Operation von X auf R^2 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 21.06.2007 | | Autor: | kurtg |
| Aufgabe | Sei [mm] R=\IR[X]
[/mm]
1. Sei M = [mm] \IR^2, [/mm] sei {v1,v2} eine Basis von M, dann operiert [mm] \IR [/mm] durch die übliche Skalarmultiplikation.
Wir definieren eine Operation von X auf M durch: [mm] X.v_1 [/mm] = [mm] 2v_1 [/mm] und [mm] X.v_2 [/mm] = [mm] v_1+v_2. [/mm] Zeigen Sie, dass
es genau eine mögliche Fortsetzung der Operation von [mm] \IR[X] [/mm] gibt, so dass M ein [mm] \IR[X]-Modul [/mm] wird.
(wie muss [mm] X^n [/mm] operieren?)
2. Sei N = [mm] \IR^2, [/mm] sei {v1,v2} eine Basis von M, dann operiert [mm] \IR [/mm] durch die übliche Skalarmultiplikation.
Zeigen Sie, dass auf M durch X * [mm] v_1 [/mm] = [mm] 2v_1 [/mm] und X * [mm] v_2 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] eine R-Modul Struktur auf M induziert
wird (wie operiert [mm] X^n?).
[/mm]
3.Zeigen Sie, es existiert kein Isomorphismus zwischen M und N, d.h. es gibt keine lineare bijektive Abbildung f : M -> N, so dass f(p(X).v) = p(X) * f(v) für alle p(X) [mm] \el [/mm] R[X] und alle v [mm] \el [/mm] M.
Hm, das ist eigentlich eine Aufgabe in LA, mir fallen diese abstrakten Sachen ziemlich schwer.
Also zu Aufgabe 1: Ich habe eine Operation von X auf M gegeben, also ich weiß wie [mm] X.v_1 [/mm] und [mm] X.v_2 [/mm] aussehen.
Was bedeutet das, dass es eine Fortsetzung der Operation von [mm] \IR[x] [/mm] gibt? Es soll ja der [mm] \IR^2 [/mm] zu einem [mm] \IR[x] [/mm] Modul werden. D.h. Ich muss Polynome mit Vektoren verknüpfen können, aber ich habe doch nur gegeben, wie ich X mit der Basis von M verknüpfe.
Ich hoffe, ihr könnt etwas Licht ins Dunkel bringen.
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Hm, das ist eigentlich eine Aufgabe in LA, mir fallen diese abstrakten Sachen ziemlich schwer.
Also zu Aufgabe 1: Ich habe eine Operation von X auf M gegeben, also ich weiß wie [mm] X.v_1 [/mm] und [mm] X.v_2 [/mm] aussehen.
Was bedeutet das, dass es eine Fortsetzung der Operation von [mm] \IR[x] [/mm] gibt? Es soll ja der [mm] \IR^2 [/mm] zu einem [mm] \IR[x] [/mm] Modul werden. D.h. Ich muss Polynome mit Vektoren verknüpfen können, aber ich habe doch nur gegeben, wie ich X mit der Basis von M verknüpfe.
Ich hoffe, ihr könnt etwas Licht ins Dunkel bringen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Sa 23.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo kurtg!
> Sei [mm]R=\IR[X][/mm]
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> 1. Sei M = [mm]\IR^2,[/mm] sei {v1,v2} eine Basis von M, dann
> operiert [mm]\IR[/mm] durch die übliche Skalarmultiplikation.
> Wir definieren eine Operation von X auf M durch: [mm]X.v_1[/mm] =
> [mm]2v_1[/mm] und [mm]X.v_2[/mm] = [mm]v_1+v_2.[/mm] Zeigen Sie, dass
> es genau eine mögliche Fortsetzung der Operation von
> [mm]\IR[X][/mm] gibt, so dass M ein [mm]\IR[X]-Modul[/mm] wird.
> (wie muss [mm]X^n[/mm] operieren?)
>
> 2. Sei N = [mm]\IR^2,[/mm] sei {v1,v2} eine Basis von M, dann
> operiert [mm]\IR[/mm] durch die übliche Skalarmultiplikation.
> Zeigen Sie, dass auf M durch X * [mm]v_1[/mm] = [mm]2v_1[/mm] und X * [mm]v_2[/mm] =
> [mm]v_2[/mm] eine R-Modul Struktur auf M induziert
> wird (wie operiert [mm]X^n?).[/mm]
>
> 3.Zeigen Sie, es existiert kein Isomorphismus zwischen M
> und N, d.h. es gibt keine lineare bijektive Abbildung f : M
> -> N, so dass f(p(X).v) = p(X) * f(v) für alle p(X) [mm]\el[/mm]
> R[X] und alle v [mm]\el[/mm] M.
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> Hm, das ist eigentlich eine Aufgabe in LA, mir fallen diese
> abstrakten Sachen ziemlich schwer.
>
> Also zu Aufgabe 1: Ich habe eine Operation von X auf M
> gegeben, also ich weiß wie [mm]X.v_1[/mm] und [mm]X.v_2[/mm] aussehen.
Genau.
> Was bedeutet das, dass es eine Fortsetzung der Operation
> von [mm]\IR[x][/mm] gibt? Es soll ja der [mm]\IR^2[/mm] zu einem [mm]\IR[x][/mm] Modul
> werden. D.h. Ich muss Polynome mit Vektoren verknüpfen
> können, aber ich habe doch nur gegeben, wie ich X mit der
> Basis von M verknüpfe.
Ja. Allerdings: wenn du ein Polynom $f = [mm] a_n x^n [/mm] + [mm] a_{n-1} x^{n-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0 \in \IR[x]$ [/mm] hast, und du weisst, wie [mm] $a_i$ [/mm] und $x$ auf $M$ agieren, dann kannst du auch sagen, wie $f$ selber auf $M$ agiert: die Operation soll ja [mm] $\IR$-linear [/mm] sein. Ist also $m [mm] \in [/mm] M$, so ist z.B. [mm] $(x^2 [/mm] + 2 x - 1) m = [mm] x^2 [/mm] m + 2 x m - 1 m = [mm] x^2 [/mm] m + 2 (x m) - m$. Und $x m$ kennst du bereits. Und sie muss auch assoziativ sein, also $(f g)(m) = f [mm] \cdot [/mm] (g m)$ sein. Damit ist [mm] $x^2 [/mm] m = (x [mm] \cdot [/mm] x) m = x [mm] \cdot [/mm] (x m)$. Und da weisst du wieder, wie das aussieht.
Kannst du jetzt sagen, wie $f [mm] \cdot [/mm] m$ aussieht?
LG Felix
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