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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:07 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Zecha |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a<b. Zeigen Sie:
(i) (a,b) ist offen, aber nicht abgeschlossen.
(ii) [a,b] ist abgeschlossen, aber nicht offen.
(iii) (a,b] und [a,b) sind weder offen noch abgeschlossen.
(iv) Bestimmen Sie für diese vier Intervalle jeweils den offenen Kern, Abschluss und Rand. |
Guten Abend.
Ich habe mit der obigen Aufgabe Probleme, da ich zwar weiß, dass das die Definitionen für offen und abgeschlossen sind, aber ich nicht weiß wie ich das zeigen könnte.
Ich hoff ihr könnt mir helfen.
Gruß Zecha.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mo 14.12.2009 | | Autor: | nooschi |
zu i)
ich würde eine Folge in (a,b) konstruieren, welche nach a bzw nach b konvergiert. d.h. es gibt HPe, welche nicht im Intervall liegen [mm] \rightarrow [/mm] (a,b) kann nicht abgeschlossen sein.
zur konstruktion der Folge:
da a<b, existiert [mm] n_{0}\in\IN, [/mm] sodass [mm] a+\bruch{1}{n}n_{0}
[/mm]
die Folge ist nun: [mm] a_{n}=a+\bruch{1}{n+n_{0}}
[/mm]
diese Folge konvergiert gegen a, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+n_{0}}=0
[/mm]
für b das analoge.
jetzt muss noch gezeigt werden, dass (a,b) offen ist. Ähm, da muss wohl was mit Umgebungen/Bällen gemacht werden?
naja, ich würde wieder so argumentieren, wenn x ein beliebiger Punkt in (a,b) ist, dann muss gelten a<x<b. Aus dem folgt, dass ein [mm] n_{0}\in\IN [/mm] existiert, sodass [mm] an_{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow B(x,\bruch{1}{1+n_{0}})\in(a,b)
[/mm]
da x ein beliebiges Element von (a,b) war, kann für jedes x ein solcher Ball konstruiert werden, also ist jedes x ein innerer Punkt und somit ist (a,b) offen.
Ja im Nachhineinmerke ich, dass man einfach hätte zeigen können, dass (a,b) offen ist, also sicher nicht abgeschlossen, aber ich lasse es jetzt so stehen, weil für ii) und iii) kannst du das wohl gebrauchen.
ii) und iii) überlasse ich dir...
zu iv)
offener Kern ist füe alle (a,b) (analog wie oben zu zeigen)
Abschluss ist für alle [a,b] (analog wie oben zu zeigen)
der Rand ist also auch für alle {a,b} (denn der Rand ist ja gerade so definiert, als die Menge aller Punkte des Abschlusses ohne die Punkte des inneren Kerns)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Zecha |
Also das hat mir schon sehr geholfen, vielen Dank.
Nun weiß ich nur noch nicht, wie ich mit meinem neuen Wissen zeigen kann, dass ein Intervall nicht offen ist, sprich bei Aufgabe (ii).
Abgeschlossen heißt einfach, das alle Häufungspunkt im Intervall liegen. Aber woher weiß ich das eirklich alle im Intervall sind?
Gruß Zecha
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Hallo Zecha,
> Also das hat mir schon sehr geholfen, vielen Dank.
> Nun weiß ich nur noch nicht, wie ich mit meinem neuen
> Wissen zeigen kann, dass ein Intervall nicht offen ist,
> sprich bei Aufgabe (ii).
Das mache am besten indirekt.
Nimm an, das Intervall $[a,b]$ sei offen.
Dann ließe sich um jeden Punkt aus diesem Intervall eine offene Umgebung (hier im [mm] $\IR$ [/mm] also ein offenes Intervall) angeben, die (bzw. das) komplett in dem Intervall $[a,b]$ enthalten ist.
Insbesondere gäbe es so etwas für die Punkte $a$ und $b$.
Betrachte dann mal ein bel. offenes Intervall um a bzw. um b.
Kann das in dem Intervall $[a,b]$ liegen?
> Abgeschlossen heißt einfach, das alle Häufungspunkt im
> Intervall liegen. Aber woher weiß ich das eirklich alle im
> Intervall sind?
>
> Gruß Zecha
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Zecha |
Das ist eig. ganz einfach^^
Das beste ist, das ich es sogar verstanden habe.
Danke!!!
Nun bleibt nur noch meine letzte Frage, die ich vorher schin gestellt habe:
> Abgeschlossen heißt einfach, das alle Häufungspunkt im
> Intervall liegen? Aber woher weiß ich das wirklich alle im
> Intervall sind?
Diese Info brauch ich ja, um zu zeigen, dass [a,b] abgeschlossen ist, oder?
Schon mal Dank im Vorraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:35 Di 15.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das ist eig. ganz einfach^^
> Das beste ist, das ich es sogar verstanden habe.
> Danke!!!
> Nun bleibt nur noch meine letzte Frage, die ich vorher
> schin gestellt habe:
> > Abgeschlossen heißt einfach, das alle Häufungspunkt
> im
> > Intervall liegen? Aber woher weiß ich das wirklich alle im
> > Intervall sind?
>
> Diese Info brauch ich ja, um zu zeigen, dass [a,b]
> abgeschlossen ist, oder?
Nimm einen HP [mm] x_0 [/mm] von [a,b]. Dann ex. doch eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in [a,b] mit [mm] x_n \to x_0
[/mm]
Wegen $a [mm] \le x_n \le [/mm] b $ für jedes n , folgt: $a [mm] \le x_0 \le [/mm] b $
FRED
>
> Schon mal Dank im Vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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