Ordnung einer Polstelle < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 So 23.01.2011 | | Autor: | Wolve |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion $f(z) = [mm] \bruch{1}{(z^2 -1)^2 log z}$ [/mm] in [mm] $z_0 [/mm] = 1$ eine Polstelle hat und bestimmen Sie deren Ordnung. |
Schönen guten Tag,
hilfesuchend wende ich mich an den Matheraum, da ich mithilfe meines Skriptes nicht wirklich sicher diese Aufgabe lösen kann.
Mein Ansatz wäre erstmal zu zeigen, dass in [mm] $z_0 [/mm] =1$ die Funktion eine Polstelle hat mit:
[mm] $\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{1}{\underbrace{(z^2 -1)^2}_{\to 0}\underbrace{log z}_{\to 0}} \to \infty$, [/mm] womit man auch sieht, dass es keine hebbare Singularität gibt.
Fortführen würde ich, dass $f(z)$ eine meromorphe Funktion ist (Wofür ich keinen Beweis habe, aber da ich glaube, dass [mm] $\bruch{1}{(z^2 -1)^2}$ [/mm] holomorph ist, und der Logarithmus sicher holomorph ist, also auch $f(z) = [mm] \bruch{1}{log z}$, [/mm] und die Polstellen diskret sind)
Wenn ich nun die Funktionen aufteilen würde in $g(z)= [mm] \bruch{1}{(z^2 -1)^2}$ [/mm] und $h(z)= [mm] \bruch{1}{log z}$ [/mm] würde ich jetzt sehen, dass g(z) bei [mm] z_0 [/mm] = 1 eine Polstelle 2. Ordnung hat und h(z) bei [mm] z_0 [/mm] = 1 eine Polstelle 1. Ordnung hat. Somit wäre die Ordnung addiert 3.
Problem hierbei ist (zusätzlich dazu, dass ich nicht weiß, ob mein Ideengang soweit korrekt war), der Hinweis, der uns gegeben wurde, die Reihendarstellung $log (1+z) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{z^k}{k}$. [/mm] Wenn mein erster Ansatz falsch war, weiß ich weder, wie ich für diesen Hinweis umformen soll und was ich dannach mit dem Zwischenergebnis anfangen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß Hendrik
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f(z) = \bruch{1}{(z^2 -1)^2 log z}[/mm]
> in [mm]z_0 = 1[/mm] eine Polstelle hat und bestimmen Sie deren
> Ordnung.
>
>
> Schönen guten Tag,
> hilfesuchend wende ich mich an den Matheraum, da ich
> mithilfe meines Skriptes nicht wirklich sicher diese
> Aufgabe lösen kann.
>
> Mein Ansatz wäre erstmal zu zeigen, dass in [mm]z_0 =1[/mm] die
> Funktion eine Polstelle hat mit:
> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} \bruch{1}{\underbrace{(z^2 -1)^2}_{\to 0}\underbrace{log z}_{\to 0}} \to \infty[/mm],
> womit man auch sieht, dass es keine hebbare Singularität
> gibt.
>
> Fortführen würde ich, dass [mm]f(z)[/mm] eine meromorphe Funktion
> ist (Wofür ich keinen Beweis habe, aber da ich glaube,
> dass [mm]\bruch{1}{(z^2 -1)^2}[/mm] holomorph ist, und der
> Logarithmus sicher holomorph ist, also auch [mm]f(z) = \bruch{1}{log z}[/mm],
> und die Polstellen diskret sind)
>
> Wenn ich nun die Funktionen aufteilen würde in [mm]g(z)= \bruch{1}{(z^2 -1)^2}[/mm]
> und [mm]h(z)= \bruch{1}{log z}[/mm] würde ich jetzt sehen, dass
> g(z) bei [mm]z_0[/mm] = 1 eine Polstelle 2. Ordnung hat und h(z) bei
> [mm]z_0[/mm] = 1 eine Polstelle 1. Ordnung hat. Somit wäre die
> Ordnung addiert 3.
Genau so kannst Du das machen !
>
>
> Problem hierbei ist (zusätzlich dazu, dass ich nicht
> weiß, ob mein Ideengang soweit korrekt war)
Alles korrekt
, der Hinweis,
> der uns gegeben wurde, die Reihendarstellung [mm]log (1+z) = \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{z^k}{k}[/mm].
