Optimierungsaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 So 27.06.2004 | | Autor: | Mulan |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo,
kann mir jemand bei folgender Frage helfen?!
Vier Stangen von gegebener Länge s sollen das Gerüst eines Zeltes in Form einer geraden quadratischen Pyramide bilden. Gesucht ist das Zelt mit dem größten Volumen.
(V=1/3 a² h)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mulan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> kann mir jemand bei folgender Frage helfen?!
>
> Vier Stangen von gegebener Länge s sollen das Gerüst eines
> Zeltes in Form einer geraden quadratischen Pyramide bilden.
> Gesucht ist das Zelt mit dem größten Volumen.
> (V=1/3 a² h)
Hast du denn keine Ideen oder sogar Ansätze?
Ich gebe (deswegen) mal nur eine grobe Skizze der Lösung an, du fragst dann bitte nach, wenn dir etwas nicht klar ist oder du deine Lösungen korrekturgelesen haben willst.
Es ist also eine Pyramide mit dem größten Volumen gesucht, d.h. [mm] $V(a,h)=\bruch{1}{3}a^2 [/mm] h$ ist zu maximieren, $V(a,h)$ ist also die Extremalbedingung.
Das "(a,h)" bei $V(a,h)$ drückt aus, dass V von beiden Variablen abhängig ist -- wenn V nur von einer Variable abhängig wäre, dann wäre es eine einfache Funktion, deren Maximum du ja mit Hilfe der Kurvendiskussion (Stichwort: Notwendige und Hinreichende Bedingung für Extremstellen...) berechnen kannst.
Aus diesem Grund mußt du nun versuchen, eine Abhängigkeit zwischen a und h zu entdecken (das nennt man dann Nebenbedingung).
Um diese Nebenbedingung zu finden, schaue dir bitte die Pyramide an -- siehst du den Zusammenhang zwischen a, h und s? Ein Tipp noch, falls du diesen nicht siehst: Finde zuerst den Zusammenhang zwischen der Diagonale d der Grundfläche und h und s. Dann finde den Zusammenhang zwischen a und d.
Kommst du mit diesen spärlichen Tipps schon weiter?
Falls nicht, frage bitte konkret nach.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Mulan |
> Hallo Mulan,
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> > kann mir jemand bei folgender Frage helfen?!
> >
> > Vier Stangen von gegebener Länge s sollen das Gerüst
> eines
> > Zeltes in Form einer geraden quadratischen Pyramide
> bilden.
> > Gesucht ist das Zelt mit dem größten Volumen.
> > (V=1/3 a² h)
>
> Hast du denn keine Ideen oder sogar Ansätze?
> Ich gebe (deswegen) mal nur eine grobe Skizze der Lösung
> an, du fragst dann bitte nach, wenn dir etwas nicht klar
> ist oder du deine Lösungen korrekturgelesen haben willst.
>
> Es ist also eine Pyramide mit dem größten Volumen gesucht,
> d.h. [mm]V(a,h)=\bruch{1}{3}a^2 h[/mm] ist zu maximieren, [mm]V(a,h)[/mm] ist
> also die Extremalbedingung.
>
> Das "(a,h)" bei [mm]V(a,h)[/mm] drückt aus, dass V von beiden
> Variablen abhängig ist -- wenn V nur von einer Variable
> abhängig wäre, dann wäre es eine einfache Funktion, deren
> Maximum du ja mit Hilfe der Kurvendiskussion (Stichwort:
> Notwendige und Hinreichende Bedingung für Extremstellen...)
> berechnen kannst.
>
> Aus diesem Grund mußt du nun versuchen, eine Abhängigkeit
> zwischen a und h zu entdecken (das nennt man dann
> Nebenbedingung).
> Um diese Nebenbedingung zu finden, schaue dir bitte die
> Pyramide an -- siehst du den Zusammenhang zwischen a, h und
> s? Ein Tipp noch, falls du diesen nicht siehst: Finde
> zuerst den Zusammenhang zwischen der Diagonale d der
> Grundfläche und h und s. Dann finde den Zusammenhang
> zwischen a und d.
>
> Kommst du mit diesen spärlichen Tipps schon weiter?
> Falls nicht, frage bitte konkret nach.
>
> Viele Grüße,
> Marc
>
Hallo Marc,
danke erstmal für die schnelle Antwort! Ich sehe einen Zusammenhang von a, s & h mit Pythagoras:
s²=(a/2)²+h²
Ist das die Nebenbediengung, die ich brauche. Mein Problem liegt darin, dass ich drei Unbekannt mit a, h & s habe aber nur eine Gleichung. Also brauche ich doch insgesamt drei Gleichungen, um drei Unbekannte auszurechnen, oder?
Gruß Mulan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mulan,
> danke erstmal für die schnelle Antwort! Ich sehe einen
> Zusammenhang von a, s & h mit Pythagoras:
>
>
> s²=(a/2)²+h²
Das stimmt nicht ganz, denn die Höhe h, die du hier benutzt ist nicht die Höhe der Pyramide, sondern die Höhe [mm] h_a [/mm] eines Manteldreiecks (Seitendreiecks).
