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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Do 14.04.2011 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Man diskutiere di eLösung des Problems
[mm] min\{{1 \choose 1}^Ts+s^T\begin{pmatrix}
-1& 0 \\
0 & -2
\end{pmatrix}s : ||s||_2 \le \delta\} [/mm] für sehr kleine und sehr große [mm] \delta>0.
[/mm]
Ferner bestimme man die Lösung des Problems. |
Hallo zusammen!!
Ich brauche Eure Hilfe bei der AUfgabe. Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll. Es schein nicht so schwer zu sein, aber ich komme nicht auf den richtigen Ansatz.
Wäre super, wenn mir jemand helfen würde.
Vielen Dank im Voraus
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Do 14.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
in einem Fall dominiert der lineare, im anderen der quadratische Term. Was folgt daraus für die Lösung?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 14.04.2011 | | Autor: | math101 |
Hallo, Stefan!!!
Herzlichen Dank für deine Hilfe!!
Ich verstehe nicht, wie die Funktion [mm] \Phi(s)=s_1+s_2-(s_1^2+2s_2^2) [/mm] von der Vorschrift [mm] ||s||_2=\sqrt{s_1^2+s_2^2}\le\delta [/mm] abhängt...?
Könntest du mir das vielleicht kurz erklären.
Das wäre super toll!!!
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 14.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Ist [mm] $\|s\|_2$ [/mm] sehr klein, dann sind insbesondere die Komponenten (betragsweise) sehr klein, also sind die quadrierten Terme nochmal viel kleiner.
Ist [mm] $\|s\|_2$ [/mm] sehr groß, dann ist der Betrag von mindestens einer Komponente sehr groß, also ist das Quadrat nochmal viel größer.
Rechne das ganze mal für [mm] $s=\vektor{\delta\\ \delta}$. [/mm] =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 15.04.2011 | | Autor: | math101 |
> Ist [mm]\|s\|_2[/mm] sehr klein, dann sind insbesondere die
> Komponenten (betragsweise) sehr klein, also sind die
> quadrierten Terme nochmal viel kleiner.
>
> Ist [mm]\|s\|_2[/mm] sehr groß, dann ist der Betrag von mindestens
> einer Komponente sehr groß, also ist das Quadrat nochmal
> viel größer.
>
> Rechne das ganze mal für [mm]s=\vektor{\delta\\ \delta}[/mm]. =)
Danke für deine Hilfe, ich glaube es wird ein bisschen verständlicher.
[mm] \Phi(\delta)=2\delta-3\delta^2
[/mm]
Also wenn [mm] \delta [/mm] klein wird, dann ist die Lösung des Problems sehr klein und positiv. Wenn [mm] \delta [/mm] sehr groß wird, dann wird die Lösung sehr groß und negativ.
Ist das richtig so?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \Phi(\delta)=2\delta-3\delta^2 [/mm] $
> Also wenn $ [mm] \delta [/mm] $ klein wird, dann ist die Lösung des Problems sehr klein und positiv. Wenn $ [mm] \delta [/mm] $ sehr groß wird, dann wird die Lösung sehr groß und negativ.
Richtig. =)
Im eigentlichen Problem kann jetzt [mm] $s=(s_1,s_2)^t$ [/mm] negative Koeffizienten haben, also ist die Lösung immer negativ. Aber es gilt immer noch, daß für betragsmäßig kleine s der erste und für große der zweite Term dominiert.
wo nimmt
$ {1 [mm] \choose [/mm] 1}^Ts$
sein Minimum an, und wo
[mm] $s^T\begin{pmatrix} -1& 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}s?$
[/mm]
(Immer udN [mm] $\|s\|_2\leq \delta$)
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 15.04.2011 | | Autor: | math101 |
> > [mm]\Phi(\delta)=2\delta-3\delta^2[/mm]
>
> > Also wenn [mm]\delta[/mm] klein wird, dann ist die Lösung des
> Problems sehr klein und positiv. Wenn [mm]\delta[/mm] sehr groß
> wird, dann wird die Lösung sehr groß und negativ.
>
> Richtig. =)
>
> Im eigentlichen Problem kann jetzt [mm]s=(s_1,s_2)^t[/mm] negative
> Koeffizienten haben, also ist die Lösung immer negativ.
> Aber es gilt immer noch, daß für betragsmäßig kleine s
> der erste und für große der zweite Term dominiert.
>
> wo nimmt
>
> [mm]{1 \choose 1}^Ts[/mm]
>
> sein Minimum an, und wo
>
> [mm]s^T\begin{pmatrix} -1& 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}s?[/mm]
>
> (Immer udN [mm]\|s\|_2\leq \delta[/mm])
Die Gerade [mm]{1 \choose 1}^Ts[/mm] nimmt ihr Minimum in [mm] -\infty [/mm] an.
Die quadratische Funktion [mm]s^T\begin{pmatrix} -1& 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}s[/mm] nimmt ihr Minimum in [mm] \pm\infty.
[/mm]
D.h. das Problem nimmt sein Minimum in [mm] \pm\infty [/mm] für große [mm] \delta.
[/mm]
Gibt es dann überhaupt eine Lösung für kleine [mm] \delta? [/mm] Es ist mir irgendwie noch nicht wirklich klar...
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Blech |
> Die Gerade $ {1 [mm] \choose [/mm] 1}^Ts $ nimmt ihr Minimum in $ [mm] -\infty [/mm] $ an.
Falls Du damit [mm] $s=\vektor{-\infty\\-\infty}$ [/mm] meinst, dann gilt dafür sicher nicht [mm] $\|s\|_2\leq \delta$.
[/mm]
Die Nebenbedingung muß im Optimum schon erfüllt sein.
ciao
Stefan
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