Optimierungsaufgabe 8 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Hi,
bei dieser Aufgabe hänge ich leider.
Funktion: [mm] $f(x,y)=y^2-y+x^2$
[/mm]
Nebenbedingung: [mm] $x^2+y^2 \le [/mm] 1$ daraus folgt [mm] $x^2+y^2 [/mm] -1 = 0$
Bei dieser Aufgabe muss ich die Randpunkte mit Nebenbedingung und die eigentliche Funktion auf Extrema untersuchen.
1. Ich fange an mit der Funktion selbst:
$grad(f)(x,y)=(2x\ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ 2y - 1)$
Jetzt die Nullstellen bstimmen:
$grad(f)(x,y)=(2x\ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ 2y - 1)=0$
a01. $2x=0$
a02. $x=0$
b01. $2y - 1=0$
b02. $2y=1$
b03. [mm] $y=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Hesse-Matrix aufstellen:
[mm] $H=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }$
[/mm]
In diese Hesse-Matrix kann ich nicht meine berechneten Nullstellen einsetzen also überprüfe ich jetzt die Definitheit:
$det(2)=2$ positiv definit!
[mm] $det\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2} [/mm] = 2*2 - 0*0 = 4$ positiv definit
--> Es handelt sich bei den Nullstellen um Minima. Aber die Frage ist bei welchen Nullstellen? Könnte mir bitte das jemand nochmal erklären was ich hier herausgefunden habe?
Jetzt versuche ich die Extrem-Stellen mit Lagrange zu bestimmen, dazu stelle ich die Lagrange-Funktion auf:
$L(x, y, [mm] \lambda)=y^2-y+x^2+\lambda*(x^2+y^2 [/mm] -1)$
$L(x, y, [mm] \lambda)=y^2-y+x^2+x^2*\lambda+y^2*\lambda -\lambda$
[/mm]
Ableiten nach $x, y, [mm] \lambda$
[/mm]
[mm] $L'(x)=2x+2x*\lambda+$
[/mm]
[mm] $L'(y)=2y-1+2y*\lambda$
[/mm]
[mm] $L'(\lambda)=x^2+y^2 [/mm] -1$
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter :-( Ich brauche bitte Hilfe, ich schreib am Montag ne Prüfung und die Extremalwertaufgaben sitzen jetzt nicht mehr so gut :-(
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Funktion: [mm]f(x,y)=y^2-y+x^2[/mm]
>
> Nebenbedingung: [mm]x^2+y^2 \le 1[/mm] daraus folgt [mm]x^2+y^2 -1 = 0[/mm]
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> Bei dieser Aufgabe muss ich die Randpunkte mit
> Nebenbedingung und die eigentliche Funktion auf Extrema
> untersuchen.
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> 1. Ich fange an mit der Funktion selbst:
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>
> [mm]grad(f)(x,y)=(2x\ \ \red{,}\ \ 2y - 1)[/mm]
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>
> Jetzt die Nullstellen bstimmen:
>
> [mm]grad(f)(x,y)=(2x\ \ \red{,}\ \ 2y - 1)=0[/mm]
>
>
> a01. [mm]2x=0[/mm]
>
> a02. [mm]x=0[/mm]
>
>
> b01. [mm]2y - 1=0[/mm]
>
> b02. [mm]2y=1[/mm]
>
> b03. [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
Hallo,
bis hierher ist alles richtig. Du weißt nun:
bei (0, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] könnte ein Extremwert vorliegen.
Die überprüfst Du mit der Hessematrix.
> Hesse-Matrix aufstellen:
>
>
>
> [mm]H=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
Schreib lieber so [mm] H_f(x,y)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
>
> In diese Hesse-Matrix kann ich nicht meine berechneten
> Nullstellen einsetzen
Doch. So:
[mm] H_f(0, \bruch{1}{2}) =\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }.
[/mm]
Es ändert sich durchs Einsetzen also nichts. (Die Hessematrix ist also konstant. Wie z.B. die Funktion, die durch g(x):=1 def. ist. g(0)=1, g(2)=1, g(345)=1 usw.)
> also überprüfe ich jetzt die
> Definitheit:
>
>
> [mm]det(2)=2[/mm] positiv definit!
>
>
> [mm]det\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2} = 2*2 - 0*0 = 4[/mm] positiv definit
Richtig.
>
> --> Es handelt sich bei den Nullstellen um Minima. Aber die
> Frage ist bei welchen Nullstellen? Könnte mir bitte das
> jemand nochmal erklären was ich hier herausgefunden habe?