Es müßte also richtig heißen: [mm] $s^2=\left(\bruch{a}{2}\right)^2+h_a^2$
[/mm]
Jetzt hast du die Wahl: Entweder, du drückst [mm] h_a [/mm] nun auch noch durch a und h aus, oder du gehst meinen zuerst vorgeschlagenen Weg (der aber auch nicht einfacher ist).
Verbessern wir zunächst deinen Ansatz: [mm] h_a, [/mm] h und a/2 liegen ebenfalls in einem rechtwinkligen Dreieck, das im Innern der Pyramide liegt. [mm] h_a [/mm] ist die Hypotenuse, also
[mm] h_a^2=h^2+\left(\bruch{a}{2}\right)^2
[/mm]
Das in deine (von mir durch den Index a ergänzte) Gleichung eingesetzt:
[mm] $s^2=\left(\bruch{a}{2}\right)^2+\underbrace{h_a^2}_{=h^2+\left(\bruch{a}{2}\right)^2}$
[/mm]
[mm] $=\left(\bruch{a}{2}\right)^2+h^2+\left(\bruch{a}{2}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=2*\left(\bruch{a}{2}\right)^2+h^2$
[/mm]
[mm] $=2*\bruch{a^2}{4}+h^2$
[/mm]
[mm] $=\bruch{a^2}{2}+h^2$
[/mm]
Den anderen Weg hat ja nun Daniel netterweise bereits dargestellt 
> Ist das die Nebenbediengung, die ich brauche. Mein Problem
> liegt darin, dass ich drei Unbekannt mit a, h & s habe aber
> nur eine Gleichung. Also brauche ich doch insgesamt drei
> Gleichungen, um drei Unbekannte auszurechnen, oder?
Nein, du darfst nicht vergessen, dass die Länge s ja fest vorgegeben ist (die Zeltstangen kannst du ja ausmessen).
Eine Variable (h bzw. a) benötigen wir auch noch für die Funktion, die dritte Variable (a bzw. h) ist dann nicht mehr frei wählbar, denn sie hängt (durch die Nebenbedingung) direkt von der ersten Variable ab.
Die Nebenbedingung besteht also nur aus einer Gleichung, für die Abhängigkeit von a und h.
Alles klar?
Falls nicht, frage bitte nach
Viele Grüße,
Marc
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Hallo!
Also die Hauptbedingung lautet: V(a,h)=a²h/3 ...Bei dir ist aber a und h variabl =>Du musst,wie marc gesagt hat,eine Nebenbedingung finden,wo du h durch a ,oder ungekehrt ausdrückst!
Da bringst du s ins spiel,denn s ist eine Formvariable
Aus der Skizze siehst du: h²+(d/2)²=s² ...Wir müssen d durch a ausdrücken
=> a²=2*(d/2)² ...diese gleichung stammt aus dem quadrat!!!
=> h²+ a²/2=s²
=> a²=2s²-2h² ....in die Hauptbedingung einsetzen
=> V(h)=(2s²h-2h³)/3...Diese Funktion kannst du ganz normal differenzieren
Gruß Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Mulan |
> Hallo!
> Also die Hauptbedingung lautet: V(a,h)=a²h/3 ...Bei dir
> ist aber a und h variabl =>Du musst,wie marc gesagt
> hat,eine Nebenbedingung finden,wo du h durch a ,oder
> ungekehrt ausdrückst!
>
> Da bringst du s ins spiel,denn s ist eine Formvariable
>
> Aus der Skizze siehst du: h²+(d/2)²=s² ...Wir müssen d
> durch a ausdrücken
>
> => a²=2*(d/2)² ...diese gleichung stammt aus dem
> quadrat!!!
>
>
> => h²+ a²/2=s²
> => a²=2s²-2h² ....in die Hauptbedingung einsetzen
> => V(h)=(2s²h-2h³)/3...Diese Funktion kannst du ganz normal
> differenzieren
>
> Gruß Daniel
>
Hallo Daniel,
nur kurz zur Korrekturansicht. Bedeutet das konkret abgeleitet:
V(h)=1/3*(2s²h-2h³)
V'(h)=1/3*(2s²-6h²)
V''(h)=1/3*(-12h)=-4h
V'''(h)=0
Ich hoffe ich habe in dem Zusammenhang richtig abgeleitet.
Erstmal vielen Dank an MARC & DANIEL, habt mir bisher sehr geholfen!
Gruß Mulan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo Mulan,
> V(h)=1/3*(2s²h-2h³)
>
> V'(h)=1/3*(2s²-6h²)
>
> V''(h)=1/3*(-12h)=-4h
V'''(h)=-4 !!! (brauchst du für Extremwertaufgaben aber eigentlich nicht )
Eigentlich musst Du jetzt nur noch V'=0 setzen, nach h auflösen und nach einem Hochpunkt suchen (V''(h) < 0). Dann bist Du schon fertig und kannst das maximale Volumen in Abhängigkeit von s angeben (einfach das gefundene h in V(h) einsetzen).
Viel Erfolg
Frosty
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Hallo!!das ist korrekt.Du musst nur mehr V'(h) Nullsetzen!!Gerne gemacht
Gruß Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Di 29.06.2004 | | Autor: | Mulan |
VIELEN DANK AN ALLE, DIE MIR BEI DER AUFGABE GEHOLFEN HABEN!!!
GRUß MULAN
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