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Operator abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mo 20.07.2009
Autor: valaida

Aufgabe
Sei X = Y = [mm] l^2 [/mm]

Sei D = d = [mm] \{ (a_j)_j : a_j \in \IK \forall j \in \IN a_j\not= 0 \mbox{ für höchstens endlich viele n } \} [/mm]

Es ist T : D -> Y definiert durch [mm] T((a_j)_{j=1}^\infty) [/mm] := [mm] (ja_j)_{j=1}^\infty [/mm]
Ist der Operator T von X nach Y abgeschlossen?

Lösung:
T ist nicht abgeschlossen, denn

[mm] a^{(n)} [/mm] = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm] 1/2^n [/mm] , 0 , ... , 0) [mm] \in [/mm] d

[mm] Ta^{(n)} [/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm] n/2^n [/mm] , 0, ... , 0)

[mm] a^{(n)} \to [/mm] (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm] 1/2^n [/mm] ,  ... [mm] ,1/2^N [/mm] , ....) [mm] \notin [/mm] d (N > n)

Ich verstehe nicht, warum [mm] a^{(n)} [/mm] gegen die Folge a konvergiert, die nicht in d liegt

[mm] Ta^{(n)} \to [/mm] b mit [mm] b_j [/mm] = [mm] 1/2^j [/mm] , j [mm] \in \IN [/mm]

Also gilt [mm] (a^{(n)} [/mm] , [mm] Ta^{(n)}) \o [/mm] (a,b) , aber a [mm] \not= [/mm] d = D(T)

Ehrlich gesagt, verstehe ich hier nicht einmal, was b sein soll. So wie es in der Lösung steht, vermute ich [mm] $a^{(n)} [/mm] = b = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm] 1/2^n [/mm] , 0 , ... , 0)$ , das würde gut zu [mm] b_j [/mm] = [mm] 1/2^j [/mm] passen. Aber irgendwie ist das nicht [mm] Ta^{(n)}. [/mm] ICh hätte aus meinem Bauchgefühl vermutet, dass $b = Ta = (1,2/2 , [mm] 3/4,....,n/2^n,...,N/2^N,...)$ [/mm]

Hallo

Ich habe Probleme, die obige Lösung nachzuvollziehen und finde, dass sie in der Notation auch ein bisschen komisch ist.
Vielleicht kann mir ja jemand meine Fragen beantworten.

Viele Grüße
valaida

        
Bezug
Operator abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Di 21.07.2009
Autor: fred97

Es gilt:

T ist abgeschlossen
  [mm] \gdw [/mm] der Graph [mm] G_A [/mm] = { (a,Ta): a [mm] \in [/mm] D(T) } ist abgeschlossen in XxX
  [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] (a^{(n)}, Ta^{(n)}) [/mm] in [mm] G_A [/mm] liegt auch deren grenzwert in [mm] G_A [/mm]


In obigem Beweis wurde gezeigt: es gibt eine konvergente Folge [mm] (a^{(n)}, Ta^{(n)}) [/mm] in [mm] G_A [/mm]  deren grenzwert nicht  in [mm] G_A [/mm] liegt.

Diese Folge wurde konkret angegeben:



$ [mm] a^{(n)} [/mm] = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 ,  [mm] 1/2^n [/mm]  , 0 , ... , 0)$


Jetzt rechne nach (mit obigem a und b):


                      [mm] $||a^{(n)}-a|| \to [/mm] 0$  und  [mm] $||Ta^{(n)}-b|| \to [/mm] 0$

FRED



Bezug
                
Bezug
Operator abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Do 23.07.2009
Autor: valaida

Aufgabe
Sei X = Y = $ [mm] l^2 [/mm] $

Sei D = d = $ [mm] \{ (a_j)_j : a_j \in \IK \forall j \in \IN a_j\not= 0 \mbox{ für höchstens endlich viele n } \} [/mm] $

Es ist T : D -> Y definiert durch $ [mm] T((a_j)_{j=1}^\infty) [/mm] $ := $ [mm] (ja_j)_{j=1}^\infty [/mm] $
Ist der Operator T von X nach Y abgeschlossen?