> Wenn mein erster Ansatz falsch war, weiß ich weder, wie
> ich für diesen Hinweis umformen soll und was ich dannach
> mit dem Zwischenergebnis anfangen soll.
Der Hinweis ient vielleicht dazu, dass man damit begründen kann, daas log(z) in z=1 eine einfache Nullstelle hat
Drück mal log(z) mit obiger Reihe aus
FRED
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>
>
> Bin für jede Hilfe dankbar.
> Gruß Hendrik
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f(z) = \bruch{1}{(z^2 -1)^2 log z}[/mm]
> in [mm]z_0 = 1[/mm] eine Polstelle hat und bestimmen Sie deren
> Ordnung.
Hallo Hendrik,
ich hätte mir das so klar gemacht:
log(z) hat an der Stelle [mm] z_0=1 [/mm] eine einfache Nullstelle und
verhält sich in der infinitesimalen Umgebung davon wie ihre
lineare Approximation z-1
Damit wird für den Zweck der Untersuchung
[mm]f(z)\ =\ \bruch{1}{(z^2 -1)^2\,*\,log(z)}\ =\ \bruch{1}{(z -1)^2*(z+1)^2\,*\,log(z)}\ \approx\ \bruch{1}{(z -1)^3 (z+1)^2}[/mm]
Dieser Term hat bei [mm] z_0=1 [/mm] offenbar einen Pol dritter Ordnung.
(Gegenüber deinen eigenen und Freds Überlegungen ist
dies zwar nichts Neues - aber doch knapp und einfach
dargestellt.)
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Allgemein:
Ist D [mm] \subseteq \IC [/mm] offen, [mm] z_0 \in [/mm] D und f: D \ { [mm] z_0 [/mm] } [mm] \to \IC [/mm] holomorph und p [mm] \ge [/mm] 1, so gilt:
f hat in [mm] z_0 [/mm] einen Pol der Ordnung p [mm] \gdw [/mm] 1/f hat in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle der Ordnung p
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 23.01.2011 | | Autor: | Wolve |
Hallo ihr beiden,
Danke für die schnelle Hilfe.
@ Al-Chwarizmi:
Danke für die Idee, garnicht so schlecht der Gedanke, hätte ich garnicht soweit gedacht. Da wir jedoch die meromorphen Funktionen erst kürzlich behandelt haben möchte ich es auch versuchen über diese auch darauf zu kommen, aber behalte mir mal deine Idee im Hinterkopf :)
@Fred:
Genau mit dem Satz habe ich mir das alles zusammengereimt. Problemtisch ist aber, dass $D [mm] \backslash \{ z_0\}$, [/mm] da beim Logarithmus ja die 0 auch nicht in der Urmenge sein darf oder? Kann ich beim Logarithmus überhaupt diesen Satz anwenden?
Könntest du mir nen kleinen Schubser geben, wie ich das mit der Reihendarstellung machen kann? Habe jetzt rumprobiert, aber komme auf keinen grünen Zweig...
Gruß Hendrik
Nachtrag: Natürlich geht der Satz, dann hat der Log in 0 eine weitere Polstelle, die uns aber aufgrund der Aufgabenstellung hier nicht interessiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast
$ log (1+w) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{w^k}{k} [/mm] $
für |w|<1.
Also
$ log (z) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{(z-1)^k}{k} [/mm] $
für |z-1|<1
Schreib die Reihe mal aus, dann siehst Du: log(z) hat in z=1 eine einfache Nullstelle
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 So 23.01.2011 | | Autor: | Wolve |
Achje, hab ich wieder viel zu kompliziert gedacht, also wenn man das so machen kann, dann ist die Umformung ja völlig klar. Hätte nicht gedacht, dass es so funktioniert. Bei meiner Recherche habe ich nur Darstellungen mit Restgliedabschätzung gefunden.
$log (z) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{(z-1)^k}{k}$ [/mm] = $(z-1) - [mm] \bruch{(z-1)^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(z-1)^3}{3} [/mm] -+ ...$ = $(z-1) (1- [mm] \bruch{z-1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(z-1)^2}{3} [/mm] -+...$ wird dann 0 bei $z [mm] \to [/mm] 1$
Ja, das ist natürlich viel anschaulicher...
Vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
Gruß Hendrik
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