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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:35 Di 07.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
G [mm] \times [/mm] X [mm] \to [/mm] X, (g,H) [mm] \mapsto gHg^{-1} [/mm]
eine Operation von G auf X definiert.
Beschreiben Sie Bahnen und Stabilisatoren dieser Operation. |
Der erste Teil ist nicht so die Schwierigkeit; die Operationseigenschaften nachzuweisen, ist hier nicht schwer.
Aber wie bestimmt man alle Bahnen einer Operation?...
Ich weiß, wie eine Bahn definiert ist, aber ich weiß nicht, wie man alle Bahnen einer Operation bestimmt.
Der Stabilisator ist mir wiederum klar.
Wer kann mir (vielleicht an diesem oder einem anderen Beispiel) erklären, wie man die Bahnen bestimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Di 07.12.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Zeigen Sie, dass
>
> G [mm]\times[/mm] X [mm]\to[/mm] X, (g,H) [mm]\mapsto gHg^{-1}[/mm]
>
> eine Operation von G auf X definiert.
> Beschreiben Sie Bahnen und Stabilisatoren dieser
> Operation.
> Der erste Teil ist nicht so die Schwierigkeit; die
> Operationseigenschaften nachzuweisen, ist hier nicht
> schwer.
>
> Aber wie bestimmt man alle Bahnen einer Operation?...
> Ich weiß, wie eine Bahn definiert ist, aber ich weiß
> nicht, wie man alle Bahnen einer Operation bestimmt.
X soll wahrscheinlich die Menge der Untergruppen sein, oder? So im abstrakten Fall ist es natürlich schwierig mit der Bestimmung der Bahnen. Die Bahn von H ist einfach die Menge der zu H konjugierten Untergruppen, also [mm] \{gHg^{-1}\ |\ g \in G \}.
[/mm]
> Der Stabilisator ist mir wiederum klar.
>
> Wer kann mir (vielleicht an diesem oder einem anderen
> Beispiel) erklären, wie man die Bahnen bestimmt?
Nimm dir doch einfach mal 2 konkrete Fälle vor: eine beliebige kommutative Gruppe und die [mm] S_3. [/mm] Da kann man die Bahnen explizit angeben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Di 07.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ohja, entschuldigung: Ich habe tatsächlich vergessen, die Menge X zu definieren.
Es soll sich bei der Menge X um die Menge aller Untergruppen von G handeln, wie Du bereits richtig vermutet hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 07.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> X soll wahrscheinlich die Menge der Untergruppen sein,
> oder? So im abstrakten Fall ist es natürlich schwierig mit
> der Bestimmung der Bahnen.
Ja, X sei hier die Menge aller Untergruppen von G.
> Die Bahn von H ist einfach die
> Menge der zu H konjugierten Untergruppen, also [mm]\{gHg^{-1}\ |\ g \in G \}.[/mm]
Danke, aber wie kommt man denn darauf, dass...
1.) ...es genau eine Bahn gibt (und nicht mehrere)?
2.) ...die Bahn gerade so aussieht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Di 07.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> Die Bahn von H ist einfach die
> Menge der zu H konjugierten Untergruppen, also [mm] \{gHg^{-1}\ |\ g \in G \}. [/mm]
Ich versuche mir zu erklären, warum die Bahn in dieser Aufgabe wie oben genannt aussieht.
Hierzu habe ich mir nochmals eine Definition für den Begriff der Bahn angeschaut:
"Ist x ein Elementvon X, dann ist die Bahn von x in X die Teilmenge von X
[mm] B_x:=\{y\in X : g\in G, y=gx\}
[/mm]
[Besteht X nur aus einer einzigen Bahn, dann sagt man G operiere transitiv auf X. D.h., dass ein bel. Element von X durch geeignete Elemente der Gruppe in jedes andere Element von X überführt wird.]"
Entsprechend dieser Definition, angewandt auf die Aufgabe, suche ich also die y, für die gilt [mm] y=gx [/mm].
Hierbei handelt es sich bei x,y um Untergruppen in X, also z.B. H und F.
Eine Untergruppe soll also aus der anderen Untergruppe entstehen, wenn man von links ein Element [mm] g\in [/mm] G multipliziert.
Das kann doch nur gelten, wenn [mm] Hg=gH [/mm] gilt. Denn in jedem anderen Fall funktioniert das doch nicht - oder?