Lösung:
T ist nicht abgeschlossen, denn

$ [mm] a^{(n)} [/mm] $ = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , $ [mm] 1/2^n [/mm] $ , 0 , ... , 0) $ [mm] \in [/mm] $ d

$ [mm] Ta^{(n)} [/mm] $ = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0)

$ [mm] a^{(n)} \to [/mm] $ (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , $ [mm] 1/2^n [/mm] $ ,  ... $ [mm] ,1/2^N [/mm] $ , ....) $ [mm] \notin [/mm] $ d (N > n)

$ [mm] Ta^{(n)} \to [/mm] $ b mit $ [mm] b_j [/mm] $ = $ [mm] 1/2^j [/mm] $ , j $ [mm] \in \IN [/mm] $

Also gilt $ [mm] (a^{(n)} [/mm] $ , $ [mm] Ta^{(n)}) \o [/mm] $ (a,b) , aber a $ [mm] \not= [/mm] $ d = D(T)

Hallo FRED

> Es gilt:
>  
> T ist abgeschlossen
> [mm]\gdw[/mm] der Graph [mm]G_A[/mm] =  (a,Ta): a [mm]\in[/mm] D(T) ist
> abgeschlossen in XxX
>    [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente Folge [mm](a^{(n)}, Ta^{(n)})[/mm] in
> [mm]G_A[/mm] liegt auch deren grenzwert in [mm]G_A[/mm]
>  
>
> In obigem Beweis wurde gezeigt: es gibt eine konvergente
> Folge [mm](a^{(n)}, Ta^{(n)})[/mm] in [mm]G_A[/mm]  deren grenzwert nicht  in
> [mm]G_A[/mm] liegt.
>  
> Diese Folge wurde konkret angegeben:
>  
>
> [mm]a^{(n)} = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/2^n , 0 , ... , 0)[/mm]

Moment! Ich verstehe nur die Hälfte

$ [mm] a^{(n)} [/mm] $ = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , $ [mm] 1/2^n [/mm] $ , 0 , ... , 0) $ [mm] \in [/mm] $ d

Das ist mir klar, das ist nach Definition von d

$ [mm] Ta^{(n)} [/mm] $ = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0)

Das ist mir auch klar, weil ja $ [mm] T((a_j)_{j=1}^\infty) [/mm] $ := $ [mm] (ja_j)_{j=1}^\infty [/mm] $

Aber jetzt soll angeblich

[mm] a^{(n)}\to [/mm] für n $ (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , $ [mm] 1/2^n [/mm] $ ,  ... $ [mm] ,1/2^N [/mm] $ , ....) $ [mm] \to \infty [/mm]

Das kann ich mir noch zusammenreimen

Aber jetzt kommt der Trick

$ [mm] Ta^{(n)} \to [/mm] $ b mit $ [mm] b_j [/mm] $ = $ [mm] 1/2^j [/mm] $ , j $ [mm] \in \IN [/mm] $


[mm] Ta^{(n)} [/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0)

steht oben

b = Ta  = j*a = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] j/2^j [/mm] $ , 0, ... , 0)

[mm] Ta^{(n)} [/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0) [mm] \to [/mm] ?? für n [mm] \tp \infty [/mm]

IRgendwie komme ich mit dem n und den j durcheinander und weiß einfach nicht, was b überhaupt sein soll
ES stand da ja [mm] b_j [/mm] = [mm] 1/2^j [/mm]

d. h. b = (1, 1/2, [mm] 1/4,....,1/2^j,0,0,....,0) [/mm]

Jetzt soll angeblich gelten [mm] Ta^{(n)} \to [/mm] b

also konkret (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0)  [mm] \to [/mm] (1, 1/2, [mm] 1/4,....,1/2^j,0,0,....,0) [/mm]
für n gegen unendlich

Verstehe ich nicht. Verstehst du zufällig, wo mein Problem liegt :)

Viele Grüße
valaida

Bezug
                        
Bezug
Operator abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Do 23.07.2009
Autor: fred97


