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| Aufgabe | Sei [mm] \mathbb{R} [/mm] versehen mit der euklidischen Topologie O. Betrachte auf [mm] \mathbb{R} [/mm] die Äquivalenzrelation
x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x-y [mm] \in \mathbb{Z}. [/mm] Sei T die finale Topologie auf [mm] \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] bzg. der kanonischen Projektion
[mm] \pi :(\mathbb{R},O) \to \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] , $x [mm] \mapsto [/mm] x + [mm] \mathbb{Z}$
[/mm]
zeige, dass [mm] \pi [/mm] eine offene Abbildung ist. Wie sieht dies für abgeschlossene Mengen aus? (also ist das Bild jeder abg. Menge wieder abgeschlossen?)
Zeige weiters, dass :
[mm] $\psi [/mm] : x + [mm] \mathbb{Z} \to e^{2\pi ix}$ [/mm] ein Homöomorphismus von [mm] \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] auf T := [mm] \{z \in \mathbb{C} : |z| =1 \} [/mm] ist. |
Hallo,
Leider fällt mir derweil dazu gar nix ein - habt ihr eventuell ein paar Denkanstöße?
Lg
Peter_123
naja ein paar Kleinigkeiten sind mir nun doch eingefallen..
Sei U [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] offen. Es ist zz, dass [mm] \pi(U) \subseteq \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] offen ist.
[mm] \pi(U) \in T_{fin} \gdw \pi^{-1}(\pi(U)) \in [/mm] O.
also zeigen wir [mm] \pi^{-1}(\pi(U)) [/mm] ist offen in [mm] \mathbb{R}
[/mm]
[mm] \pi^{-1}(\pi(U)) [/mm] = [mm] \{ x \in \mathbb{R} : \pi(x) \subseteq \pi(U) = \{y + \mathbb{Z} : y \in U \}\}
[/mm]
= [mm] \{x \in \mathbb{R} : \exists y \in U | \pi(x) = \pi(y) \} [/mm] = U + [mm] \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \bigcup_{z \in \mathbb{Z}} [/mm] z + U.
und dies ist offen.
zum anderen Teil:
zz
1) [mm] \psi [/mm] ist wohldefiniert: das ist aber klar weil : [mm] \psi(x) [/mm] = [mm] e^{2\pi ix} [/mm] = [mm] e^{2\pi x+k} [/mm] = [mm] \psi(y) [/mm] , k:= x-y [mm] \in \mathbb{Z}
[/mm]
2) [mm] \psi [/mm] ist injektiv : [mm] e^{2\pi ix} [/mm] = [mm] e^{2\pi iy} \gdw [/mm] x=y+k mit k [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] und da a [mm] \mapsto e^{ia} [/mm] Periode [mm] 2\pi [/mm] hat folgt das [mm] \psi [/mm] injektiv ist.
3) surjektiv - m.E. klar - meint ihr sollte das ausgeführt werden?
zur Stetigkeit:
Das [mm] \psi [/mm] stetig ist .. klar : da ja [mm] \psi \circ \pi [/mm] : [mm] \mathbb{R} \to [/mm] T : x [mm] \mapsto e^{2\pi ix} [/mm] - stetig ist.
für die Umkehrabb. ... gibts da was besseres als:
[mm] (\psi^{-1})^{-1} [/mm] (U) [mm] \subseteq [/mm] T ?
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Also die Sache mit der abgeschlossenen Abbildung muss ich mir noch überlegen bzw. Habt ihr dazu Ideen ?
Ebenso für die Umkehrfunktion [mm] \psi^{-1}.
[/mm]
Wäre dankbar für Tipps.
