3 | r=\text{konst.} , 0 \le \theta \le \bruch{\pi}{2} , 0 \le \varphi \le 2\pi \right\}$
[/mm]
>
> Ich parametrisiere nun wie folgt:
>
> [mm]\Phi(\theta, \phi)=\pmat{ r sin\theta cos\phi \\ r\sin\theta sin\phi \\ r cos\theta }[/mm]
>
> Wie [mm]\theta[/mm] und [mm]\phi[/mm] definiert sind, gibt ja eigentlich
> meine Menge wieder.
>
> Was bei Oberflächenintegralen allgemein passiert ist mir
> ja klar.
>
> Ich war mir leider nicht so sicher, wie ich
> [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2[/mm] unterbringen soll.
Hast Du Dir das Oberflächenintegral mal angeschaut?
[mm] $\iint_{A} f(\vec{x}) \, \mathrm [/mm] d A = [mm] \iint f\left(\vec{\phi}(\varphi,\theta)\right) \, ||\vec{\phi}_{\varphi} \times \vec{\phi}_{\theta}|| \,\, \mathrm d(\varphi,\theta)$
[/mm]
[mm] $\vec{\phi}(\varphi,\theta)$ [/mm] ist die Parametrisierung. Die setzt Du einfach in f ein und rechnest drauf los.
>
> mfg thadod
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 01.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo notinx und danke...
Das tut mir leid ich hatte mir anscheinend etwas falsches im Unterricht abgeschrieben.
Wir hatten scheinbar f(x,y,z)=1 angenommen, so dass ich mir folgendes für mein Kurvenintegral abgeschrieben habe:
[mm] \integral \integral_A [/mm] dA
So wie du das jetzt schreibst ist es einleuchtender und ich weiß auch endlich, wie ich mein [mm] f(x,y,z)=x^2+y^2 [/mm] verwerten kann.
Du sagst, es ist:
[mm] \integral \integral_A f(\vec{x}) dA=\iint f\left({\Phi}(\theta,\phi)\right) \, ||\bruch{\partial \Phi}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \Phi}{\partial \phi}|| \,\, \mathrm d\theta d\phi
[/mm]
Jetzt habe ich auch endlich einen Plan für [mm] f({\Phi}(\theta,\phi))
[/mm]
Wenn ich die parametrisierung in Kugelkoordinaten durchziehe, dann ergibt sich:
[mm] \Phi(\theta ,\phi)=R \pmat{ sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi \\ cos\theta } [/mm] für [mm] (\theta,\phi) \in [0,\bruch{\pi}{2}] \times [0,2\pi]
[/mm]
und somit ist [mm] f({\Phi}(\theta,\phi))=R^2sin^2\theta cos^2\phi [/mm] + [mm] R^2sin^2\theta sin^2\phi [/mm] = [mm] R^2sin^2 \theta
[/mm]
denn es ist ja [mm] cos^2\phi [/mm] + [mm] sin^2\phi=1
[/mm]
außerdem ergeben sich:
[mm] \bruch{\partial \Phi}{\partial \theta}=R \vektor{cos\theta cos\phi \\ cos\theta sin\phi \\ -sin\theta}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \Phi}{\partial \phi}=R \vektor{-sin\theta sin\phi \\ sin\theta cos\phi \\ 0}
[/mm]
Das Oberflächenintegral wird gleich noch vervollständigt...
Eine Frage hätte ich noch.
Wieso wird häufig so unterschiedlich parametrisiert?
mal wird [mm] \Phi(\theta ,\phi)=R \pmat{ sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi \\ cos\theta } [/mm] für [mm] (\theta,\phi) \in [0,\bruch{\pi}{2}] \times [0,2\pi]
[/mm]
und mal wird [mm] \Phi(\theta ,\phi)=R \pmat{cos\phi cos\theta \\ sin\phi cos\theta \\ sin\theta } [/mm] für [mm] (\theta,\phi) \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}] \times [0,2\pi]
[/mm]
gewählt
mfg thadod
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Do 02.02.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinx und danke...
>
> Das tut mir leid ich hatte mir anscheinend etwas falsches
> im Unterricht abgeschrieben.
>
> Wir hatten scheinbar f(x,y,z)=1 angenommen, so dass ich mir
> folgendes für mein Kurvenintegral abgeschrieben habe:
>
> [mm]\integral \integral_A[/mm] dA
Das ist nicht falsch, sondern ein Spezialfall. Außerdem ist das ein Oberflächen- und kein Kurvenintegral. Wenn man das Oberflächenintegral über die Funktion f=1 berechnet bekommt man den Flächeninhalt der parametrisierten Fläche.
>
> So wie du das jetzt schreibst ist es einleuchtender und ich
> weiß auch endlich, wie ich mein [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2[/mm] verwerten
> kann.
>
> Du sagst, es ist:
>
> [mm]\integral \integral_A f(\vec{x}) dA=\iint f\left({\Phi}(\theta,\phi)\right) \, ||\bruch{\partial \Phi}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \Phi}{\partial \phi}|| \,\, \mathrm d\theta d\phi[/mm]
>
> Jetzt habe ich auch endlich einen Plan für
> [mm]f({\Phi}(\theta,\phi))[/mm]
>
> Wenn ich die parametrisierung in Kugelkoordinaten
> durchziehe, dann ergibt sich:
>
> [mm]\Phi(\theta ,\phi)=R \pmat{ sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi \\ cos\theta }[/mm]
> für [mm](\theta,\phi) \in [0,\bruch{\pi}{2}] \times [0,2\pi][/mm]
>
> und somit ist [mm]f({\Phi}(\theta,\phi))=R^2sin^2\theta cos^2\phi[/mm]
> + [mm]R^2sin^2\theta sin^2\phi[/mm] = [mm]R^2sin^2 \theta[/mm]
>
> denn es ist ja [mm]cos^2\phi[/mm] + [mm]sin^2\phi=1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> außerdem ergeben sich:
>
> [mm]\bruch{\partial \Phi}{\partial \theta}=R \vektor{cos\theta cos\phi \\ cos\theta sin\phi \\ -sin\theta}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial \Phi}{\partial \phi}=R \vektor{-sin\theta sin\phi \\ sin\theta cos\phi \\ 0}[/mm]
>
> Das Oberflächenintegral wird gleich noch
> vervollständigt...
>
> Eine Frage hätte ich noch.
>
> Wieso wird häufig so unterschiedlich parametrisiert?
>
> mal wird [mm]\Phi(\theta ,\phi)=R \pmat{ sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi \\ cos\theta }[/mm]
> für [mm](\theta,\phi) \in [0,\bruch{\pi}{2}] \times [0,2\pi][/mm]
>
> und mal wird [mm]\Phi(\theta ,\phi)=R \pmat{cos\phi cos\theta \\ sin\phi cos\theta \\ sin\theta }[/mm]
> für [mm](\theta,\phi) \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}] \times [0,2\pi][/mm]
Das wäre aber die ganze Kugelfläche, nicht nur die obere Hälfte.
>
> gewählt
Welchen Konvention man nutzt ist reine Geschmackssache. Beides ist gleichermaßen richtig. Ich würde Dir die übliche Konvention empfehlen, also die erste Variante. Das ist internationaler Konsens in der Physik.
>
> mfg thadod
Gruß,
notinX
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