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Hi!
habe heute den nachmittag damit verbracht über folgende aufgabe nachzudenken:
Sei V=C[a,b] der Vektorraum aller auf [a,b] stetigen Funktionen mit den folgenden Normen: [mm] \left\|f \right\|_\infty:=sup \left\{f(x) \;|\; x \in [a,b]\right\}
, \ C^1[a,b] [/mm] der Untervektorraum aller stetig diffenrenzierbaren Funktionen auf [a,b].
(i) Ist [mm] C^1[a,b] [/mm] offen in V bzgl. [mm] \left\| \ \right\|_\infty [/mm] ?
(ii) Ist [mm] C^1[a,b] [/mm] abgeschlossen in V bzgl. [mm] \left\| \; \right\|_\infty [/mm] ?
weiß noch nicht mal mehr, was ich genau zeigen muss.
glaube ich war am ende bei:
(i) z.z.: Es existiert r>0, so dass [mm] K_r(f_0) \subset C^1[a,b] [/mm] für alle [mm] f_0 \in C^1[a,b] [/mm]
bestätigt das mal und sagt mir wie das gehen soll, bitte.
muß mich noch etwas dran gewöhnen mit Umgebungen in denen stetige funktionen liegen zu hantieren.
Ozymandias
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Di 24.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Ozymandias
viel kann ich noch nicht beitragen, aber bei teil (ii) würde ich es mit einem gegenbeispiel probieren: [m] C^1[a, b] \text{ ist abgeschlossen} \; \Longleftrightarrow \; \text{acc}(C^1[a, b]) \subset C^1[a, b] [/m], also wenn die menge ihre häufungspunkte enthält d.h. jeder grenzpunkt einer konvergenten folge wieder in der menge enthalten ist (da [m] C[a, b] [/m] vollständig ist).
betrachte z.b. [m] C^1[-1, 1] [/m] und [m] f_n(x) := \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} \in C^1[-1, 1] [/m], dann konvergiert [m] f_n [/m] berzüglich der [m] \| \cdot \|_\infty [/m]-norm gegen [m] f(x) = |x| [/m]. jedoch gilt [m] f \not\in C^1[a, b][/m], da die funktion nicht stetig differenzierbar ist.
das ist nur so eine idee. ich bin mir noch nicht sicher, ob es funktioniert. du kannst ja mal probieren es durchzurechnen.
bei aufgabe (i) hast du recht, dass zu zeigen wäre, dass
[m] \forall \, f_0 \in C^1[a, b] \; \exists \, r > 0 : K_r(f_0) \subset C^1[a, b] [/m]. jedoch befürcht ich fast, dass die aussage, das [m] C^1[a, b] [/m] offen in [m] C[a, b] [/m] bezüglich der [m] \| \cdot \|_\infty [/m]-norm ist, auch falsch ist. aber auch hier bin ich mir nicht sicher.
vielleicht hat ja jemand anders eine idee.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Di 24.08.2004 | | Autor: | Ozymandias |
hi!
schon einmal vielen dank für die ansätze. über die abgeschlossenheit der menge habe ich zwar noch nicht nachgedacht, aber das beispiel sieht tauglich aus.
glaube auch, dass die teilmenge nicht offen ist in C[a,b], aber wie beweise ich das? hätte ganz gerne einen beweis dafür und nicht nur ein gegenbeispiel.
werde mich gleich noch einmal hinsetzen und das ganze über die abgeschlossenheit des komplements versuchen.
falls noch jemand gute ratschläge loswerden will, her damit :)
gruß,
ozymandias
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Hallo Ozymandias,
[mm]f(x)=x[/mm]
[mm]g_r(x)=\left\{\begin{matrix}
a+r, & \mbox{wenn }x< a+r \\
x, & \mbox{wenn }x\ge a+r
\end{matrix}\right. [/mm]
Für jedes r liegt [mm]g_r[/mm] in der Kugel um f.
gruß
mathemaduenn
Edit: mein Ansatz war zunächst falsch ich denke jetzt könnt's so funktionieren
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Di 24.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Ozymandias
also: wie schon vermutet ist [m] C^1[a, b] [/m] in [m] C[a, b] [/m]bezüglich [m] \| \cdot \|_\infty [/m] weder offen noch abgeschlossen!
den beweis für die offenheit mal etwas ausführlicher:
zu zeigen: [m] C^1[a, b] [/m] ist nicht offen in [m] C[a, b] [/m]bezüglich [m] \| \cdot \|_\infty [/m], d.h.