Lg
Peter
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Zu 2.: Betrachte die offensichtliche stetige surjektive Abbildung [mm] $f:\IR\longrightarrow S^1$ [/mm] und zeige, dass die hierdurch definierte Äquivalenzrelation auf [mm] $\IR [/mm] $ mit der der Aufgabenstellung übereinstimmt (dies ist dieselbe Rechnung, mit der du Wohldefiniertheit deiner Abbildung nachgerechnet hast) und dass die induzierte Quotiententopologie mit der der Aufgabenstellung übereinstimmt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> Zu 2.: Betrachte die offensichtliche stetige surjektive
> Abbildung [mm]f:\IR\longrightarrow S^1[/mm] und zeige, dass die
> hierdurch definierte Äquivalenzrelation auf [mm]\IR[/mm] mit der
> der Aufgabenstellung übereinstimmt (dies ist dieselbe
> Rechnung, mit der du Wohldefiniertheit deiner Abbildung
> nachgerechnet hast) und dass die induzierte
> Quotiententopologie mit der der Aufgabenstellung
> übereinstimmt.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Du meinst also aus der Stetigkeit von $x [mm] \mapsto e^{2\pi ix}$ [/mm] und der Konstanz auf den Äquivalenzklassen folgt auch , dass [mm] \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \to S^{1}:[x] \mapsto e^{2\pi ix} [/mm] , stetig ist?
Lg
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 27.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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also ich versuche mal zu zeigen, dass [mm] \psi [/mm] wohldefiniert und bijektiv ist und [mm] \psi [/mm] / [mm] \psi^{-1} [/mm] stetig sind.
1) Die Wohldefiniertheit liegt irgendwie auf der Hand, da ja sozusagen lediglich um die Periode [mm] 2\pi [/mm] gedreht wird unabhängig davon welchen Repr. ich in die Funktion reinwerfe. Ist zb [mm] x_{0} [/mm] = 1.4 und [mm] x_{1} [/mm] = 0.4 dann drehe ich einmal um 1.4 bis zum Punkt , aber das ist ja gleich wie wenn ich eben nur um 0.4 drehe - ich erreiche immer den gleichen Punkt (sofern ich das nicht falsch verstehe)
also: [mm] \psi(x) [/mm] = [mm] e^{2\pi ix} [/mm] = [mm] e^{2\pi i (x+k)} [/mm] = [mm] \psi(y) [/mm] , mit x-y=k [mm] \in \mathbb{Z}
[/mm]
2) Surjektivität
für ein beliebiges $x [mm] \in \mathbb{R}$ \Rightarrow $\exists x_{1} \in [/mm] [0,1)$ mit $ [mm] x_{1} \sim [/mm] x $ (was entweder 0 ist, wenn schon x [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] oder sonst ein [mm] x_{1} \in [/mm] (0,1)) - also ist [mm] f([x_{1}]_{\sim}) [/mm] := [mm] e^{2\pi i x}
[/mm]
3) Injektivität
Wir betrachten [mm] e^{2\pi i x} [/mm] = [mm] e^{2\pi i y} [/mm] .
Auch hier folgt die Existenz eines a [mm] \in [/mm] [0,1) mit [mm] a\sim [/mm] x , [mm] a\sim [/mm] y und damit x = y (durch Symm. und Trans. von [mm] \sim)
[/mm]
4) Stetigkeit von [mm] \psi [/mm] :
[mm] \psi [/mm] stetig [mm] \gdw \psi \circ \pi [/mm] : [mm] \mathbb{R} \to [/mm] T stetig, dies ist aber sichtlich , da $x [mm] \mapsto e^{2\pi i x}$ [/mm] stetig ist.
5) Stetigkeit der Umkehrabb.
Sei U [mm] \subseteq \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] offen.
zz. [mm] $\underbrace{(\psi^{-1})^{-1}(U)}_{=\psi(U)} \subseteq [/mm] T $ ist offen.
[mm] \psi(U) [/mm] = [mm] \psi(\pi(\underbrace{\pi^{-1}(U)}_{=:V \subseteq \mathbb{R}})) [/mm] = [mm] \{e^{2\pi i x} : x \in V \subseteq \mathbb{R}\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pi(\pi^{-1}(U)) [/mm] = U
wähle [mm] e^{2\pi i x} \in \psi(U) [/mm]
[mm] $\exists \delta [/mm] >0 : [mm] (x-\delta, x+\delta) \subseteq [/mm] V$
z.z [mm] $\exists [/mm] a>0 : [mm] U_{a}(e^{2\pi i x}) \cap [/mm] T [mm] \subseteq \{e^{2\pi i y} : y \in (x-\delta, x+\delta) \} \subseteq \psi(U)$
[/mm]
was sagt ihr bis hier?
Gruß Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 27.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 26.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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