Ordnung und Polstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ordnung aller Punkte und klassifizieren Sie alle Polstellen folgender Funktionen:
a) f(z):= z [mm] \bruch{(z-1)^2(z+3)}{cos(\bruch{\pi}{2}z)}
[/mm]
b) g(z):= [mm] \bruch{exp(\bruch{1}{1-z})(1-z)}{cos(2\pi z} [/mm] |
Hallo zusammen,
das ist wahrscheinlich eine sehr leichte Aufgabe, nur war ich leider die letzten beiden Male krankheitsbedingt nicht in der Vorlesung und jetzt gehts mir natürlich einiges ab.
Habe aber mal etwas versucht:
zur a) habe ich die Polstellen 1 und 3 berechnet, bei der b) habe ich die Polstellen 1/4 und 3/4...
Oder muss ich das über den Hauptteil der Laurentreihe machen? Allerdings habe ich beim cosinus doch nur einen nebenteil, also weiss ich hier schon mal nicht, wie ich genau vorgehen muss...
und dann habe ich ein problem mit der ordnung der punkte. ist hier die ordnung der pole gemeint oder gibt es auch noch eine "normale" ordnung, und wenn ja, wie ist die denn diefiniert, bzw. kann mir jemand ein beispiel nennen?
über hilfe wäre ich sehr dankbar!
liebe grüße
stoffffel
|
|
| |
|
Hallo stofffffel,
> Bestimmen Sie die Ordnung aller Punkte und klassifizieren
> Sie alle Polstellen folgender Funktionen:
>
> a) f(z):= z [mm]\bruch{(z-1)^2(z+3)}{cos(\bruch{\pi}{2}z)}[/mm]
>
> b) g(z):= [mm]\bruch{exp(\bruch{1}{1-z})(1-z)}{cos(2\pi z}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> das ist wahrscheinlich eine sehr leichte Aufgabe, nur war
> ich leider die letzten beiden Male krankheitsbedingt nicht
> in der Vorlesung und jetzt gehts mir natürlich einiges ab.
> Habe aber mal etwas versucht:
> zur a) habe ich die Polstellen 1 und 3 berechnet, bei der
> b) habe ich die Polstellen 1/4 und 3/4...
Es gibt natürlich noch viel mehr solcher Polstellen.
> Oder muss ich das über den Hauptteil der Laurentreihe
> machen? Allerdings habe ich beim cosinus doch nur einen
> nebenteil, also weiss ich hier schon mal nicht, wie ich
> genau vorgehen muss...
>
> und dann habe ich ein problem mit der ordnung der punkte.
> ist hier die ordnung der pole gemeint oder gibt es auch
> noch eine "normale" ordnung, und wenn ja, wie ist die denn
> diefiniert, bzw. kann mir jemand ein beispiel nennen?
ad a)
Bestimme die Nullstellen von [mm]cos\left(\bruch{\pi}{2}z\right)[/mm]
Somit hast Du dann die Darstellung:
[mm]cos\left(\bruch{\pi}{2}z\right)=\produkt_{k=0}^{\infty}\left(z-z_{k}\right)[/mm]
Dann kannst Du auch die Ordnung diese "Pole" bestimmen.
ad b)
Für [mm]e^{\bruch{1}{1-z}}[/mm] verwendest Du natürlich die bekannte Reihe.
Für [mm]cos\left(2*\pi*z\right)[/mm] analoges Vorgehen wie unter a)
>
> über hilfe wäre ich sehr dankbar!
> liebe grüße
> stoffffel
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower,
danke für deine abermalige Hilfe 
zur a) ich habe den cosinus jetzt so dargestellt, nur was bringt mir das? ich weiss, dass ich genau dann einen pol k-ter ordnung habe, wenn der hauptteil der laurentreihe ab dem k-ten glied abbricht... nur hier habe ich doch keinen hauptteil... was also tun??
bei der b) habe ich da gleiche problem, gut klar, ich hab exp wie bekannt dargestellt, aber wieso muss ich das überhaupt betrachten? steht doch im zähler...
grüße
steffi
|
|
|
| |
|
Hallo stofffffel,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine abermalige Hilfe
>
> zur a) ich habe den cosinus jetzt so dargestellt, nur was
> bringt mir das? ich weiss, dass ich genau dann einen pol
> k-ter ordnung habe, wenn der hauptteil der laurentreihe ab
> dem k-ten glied abbricht... nur hier habe ich doch keinen
> hauptteil... was also tun??