Gibt es deswegen nur die eine Bahn, die aus den Elementen [mm] gHg^{-1} [/mm] besteht, also quasi aus Normalteilern?
[Ich versuche nur zu verstehen, wie man hier darauf kommt. Wenn ich Schwachsinn geschrieben habe, bitte ich darum, dass man es mir erklärt.]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mi 08.12.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Die Bahn von H ist einfach die
> > Menge der zu H konjugierten Untergruppen, also [mm]\{gHg^{-1}\ |\ g \in G \}.[/mm]
>
>
> Ich versuche mir zu erklären, warum die Bahn in dieser
> Aufgabe wie oben genannt aussieht.
>
> Hierzu habe ich mir nochmals eine Definition für den
> Begriff der Bahn angeschaut:
>
> "Ist x ein Elementvon X, dann ist die Bahn von x in X die
> Teilmenge von X
> [mm]B_x:=\{y\in X : g\in G, y=gx\}[/mm]
Es ist ein schlechter Gedanke, die Operation von G auf X, also das Bild von x unter der Operation g, einfach so als gx hinzuschreiben. Besser wäre g(x) oder g [mm] $\circ$ [/mm] x. Das [mm] \circ [/mm] hat zunächst mit der Verknüpfung in G nichts zu tun.
> [Besteht X nur aus einer einzigen Bahn, dann sagt man G
> operiere transitiv auf X. D.h., dass ein bel. Element von X
> durch geeignete Elemente der Gruppe in jedes andere Element
> von X überführt wird.]"
>
> Entsprechend dieser Definition, angewandt auf die Aufgabe,
> suche ich also die y, für die gilt [mm]y=gx [/mm].
Besser: y = g(x), s. o.
> Hierbei handelt es sich bei x,y um Untergruppen in X, also
> z.B. H und F.
>
> Eine Untergruppe soll also aus der anderen Untergruppe
> entstehen, wenn man von links ein Element [mm]g\in[/mm] G
> multipliziert.
Nee, das eben nicht! Man bildet g(H), und das ist [mm] gHg^{-1}.
[/mm]
> Das kann doch nur gelten, wenn [mm]Hg=gH[/mm] gilt. Denn in jedem
> anderen Fall funktioniert das doch nicht - oder?
Die Frage verstehe ich nicht.
> Gibt es deswegen nur die eine Bahn, die aus den Elementen
> [mm]gHg^{-1}[/mm] besteht, also quasi aus Normalteilern?
Ja, was ist die Bahn eines Normalteilers?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mi 08.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> > Die Bahn von H ist einfach die
> > Menge der zu H konjugierten Untergruppen, also [mm]\{gHg^{-1}\ |\ g \in G \}.[/mm]
>
> Danke, aber wie kommt man denn darauf, dass...
>
> 1.) ...es genau eine Bahn gibt (und nicht mehrere)?
> 2.) ...die Bahn gerade so aussieht?
1.) Das steht da so nicht! H liegt in genau einer Bahn. Insgesamt kann es mehrere Bahnen geben. Wenn G nicht gerade = {e} ist, tut es das auch.
2.) Das ist doch einfach die Definition, hingeschrieben für diese Operation.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Mi 08.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Okay, irgendetwas läuft da in meinem Denken noch verquer.
Ich habe mich immer schon mit Äquivalenzklassen herumgeärgert, hier holt michs nun wieder ein.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:21 Mo 13.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | G Gruppe, X Menge aller Untergruppen von G;
Bestimmen Sie alle Bahnen zur Gruppenoperation
[mm] G\times H\to H,(g,H)\mapsto gHg^{-1} [/mm] |
Das ist doch mal eine schöne kurze Frage.
Trotzdem hakt es bei mir gerade.
Ich habe gelesen:
Die Bahn(en), das sind alle Elemente aus X, die man mithilfe eines festen [mm] x\in [/mm] X und G unter der Gruppenoperation "erzeugen" kann. Stimmt das??
Also ich nehme z.B. eine Untergruppe [mm] H\in [/mm] X.
Und jetzt suche ich alle Untergruppen in X, die ich mit
[mm] g\circ H [/mm] erzeugen kann, wobei [mm] g\in G [/mm] und [mm] \circ [/mm] die Gruppenop., also die Konjugation, ist.
Bestimmt man so die Bahnen und wie würden die denn jetzt hier aussehen?
Ich könnte doch z.B. lauter Normalteiler erzeugen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mi 15.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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