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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Berechne die Operatornorm der folgenden linearen Abbildungen
(a) [mm] (\IR^{2} [/mm] , [mm] \parallel \parallel _{\infty}) \to (\IR^{2} [/mm] , [mm] \parallel \parallel _{\infty } [/mm] ) , x [mm] \to [/mm] Ax für [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3} [/mm] |
Hallo,
ich habe so versucht zu lösen:
wenn man die Definition von Operatornorm nimmt, dann habe ich für x den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] genommen und ihn mit A multipliziert. Es kam [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] raus.
Ich bin mir aber nicht sicher , ob meine Vorgehensweise korrekt ist.
Ich bitte um eine Korrektur
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die Operatornorm ist hier doch:
sup norm(Ax) über alle x mit norm(x) kleiner oder gleich 1.
Du kannst nicht einfach ein beliebigen Vektor nehmen, sondern du musst überlegen wie das obige Supremum aussieht.
Dazu musst du überlegen:
Was bedeutet norm(x) kleiner gleich 1?
Du betrachtest die lunendlich Norm. Das bedeutet der Betrag jeder Komponente des Vektors ist kleiner oder gleich 1 ist.
Jetzt schätzt du norm(Ax) ab. Da du wieder die lunendlich-Norm betrachtest musst du die Betraäge der Komponenten von Ax abschätzen.
Wie sehen die aus:
Betrag der ersten Komponente von Ax:
[mm] l1x_{1}+0x_{2}l=lx_{1}l\le1, [/mm] da norm(x) [mm] \le1.
[/mm]
Betrag der zweiten Komponente:
[mm] l0x_{1}+3x_{2}l=3lx_{2}l\le3, [/mm] da norm(x) [mm] \le1.
[/mm]
Sei C das gesuchte sup. Dann gilt also auf jeden Fall:
C [mm] \le [/mm] max{1;3}=3.
Damit hast du nur eine Abschätzung des gesuchten sup. Um es zu bestimmen betrachten wir den Vekto x=(1,1). Für den gilt norm(x)=1 und Ax=(1,3) und damit norm(Ax)=3. Also folgt [mm] C\ge3.
[/mm]
Zusammen also:C=3.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:49 Di 20.11.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Berechne die Operatornorm der folgenden linearen Abbildung [mm] (b)(\IR^{2}, \parallel \parallel_{2}) \to (\IR^{2}, \parallel \parallel_{2}) [/mm] , x [mm] \to [/mm] Bx für B = [mm] \pmat{ cosa & sina\\ -sina & cosa },a \in \IR [/mm] |
Hallo ,
ich habe jetzt auch mit (b) versucht:
Bx habe ich als Norm ausgewertet: [mm] \wurzel{(cosa x_{1}+sina x_{2})^{2}+(-sina x_{1}+cosa x_{2})^{2}}= \wurzel{cos^{2}a (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+sin^{2}a (x_{1}^{2}+ x_{2}^{2})}, [/mm] da
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} \le [/mm] 1 sup [mm] \parallel [/mm] Bx [mm] \parallel_{2}=1
[/mm]
Habe ich richtig gemacht?
P.S: bei (c) ist eine Abbildung gegeben, wo anstatt des Normenzeichens [mm] \parallel \parallel_{...} [/mm] einfach | | Betragstriche stehen ( beim Urbild und dem Bild) . Handelt es sich um eine Norm oder etwas anderes, denn ich kenne nur die Parallelstriche-Schreibweise für eine Norm.
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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