Du hattest als möglichen Stelle für einen Extremwert (0, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] ermittelt.
Die Hessematrix ist an dieser Stelle positiv definit, also hat die Funktion ein Minimum bei (0, [mm] \bruch{1}{2}).
[/mm]
Du solltest nun überprüfen, ob dies in dem zu betrachtenden Bereich liegt. Denn die Extrema in dem Bereich [mm] x^2+y^2\le [/mm] 1 sind gefragt.
(Es wäre auch eine Idee, das vorm Aufsteleln der Hessematrix zu testen. Wenn alle potentiellen Extremwerte außerhalb des zu betrachtenden Bereiches liegen, kann man sich die Hessematrix sparen. Das könnte Zeit sparen - allerdings, falls man sich zuvor verrechnet hat, gibt's vielleicht auf die richtige Hessematrix Punkte...)
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> Jetzt versuche ich die Extrem-Stellen
auf dem Rand
> mit Lagrange zu
> bestimmen, dazu stelle ich die Lagrange-Funktion auf:
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> [mm]L(x, y, \lambda)=y^2-y+x^2+\lambda*(x^2+y^2 -1)[/mm]
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> [mm]L(x, y, \lambda)=y^2-y+x^2+x^2*\lambda+y^2*\lambda -\lambda[/mm]
>
> Ableiten nach [mm]x, y, \lambda[/mm]
>
> [mm]L'(x)=2x+2x*\lambda+[/mm]
>
> [mm]L'(y)=2y-1+2y*\lambda[/mm]
>
> [mm]L'(\lambda)=x^2+y^2 -1[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht mehr weiter :-( Ich brauche bitte
> Hilfe, ich schreib am Montag ne Prüfung und die
> Extremalwertaufgaben sitzen jetzt nicht mehr so gut :-(
Bleib' ganz ruhig. Du hast es bis hierher hervorragend bewältigt. Es ist alles richtig!
Nun mußt Du dieses Gleichungsystem lösen.
> (1)[mm]0=2x+2x*\lambda+[/mm]
>
> (2)[mm]0=2y-1+2y*\lambda[/mm]
>
> (3)[mm]0=x^2+y^2 -1[/mm]
Aus (1) erhältst Du
[mm] 0=2x+2x*\lambda=2x(1+\lambda)
[/mm]
==> x=0 oder [mm] \lambda=-1
[/mm]
A. x=0
Eingesetzt in die Gleichung (2) verändert sich nichts.
In (3) einsetzen:
[mm] 0=0^2+y^2-1 [/mm] ==> [mm] y^2=1 [/mm] ==> y=1 oder y=-1
(Du könntest jetzt noch aus der 2. Gleichung [mm] \lambda [/mm] berechnen, aber im Grunde brauchst Du es nicht.)
Deine kritischen Punkte sind (0,1) und (0,-1).
B. [mm] \lambda=-1
[/mm]
Einsetzen in (2) ergibt
0=2y-1+2y*(-1) =-1
Diese Gleichung hat keine Lösung.
Mit [mm] \lambda=-1 [/mm] ist das Gleichungssystem als nicht zu lösen.
Somit sind (0,1) und (0,-1) die einzigen kritischen Punkte auf dem Rand.
Du mußt nun nur noch schauen, welcher ein Min und welcher ein Max. ist.
Dazu setzt Du in f(x,y) ein.
Viel Erfolg morgen!
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
vielen Dank fürs erklären! Danke!
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> >
> > Funktion: [mm]f(x,y)=y^2-y+x^2[/mm]
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> > Nebenbedingung: [mm]x^2+y^2 \le 1[/mm] daraus folgt [mm]x^2+y^2 -1 = 0[/mm]
>
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> >
> > Bei dieser Aufgabe muss ich die Randpunkte mit
> > Nebenbedingung und die eigentliche Funktion auf Extrema
> > untersuchen.
> >
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> > 1. Ich fange an mit der Funktion selbst:
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> > [mm]grad(f)(x,y)=(2x\ \ \red{,}\ \ 2y - 1)[/mm]
> >
> >
> > Jetzt die Nullstellen bstimmen:
> >
> > [mm]grad(f)(x,y)=(2x\ \ \red{,}\ \ 2y - 1)=0[/mm]
> >
> >
> > a01. [mm]2x=0[/mm]
> >
> > a02. [mm]x=0[/mm]
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> > b01. [mm]2y - 1=0[/mm]
> >
> > b02. [mm]2y=1[/mm]
> >
> > b03. [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm]
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> Hallo,
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> bis hierher ist alles richtig. Du weißt nun:
>
> bei (0, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] könnte ein Extremwert vorliegen.
