Operatornnorm von Matrix < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mi 28.09.2011 | | Autor: | hula |
Hallöchen,
Ehrlich gesagt, verstehe ich nicht ganz wie ich die Norm einer Matrix berechnen soll und zwar die Operatornorm. Z.b. von
$\ M = [mm] \pmat{ 3 & z \\ 0 & 3 } [/mm] $
Wie geht man da vor? Das ist doch unheimlich schwierig, da die Definition ja über ein Supremum definiert ist.
greetz
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen,
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> Ehrlich gesagt, verstehe ich nicht ganz wie ich die Norm
> einer Matrix berechnen soll und zwar die Operatornorm. Z.b.
> von
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> [mm]\ M = \pmat{ 3 & z \\ 0 & 3 }[/mm]
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> Wie geht man da vor? Das ist doch unheimlich schwierig, da
> die Definition ja über ein Supremum definiert ist.
Ich nehme an, dass der Grundraum der [mm] \IR^2 [/mm] oder der [mm] \IC^2 [/mm] ist. Wie jetzt die Matrixnorm von M ausfällt, hängt davon ab, wie der Grundraum normiert ist.
Hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixnorm
findest Du die wichtigsten Beispiele.
FRED
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> greetz
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> hula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mi 28.09.2011 | | Autor: | hula |
Abend fred
Danke dir für deine schnelle Antwort. Allerdings so recht schlau werde ich daraus nicht. Nehmen wir an, Grundraum ist $\ [mm] \IR^2 [/mm] $ mit der Standardnorm.
Wie kann ich den nun folgendes Berechnen:
$\ [mm] sup_{\parallel x \parallel_2 \le 1} \bruch{\parallel A x \parallel_2}{\parallel x \parallel_2} [/mm] $ ?
Wenn ich dies ausschreibe, erhalte ich ein Polynom mit unbekannten $\ [mm] x_1, x_2 [/mm] $ was die Koordinaten von $\ [mm] \IR^2 [/mm] $ sind.
Muss ich hier Lagrange anwenden mit der Nebenbedingung $\ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_2 [/mm] = 1 $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Abend fred
>
> Danke dir für deine schnelle Antwort. Allerdings so recht
> schlau werde ich daraus nicht. Nehmen wir an, Grundraum ist
> [mm]\ \IR^2[/mm] mit der Standardnorm.
>
> Wie kann ich den nun folgendes Berechnen:
>
> [mm]\ sup_{\parallel x \parallel_2 \le 1} \bruch{\parallel A x \parallel_2}{\parallel x \parallel_2}[/mm]
> ?
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> Wenn ich dies ausschreibe, erhalte ich ein Polynom mit
> unbekannten [mm]\ x_1, x_2[/mm] was die Koordinaten von [mm]\ \IR^2[/mm]
> sind.
>
> Muss ich hier Lagrange anwenden mit der Nebenbedingung [mm]\ \parallel x \parallel_2 = 1[/mm]
Das kannst Du machen, denn
[mm]||A||= \ sup_{\parallel x \parallel_2 = 1} \parallel A x \parallel_2 [/mm]
FRED
P.S: aus Wiki:
Als Spektralnorm wird die Norm
$ [mm] \left\| M \right\|_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\lambda_{{\max}}(M^{H} \cdot M)}$
[/mm]
bezeichnet. Dabei ist [mm] M^{H}die [/mm] zu M adjungierte Matrix und [mm] $\lambda_\max(M^{H} \cdot [/mm] M) $ der betragsmäßig größte Eigenwert des Matrixprodukts [mm] $M^{H} \cdot M\, [/mm] $. Diese Matrixnorm ist durch die euklidische Norm induziert.
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