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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mo 01.05.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum [mm] \IR^n [/mm] zusammen mit der euklidischen Metrik.
(a) Zeigen Sie, dass jede offene Menge [mm] U\subset \IR^n [/mm] als eine Vereinigung von offenen Kugeln [mm] U=\bigcup_{i\in I}^{} U_{r_i}(a_i) [/mm] geschrieben werden kann.
(b) Zeigen Sie, dass eine abzählbare Vereinigung dafür ausreicht.
Hinweis: Benutzen Sie nur Kugeln [mm] U_{r_i}(a_i) [/mm] mit rationalen Mittelpunkten [mm] a_i. [/mm] |
Hallo,
also ich verstehe die Aufgabenstellung zu (a) nicht ganz.
Soll ich zeigen, dass die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen offen ist, oder soll ich zeigen, dass [mm] \forall a\in \bigcup_{i\in I}^{} U_{r_i}(a_i) \exists r_i, [/mm] so dass [mm] \IR^n_r_i(a) \subset \bigcup_{i\in I}^{} U_{r_i}(a_i)
[/mm]
?????????
Ich würde gerne diese Aufgabe erst selbst probieren, verstehe aber nicht ganz was ich zu zeigen habe.
Wäre nett, wenn mir das jemand erläutern könnte.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir betrachten den Vektorraum [mm]\IR^n[/mm] zusammen mit der
> euklidischen Metrik.
> (a) Zeigen Sie, dass jede offene Menge [mm]U\subset \IR^n[/mm] als
> eine Vereinigung von offenen Kugeln [mm]U=\bigcup_{i\in I}^{} U_{r_i}(a_i)[/mm]
> geschrieben werden kann.
> (b) Zeigen Sie, dass eine abzählbare Vereinigung dafür
> ausreicht.
>
> Hinweis: Benutzen Sie nur Kugeln [mm]U_{r_i}(a_i)[/mm] mit
> rationalen Mittelpunkten [mm]a_i.[/mm]
> Hallo,
>
> also ich verstehe die Aufgabenstellung zu (a) nicht ganz.
> Soll ich zeigen, dass die Vereinigung beliebig vieler
> offener Mengen offen ist, oder soll ich zeigen, dass
> [mm]\forall a\in \bigcup_{i\in I}^{} U_{r_i}(a_i) \exists r_i,[/mm]
> so dass [mm]\IR^n_r_i(a) \subset \bigcup_{i\in I}^{} U_{r_i}(a_i)[/mm]
Ich weiss nicht was du mit dem zweiten sagen willst. Das erste ist auf jeden Fall nicht gemeint.
Was du zeigen sollst: Ist $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] offen, so gibt es eine Indexmenge $I$, [mm] Punkte~$a_i \in \IR^n$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ und Radien [mm] $r_i [/mm] > 0$, $i [mm] \in [/mm] I$ mit $U = [mm] \bigcup_{i\in I} U_{r_i}(a_i)$.
[/mm]
Hinweis: Nimm doch $I = U$ und [mm] $a_i [/mm] = i$, $i [mm] \in [/mm] I = U$. Jetzt musst du nur noch die [mm] $r_i$ [/mm] passend waehlen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mo 01.05.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ich verstehe deine Tipps nicht.
Inwiefern kann ich denn I=U annehmen. I ist doch eine Indexmenge, also eine Menge mit natürlichen Zahlen. Das ist doch U nicht.
Kann man die Aufgabe denn nicht irgendwie anders lösen ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Ich verstehe deine Tipps nicht.
> Inwiefern kann ich denn I=U annehmen.
Du kannst dir $I$ selber aussuchen.
> I ist doch eine Indexmenge, also eine Menge mit natürlichen Zahlen. Das ist doch U nicht.
Indexmengen sind beliebibe Mengen und nicht notwendigerweise Teilmengen der natuerlichen Zahlen!
> Kann man die Aufgabe denn nicht irgendwie anders lösen
> ????
Du kannst die Menge $I$ natuerlich kleiner waehlen. Dadurch wird es aber komplizierter. Du kannst $I$ sogar so waehlen, dass $I$ eine Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] ist. Aber wie schon gesagt, das macht alles nur komplizierter.
Noch nen Hinweis zu dem was ich gesagt hab: $U$ ist eine offene Menge. Schau dir nochmal die Definition von offen an; die Definition sagt etwas ueber jedes $x [mm] \in [/mm] U$ aus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mo 01.05.2006 | | Autor: | DeusRa |
Also,
wenn [mm] U\subset \IR^n [/mm] offen ist, dann gilt: [mm] \forall $a\in [/mm] U$ [mm] \exists [/mm] $r>0$, s.d. [mm] $\IR^n_r(a)\subset$ [/mm] $U$ offen.
Definiere I:={ [mm] i_1, i_2,... [/mm] }, somit hätte ich doch schon mal irgendeine Indexmenge.
Sei nun U:={ [mm] a_j \in \IR [/mm] | [mm] j\in [/mm] I}.
[mm] \rightarrow [/mm] Da für jedes [mm] a\in [/mm] U es einen r>0 gibt folgt:
[mm] \forall $a_i \in [/mm] U$ [mm] \exists $r_i [/mm] >0$, s.d. [mm] $\IR^n_r_i(a_i)\subset$ [/mm] $U$ offen.
Nehme nun ein [mm] $x\in [/mm] U$ [mm] \rightarrow \exists $i\in [/mm] I$ und ein [mm] a_i, [/mm] so dass [mm] x\in U_r_i(a_i).
[/mm]
Ist es bisher ok ?
Wenn ja, wie führt man das dann weiter ???
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Hallo DeusRa,
> wenn [mm]U\subset \IR^n[/mm] offen ist, dann gilt: [mm]\forall[/mm] [mm]a\in U[/mm]
> [mm]\exists[/mm] [mm]r>0[/mm], s.d. [mm]\IR^n_r(a)\subset[/mm] [mm]U[/mm] offen.
> Definiere [mm]I:={ i_1, i_2,... }[/mm], somit hätte ich doch schon
> mal irgendeine Indexmenge.
Mit Deinen Indizees(1,2,...) hast Du angedeutet das man die Indexmenge durchzählen kann. Es sich also um eine abzählbare Menge handelt. Du solltest Dich davon trennen das eine Indexmenge abzählbar sein muß.
Wieso hast Du die Bezeichnung der offenen Kugeln eigentlich von [mm] U_{r_i} [/mm] nach [mm] \IR_{r_i} [/mm] geändert? Das ist doch eher verwirrend.
> Sei nun [mm]U:={ a_j \in \IR | j\in I }[/mm] .
Mit einer abzählbaren Indexmenge wäre auf diese Art nicht jedes U darstellbar -> also lieber doch I=U nehmen.
> [mm]\rightarrow[/mm] Da für jedes [mm]a\in[/mm] U es einen r>0 gibt folgt:
> [mm]\forall[/mm] [mm]a_i \in U[/mm] [mm]\exists[/mm] [mm]r_i >0[/mm], s.d.
> [mm]\IR^n_r_i(a_i)\subset[/mm] [mm]U[/mm] offen.
>
> Nehme nun ein [mm]x\in U[/mm] [mm]\rightarrow \exists[/mm] [mm]i\in I[/mm] und ein
> [mm]a_i,[/mm] so dass [mm]x\in U_r_i(a_i).[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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