>
> Die überprüfst Du mit der Hessematrix.
>
>
> > Hesse-Matrix aufstellen:
> >
> >
> >
> > [mm]H=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> Schreib lieber so [mm]H_f(x,y)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
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> >
> > In diese Hesse-Matrix kann ich nicht meine berechneten
> > Nullstellen einsetzen
>
> Doch. So:
>
> [mm]H_f(0, \bruch{1}{2}) =\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }.[/mm]
>
> Es ändert sich durchs Einsetzen also nichts. (Die
> Hessematrix ist also konstant. Wie z.B. die Funktion, die
> durch g(x):=1 def. ist. g(0)=1, g(2)=1, g(345)=1 usw.)
>
>
> > also überprüfe ich jetzt die
> > Definitheit:
> >
> >
> > [mm]det(2)=2[/mm] positiv definit!
> >
> >
> > [mm]det\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2} = 2*2 - 0*0 = 4[/mm] positiv definit
>
> Richtig.
>
> >
> > --> Es handelt sich bei den Nullstellen um Minima. Aber die
> > Frage ist bei welchen Nullstellen? Könnte mir bitte das
> > jemand nochmal erklären was ich hier herausgefunden
> habe?
>
> Du hattest als möglichen Stelle für einen Extremwert (0,
> [mm]\bruch{1}{2})[/mm] ermittelt.
>
> Die Hessematrix ist an dieser Stelle positiv definit, also
> hat die Funktion ein Minimum bei (0, [mm]\bruch{1}{2}).[/mm]
>
> Du solltest nun überprüfen, ob dies in dem zu betrachtenden
> Bereich liegt. Denn die Extrema in dem Bereich [mm]x^2+y^2\le[/mm] 1
> sind gefragt.
> (Es wäre auch eine Idee, das vorm Aufsteleln der
> Hessematrix zu testen. Wenn alle potentiellen Extremwerte
> außerhalb des zu betrachtenden Bereiches liegen, kann man
> sich die Hessematrix sparen. Das könnte Zeit sparen -
> allerdings, falls man sich zuvor verrechnet hat, gibt's
> vielleicht auf die richtige Hessematrix Punkte...)
Ich habe eine Frage hierzu. Also setze ich die Extremstellen die ich von der Funkton ermittelt habe in die Nebenbedinung ein und prüfe ob diese kleiner 1 sind. Wenn dies der Fall ist (vorausgesetzt ich habe alles richtig berechnet) dann überprüfe ich erst die Definitheit der Hesse-Matrix. Angenommen da wäre jetzt nach dem einsetzen heraus gekommen: 5 kleiner 1 wüsste ich, dass diese Werte nicht die Nebenbedingung erfüllen und ich müsste nicht weiter prüfen und könnte schreiben... Nebenbedingung verletzt, deshalb kommen sie nicht in Frage als Extremstellen ... oder? Also immer unter der Voraussetzung, dass ich die Werte richtig berechnet habe.
Stimmt das was ich geschrieben habe?
Ich habe auch später noch eine Frage zu der Aufgabe, weil ich da teilweise "unwahre" Aussagen heraus bekomme. Das hatte ich bisher nicht (da ich oft nur Klausuraufgaben gerechnet habe, dort haben sie das wohl nicht eingebaut, weil es sonst zu viel Raten wäre. Aber ich möchte das auch noch verstehen. Ich werde das andere nochmal später oder morgen früh rechnen und dann noch Fragen. Ich rechne z. Z. gerade noch die Altklausuroptimierungsaufgaben. Ist es praktisch, dass ich die Musterlösungen hier online stehen habe und dann vergleichen kann! Danke an alle die mir dabei geholfen haben!
Ich schreibe die Prüfung am Montag nicht Sonntag (kann sein, dass ich mich falsch ausgedrückt habe vor lauter lauter)
Danke
Grüße Thomas
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Hi,
ich habe die Aufgabe nochmal gerechnet (das müsste stimmen) evtl. nochmal bitte kurz über meine Bemerkung drübersehen. Ich habe auch noch das eine Lambda mehr bestimmt, was man nicht hätte machen müssen (weil ich sehen wollte was da raus kommt).
