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| Aufgabe | Sei [mm] g:[a,b]->\IC [/mm] stetig.
Berechnen Sie die Norm des Multiplikationsoperators
[mm] M_{g}: L^{1}[a,b] [/mm] -> [mm] L^{1}[a,b], [/mm] der durch
[mm] M_{g}(f):= [/mm] fg mit [mm] (f\in L^{1}[a,b])
[/mm]
definiert ist. |
Hallo,
zu oberer Aufgabe sei noch angemerkt, dass wir hier den [mm] L^{1} [/mm] mit der Norm
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] := [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] betrachten.
Ich vermute, dass man als Ergebnis wohl
[mm] \parallel M_{g} \parallel [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{|g(x)|^2 dx} [/mm] erhält, da bisher alle kennengelernten Funktionale, die als Bild einer Abbildung aus dem ursprünglichen in den Dualraum entstanden waren, eine derartige Symmetrie erfüllten.
Leider fehlt mir hier jeder Ansatz.
Erfüllt denn der Integralsoperator [mm] \phi [/mm] : f (f passend) -> [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}
[/mm]
irgendeine multiplikative Relation, wie z.b. [mm] \phi(fg) \le \phi(f) \phi(g)
[/mm]
Danke für alle Antworten,
Hinweis: Ich habe diese Frage in keinen weiteren Foren gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Mi 19.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]g:[a,b]->\IC[/mm] stetig.
> Berechnen Sie die Norm des Multiplikationsoperators
> [mm]M_{g}: L^{1}[a,b][/mm] -> [mm]L^{1}[a,b],[/mm] der durch
>
> [mm]M_{g}(f):=[/mm] fg mit [mm](f\in L^{1}[a,b])[/mm]
>
> definiert ist.
> Hallo,
>
> zu oberer Aufgabe sei noch angemerkt, dass wir hier den
> [mm]L^{1}[/mm] mit der Norm
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm] := [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm]
> betrachten.
>
> Ich vermute, dass man als Ergebnis wohl
> [mm]\parallel M_{g} \parallel[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{|g(x)|^2 dx}[/mm]
> erhält,
Das stimmt nicht !
Da g auf [a,b] stetig ist, gilt :
g [mm] \in L^{\infty}[a,b] [/mm]
und [mm] ||g||_{L^{\infty}} [/mm] = [mm] ||g||_{\infty} [/mm] (= max{|g(t)|: t [mm] \in [/mm] [a,b]})
Sei [mm] f\in L^{1}[a,b]) [/mm] . Dann:
[mm] ||M_g(f)|| [/mm] = $ [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)||g(x)| dx} [/mm] $ = ||fg|| [mm] \le [/mm] ||f|| [mm] ||g||_{\infty}
[/mm]
Die letzte Ungleichung ist die Höldersche Ungleichung.
Es folgt [mm] ||M_g|| \le ||g||_{\infty}
[/mm]
Nun überlege Dir noch, dass [mm] ||M_g|| [/mm] = [mm] ||g||_{\infty} [/mm] gilt.
FRED
>da bisher alle kennengelernten Funktionale, die als
> Bild einer Abbildung aus dem ursprünglichen in den Dualraum
> entstanden waren, eine derartige Symmetrie erfüllten.
>
> Leider fehlt mir hier jeder Ansatz.
>
> Erfüllt denn der Integralsoperator [mm]\phi[/mm] : f (f passend) ->
> [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm]
> irgendeine multiplikative
> Relation, wie z.b. [mm]\phi(fg) \le \phi(f) \phi(g)[/mm]
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> Danke für alle Antworten,
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> Hinweis: Ich habe diese Frage in keinen weiteren Foren
> gestellt
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