[m] \neg ( \forall \, f_0 \in C^1[a, b] \; \exists \, r > 0: K_r(f_0) \subset C^1[a, b]) [/m]
wenn du den ausdruck in der klammer formal negierst erhälst du
[m] \exists \, f_0 \in C^1[a, b] \; \forall \, r > 0 \; \exists \, g \in K_r(f_0): g \not\in C^1[a, b] [/m]
sei also [m] f_0(x) := x [/m] und [m] r > 0 [/m] beliebig. definiere
[m] g(x) := \begin{cases} x & \text{ für }x \in [a, b - \frac{r}{2}] \\ b - \frac{r}{2} & \text{ für } x \in ]b - \frac{r}{2}, b] \end{cases} [/m] dann ist $g$ offensichtlich stetig und es gilt [m] \|f - g \|_\infty = \max_{x \in [a, b]} |f(x) - g(x) | = \frac{r}{2} [/m] da die funktionen auf [m] [a, b-\frac{r}{2}] [/m] identisch sind und in $x = b$ die maximale abweichung - nämlich [mm] $\frac{r}{2}$ [/mm] - aufweisen. also gilt [m] g \in K_r(f_0) = \{ h \in C[a, b]: \|f_0 - h \|_\infty < r \} [/m]. aber es gilt [m] g \not\in C^1[a, b] [/m], da $g$ in $b - [mm] \frac{r}{2}$ [/mm] nicht differenzierbar ist!
also wurde ein [mm] $f_0 \in C^1[a, [/mm] b]$ gefunden, so dass es für beliebiges $ r > 0$ stets eine funktion $g [mm] \in K_r(f_0)$ [/mm] gibt, die nicht in [mm] $C^1[a, [/mm] b]$ liegt, also kann für kein $r>0$ [mm] $K_r(f_0)$ [/mm] eine teilmenge von [mm] $C^1[a, [/mm] b]$ sein. und dass ist genau die aussage die du zeigen wolltest!
folglich ist [m] C^1[a, b] [/m] nicht offen in [m] C[a, b] [/m] bezüglich der [m] \| \cdot \|_\infty[/m]-norm.
um zu zeigen, dass [m] C^1[a, b] [/m] nicht abgeschlossen in [m] C[a, b] [/m] bezüglich der [m] \|\cdot\|_\infty[/m]-norm ist, würde ich probieren - wie in meiner mitteilung geschriben - zu zeigen, dass gilt
[m] \text{acc} \, (C^1[a, b]) \not\subset C^1[a, b] [/m], d.h. [m] \exists \, f_0 \in \text{acc} \, (C^1[a, b]) : f_0 \not \in C^1[a, b] [/m] und dafür ist das von mir angegeben [m] f_0(x) = |x| [/m] mit der angegeben folge denke ich schon geeignet.
probiere das doch mal und melde dich mal mit einem lösungsansatz oder noch besser einer lösung.
frage bitte nach, wenn dir irgendwas an dem beweis hier unklar sein sollte und verbessere mich, wenn ich irgendwelche fehler gemacht haben sollte.
grüße
andreas
ps ich denke, dass ist im prinzip der weg den auch mathemaduenn in seiner antwort vorschlägt.
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Hallo Andreas,
So hatte ich das angedacht. Da [m]C^1[a, b][/m] in [m]C[a, b] [/m] abgeschlossen wenn [m]C[a, b]\setminus C^1[a,b] [/m] offen in [m]C[a, b] [/m] wäre mit einem kleinen Ideenklau bei deiner Variante analoges Vorgehen auch für den 2. Beweis möglich.
[m]f_0(x) := |x|[/m]
[m]g_r(x) := \sqrt{x^2+\bruch{r^2}{4}}[/m]
gruß
mathemaduenn
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