Ich habe jetzt nur ein Problem, beide Werte sind gleich groß. Diesen Fall hatte ich noch nicht. Was sagt mir das?
Ich habe die Aufgabe ebenfalls gescannt, da ich z. Z. nicht die Muse habe das "digital" zu posten, da das wesentlich länger dauert.
Ich hoffe man kann meine Schrift lesen.
Danke
Grüße thomas
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 3 (fehlt/gelöscht)]
[Bild Nr. 4 (fehlt/gelöscht)]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Ich habe jetzt nur ein Problem, beide Werte sind gleich
> groß. Diesen Fall hatte ich noch nicht. Was sagt mir das?
Hallo,
auch hier kein Grund zur Aufregung: Du hast einen kleinen Vorzeichenfehler gemacht.
Es ist [mm] f(0,1)=1^2-1+0^2=0 [/mm] und
[mm] f(0,-1)=(-1)^2-(-1)+0^2=2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 So 29.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
oh ich hab mich da vertan beim abschreiben der eigentlichen Funktion! Daher kommt der Fehler.
Danke!
Grüße Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Sa 28.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Thomas
Bei so einfachen Aufgaben dauert- insbesondere in ner Prüfung Lagrange zu lange!
Wenn du einfach die Fkt. auf dem Rand einschränkst wird [mm] f_R=1-y [/mm] und das hat offensichtlich wegen [mm] |y|\le1 [/mm] die 2 "extremwerte" bei y=1 x=0 f=0 kein globales Max, da -1/4 bei (0,1/2) kleiner und bei y=-1 x=0 Max da f=2.
(Für nen Vorgehen in ner Prüfung stört mich auch, dass du immer für grad=0 ein a und b machst, es muss doch immer beide Komponenten geichzeitig 0 sein also [mm] f_x=0 [/mm] UND [mm] f_y=0, [/mm] das sollte man nicht so nachenander sondern parallel ansehen.Dein Frage bei welchen Nullstellen bringt mich darauf, denn wenn dus parallel siehst ist es ja offensichtlich nur eine!)
2. Bemerkung: denk dran eine fkt. nimmt auf einem abg. Gebiet IMMER ihr Max und ihr Min an! und denk dran zwischen globalen und lokalen Min zu unterscheiden grad=0 und detH>0 heisst erst mal nur lokales Min.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Sa 28.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Hallo Thomas
> Bei so einfachen Aufgaben dauert- insbesondere in ner
> Prüfung Lagrange zu lange!
> Wenn du einfach die Fkt. auf dem Rand einschränkst wird
> [mm]f_R=1-y[/mm] und das hat offensichtlich wegen [mm]|y|\le1[/mm] die 2
> "extremwerte" bei y=1 x=0 f=0 kein globales Max, da -1/4
> bei (0,1/2) kleiner und bei y=-1 x=0 Max da f=2.
> (Für nen Vorgehen in ner Prüfung stört mich auch, dass du
> immer für grad=0 ein a und b machst, es muss doch immer
> beide Komponenten geichzeitig 0 sein also [mm]f_x=0[/mm] UND [mm]f_y=0,[/mm]
> das sollte man nicht so nachenander sondern parallel
> ansehen.Dein Frage bei welchen Nullstellen bringt mich
> darauf, denn wenn dus parallel siehst ist es ja
> offensichtlich nur eine!)
> 2. Bemerkung: denk dran eine fkt. nimmt auf einem abg.
> Gebiet IMMER ihr Max und ihr Min an! und denk dran zwischen
> globalen und lokalen Min zu unterscheiden grad=0 und detH>0
> heisst erst mal nur lokales Min.
> Gruss leduart
>
Hi Leduart,
danke für deine Anmerkungen. Hm ich schreib ja schon am Montag und mit meinem "guten" Matheverständnis werde ich das nicht mehr wirklich hinbekommen dass ich das noch einschränke in der Arbeit. Aber falls ich durchfall, werd ich mir das zu Gemüte führen. Hab dann ja lange Zeit zum lernen.
Das mit meinem a, b, c und 01, 02 das mache ich deshalb, da ich hier nicht nebeneinander schreiben kann und dass sich die Korrektoren auf Zeilen beziehen können und ich dann auf anhieb sehen kann was gemeint ist. Das mache ich in der Arbeit nicht (das ich das durchnummeriere)
Danke
Grüße Thomas
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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