Nun, mit dem Hebbarkeitssatz kann man die Singularitäten auch charakterisieren.
Ist c keine hebbare Singularität von f, so ist f um c
nicht beschränkt,daher liegt es nahe zu fragen,
für welches n das Produkt [mm]\left(z-c\right)*f\left(z\right)[/mm] beschränkt bleibt.
>
> bei der b) habe ich da gleiche problem, gut klar, ich hab
> exp wie bekannt dargestellt, aber wieso muss ich das
> überhaupt betrachten? steht doch im zähler...
Weil die Funktion [mm]e^{\bruch{1}{1-z}[/mm] auch eine Singularität hat.
>
> grüße
> steffi
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
ok,
also für [mm] cos(\bruch{\pi}{2}z)=\produkt_{k=0}^{\infty}(z-z_{k}) [/mm] würde ich sagen, habe ich die ordnung 1 weil der grad 1 ist.
allerdings bin ich mir dabei echt nicht sicher...
bei der b) habe ich die darstellung:
[mm] e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(1-z)^k*k!} [/mm] hier verschwinden uendlich viele Glieder des Hauptteils nicht, daher habe ich eine wesentliche Singularität
nur was sagt mir das dann weiter?
|
|
|
| |
|
Vergessen wir die vorige Frage:
Ich weiss also, dass der exp ausdruck einen ausdruck liefert, bei dem unendlich viele glieder des hauptteils nicht verschwinden, also habe ich hier eine wesentliche singularität.... ist mir jetzt auch klar
nur was ich nicht verstehe, ist wie du auf die darstellung
[mm] cos(\bruch{\pi}{2}z)=\produkt_{k=0}^{\infty}(z-z_{k}) [/mm] kommst... das leuchtet mir ned...
habe zwar eine Produktdarstellung des cosinus gefunden, allerdings kommt bei mir das nicht raus, wenn ich das anwende...
liege brüße
|
|
|
| |
|
Hallo stofffffel,
> Vergessen wir die vorige Frage:
>
> Ich weiss also, dass der exp ausdruck einen ausdruck
> liefert, bei dem unendlich viele glieder des hauptteils
> nicht verschwinden, also habe ich hier eine wesentliche
> singularität.... ist mir jetzt auch klar
>
> nur was ich nicht verstehe, ist wie du auf die darstellung
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2}z)=\produkt_{k=0}^{\infty}(z-z_{k})[/mm]
> kommst... das leuchtet mir ned...
Nun, wenn ich diese Funktion in eine Potenzreihe entwickle,
dann ist das ein Polynom von unendlichem Grad.
Und von einem Polynom kann man die Nullstellen abspalten,
und so den Grad des Polynoms verringern.
> habe zwar eine Produktdarstellung des cosinus gefunden,
> allerdings kommt bei mir das nicht raus, wenn ich das
> anwende...
>
> liege brüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo stofffffel,
> ok,
> also für
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2}z)=\produkt_{k=0}^{\infty}(z-z_{k})[/mm]
> würde ich sagen, habe ich die ordnung 1 weil der grad 1
> ist.
> allerdings bin ich mir dabei echt nicht sicher...
Das ist erstmal die Ordnung der Nullstellen.
Für die Ordnung der Pole mußt Du allerdings den gesamten Ausdruck betrachten.
Daher muß Du die Stellen z=1 bzw. z=-3 gesondert untersuchen.
>
> bei der b) habe ich die darstellung:
> [mm]e^{\bruch{1}{1-z}}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(1-z)^k*k!}[/mm]
> hier verschwinden uendlich viele Glieder des Hauptteils
> nicht, daher habe ich eine wesentliche Singularität
> nur was sagt mir das dann weiter?
Nun, daß es kein Pol und keine hebbare Singularität ist.