> Sei X = Y = [mm]l^2[/mm]
>  
> Sei D = d = [mm]\{ (a_j)_j : a_j \in \IK \forall j \in \IN a_j\not= 0 \mbox{ für höchstens endlich viele n } \}[/mm]
>  
> Es ist T : D -> Y definiert durch [mm]T((a_j)_{j=1}^\infty)[/mm] :=
> [mm](ja_j)_{j=1}^\infty[/mm]
>  Ist der Operator T von X nach Y abgeschlossen?
>  
> Lösung:
>  T ist nicht abgeschlossen, denn
>  
> [mm]a^{(n)}[/mm] = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm]1/2^n[/mm] , 0 , ... , 0) [mm]\in[/mm] d
>  
> [mm]Ta^{(n)}[/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... , 0)
>  
> [mm]a^{(n)} \to[/mm] (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm]1/2^n[/mm] ,  ... [mm],1/2^N[/mm] ,
> ....) [mm]\notin[/mm] d (N > n)
>  
> [mm]Ta^{(n)} \to[/mm] b mit [mm]b_j[/mm] = [mm]1/2^j[/mm] , j [mm]\in \IN[/mm]
>  
> Also gilt [mm](a^{(n)}[/mm] , [mm]Ta^{(n)}) \o[/mm] (a,b) , aber a [mm]\not=[/mm] d =
> D(T)
>  
> Hallo FRED
>  
> > Es gilt:
>  >  
> > T ist abgeschlossen
> > [mm]\gdw[/mm] der Graph [mm]G_A[/mm] =  (a,Ta): a [mm]\in[/mm] D(T) ist
> > abgeschlossen in XxX
>  >    [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente Folge [mm](a^{(n)}, Ta^{(n)})[/mm]
> in
> > [mm]G_A[/mm] liegt auch deren grenzwert in [mm]G_A[/mm]
>  >  
> >
> > In obigem Beweis wurde gezeigt: es gibt eine konvergente
> > Folge [mm](a^{(n)}, Ta^{(n)})[/mm] in [mm]G_A[/mm]  deren grenzwert nicht  in
> > [mm]G_A[/mm] liegt.
>  >  
> > Diese Folge wurde konkret angegeben:
>  >  
> >
> > [mm]a^{(n)} = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/2^n , 0 , ... , 0)[/mm]
>  
> Moment! Ich verstehe nur die Hälfte
>  
> [mm]a^{(n)}[/mm] = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm]1/2^n[/mm] , 0 , ... , 0) [mm]\in[/mm] d
>  
> Das ist mir klar, das ist nach Definition von d
>  
> [mm]Ta^{(n)}[/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... , 0)
>
> Das ist mir auch klar, weil ja [mm]T((a_j)_{j=1}^\infty)[/mm] :=
> [mm](ja_j)_{j=1}^\infty[/mm]
>
> Aber jetzt soll angeblich
>  
> [mm]a^{(n)}\to[/mm] für n [mm](1, 1/2 , 1/4 , 1/8 ,[/mm] [mm]1/2^n[/mm]  [mm], ...[/mm]
> [mm],1/2^N[/mm]  [mm], ....)[/mm] [mm]\to \infty[/mm]
>  
> Das kann ich mir noch zusammenreimen
>  
> Aber jetzt kommt der Trick
>  
> [mm]Ta^{(n)} \to[/mm] b mit [mm]b_j[/mm] = [mm]1/2^j[/mm] , j [mm]\in \IN[/mm]
>  
>
> [mm]Ta^{(n)}[/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... , 0)
>
> steht oben
>  
> b = Ta  = j*a = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]j/2^j[/mm] , 0, ...
> , 0)
>  
> [mm]Ta^{(n)}[/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... , 0)
> [mm]\to[/mm] ?? für n [mm]\tp \infty[/mm]
>  
> IRgendwie komme ich mit dem n und den j durcheinander und
> weiß einfach nicht, was b überhaupt sein soll
>  ES stand da ja [mm]b_j[/mm] = [mm]1/2^j[/mm]
>  
> d. h. b = (1, 1/2, [mm]1/4,....,1/2^j,0,0,....,0)[/mm]
>  
> Jetzt soll angeblich gelten [mm]Ta^{(n)} \to[/mm] b
>  
> also konkret (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... ,
> 0)  [mm]\to[/mm] (1, 1/2, [mm]1/4,....,1/2^j,0,0,....,0)[/mm]
>  für n gegen unendlich
>  
> Verstehe ich nicht. Verstehst du zufällig, wo mein Problem
> liegt :)


Ja. Da hat sich jemand verschrieben. Es muß lauten:

$ [mm] b_j [/mm] $ = $ [mm] j/2^j [/mm] $

FRED


>  
> Viele Grüße
>  valaida


Bezug
                                
Bezug
Operator abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Fr 24.07.2009
Autor: valaida

Danke.


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