Untersuche jetzt, ob diese Stelle auch Nullstelle des Nenners ist.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok, danke, das ist mir jetzt klar! Sorry, wenn ich das nicht gleich gesehen, ich sitze schon so lang, dass ich mich langsam echt nicht mehr konzentrieren kann.... ;-(
aber ich versuch´s nochmal:
die nullstellen haben alle grad 1, das ist schon mal in ordnung so...
ich muss aber ja auch fälle wie -1 und -3 usw. betrachten... demnach würde ich sagen, dass es unendlich viele glieder mit negativen exponenten gibt und ich somit wirklich eine wesentliche singualität habe...
kann man das so sagen???
und bei der b) wäre es ja dann ganz analog...
liebe grüße
steffi
|
|
|
| |
|
Hallo stofffffel,
> Ok, danke, das ist mir jetzt klar! Sorry, wenn ich das
> nicht gleich gesehen, ich sitze schon so lang, dass ich
> mich langsam echt nicht mehr konzentrieren kann.... ;-(
>
> aber ich versuch´s nochmal:
> die nullstellen haben alle grad 1, das ist schon mal in
> ordnung so...
> ich muss aber ja auch fälle wie -1 und -3 usw.
> betrachten... demnach würde ich sagen, dass es unendlich
> viele glieder mit negativen exponenten gibt und ich somit
> wirklich eine wesentliche singualität habe...
Hier sind Die Fälle z=1 und z=-3 zu untersuchen.
Nun ist es so, daß die Vielfachheit dieser Nullstellen im Zähler
größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nenner ist.
Daher kann das keine wesentliche Singularität sein.
> kann man das so sagen???
>
> und bei der b) wäre es ja dann ganz analog...
Bei b) ist es etwas einfacher, da die Singularität z=1
keine Nullstelle von [mm]\cos\left(2\pi*z\right)[/mm] ist.
>
> liebe grüße
> steffi
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok ich starte mal nochmal einen Versuch:
Der Zähler hat die Nullstellen 0, 1 und -3 (die 0 hast du vielleicht nicht gesehen, vor dem Bruch steht noch ein z)...
0 kann keine Polstelle sein, da 0 keine Nullstelle des Nenners ist..
1 kann ebenfalls keine Polstelle sein, weil diese im Zähler doppelt ist und sich somit im Nenner rauskürzt...
bleibt also nur -3... diese hat sowohl im Zähler also auch im Nenner die Ordnung 1, also handelt es sich insgesamt um eine hebbare Singularität....
Passt es jetzt?
bei der b) habe ich mir dann folgendes überlegt:
im zähler hab ich die wesentliche singularität 1, die jedoch keine nullstelle des nenners ist...
demnach würde ich sagen, dass jede nullstelle des nenners eine polstelle der funktion mit ordnung 1 ist, weil jede nullstelle des nenners die ordnung 1 hat, ist das so richtig???
bitte sag ja )
danke schonmal, liebe grüße
|
|
|
| |
|
Hallo stofffffel,
> Ok ich starte mal nochmal einen Versuch:
>
> Der Zähler hat die Nullstellen 0, 1 und -3 (die 0 hast du
> vielleicht nicht gesehen, vor dem Bruch steht noch ein
> z)...
Die Nullstelle 0 ist hier nicht zu untersuchen,
da sie keine Nullstelle des Nenners ist.
> 0 kann keine Polstelle sein, da 0 keine Nullstelle des
> Nenners ist..
> 1 kann ebenfalls keine Polstelle sein, weil diese im
> Zähler doppelt ist und sich somit im Nenner rauskürzt...
> bleibt also nur -3... diese hat sowohl im Zähler also
> auch im Nenner die Ordnung 1, also handelt es sich
> insgesamt um eine hebbare Singularität....
> Passt es jetzt?
>
> bei der b) habe ich mir dann folgendes überlegt:
> im zähler hab ich die wesentliche singularität 1, die
> jedoch keine nullstelle des nenners ist...
> demnach würde ich sagen, dass jede nullstelle des nenners
> eine polstelle der funktion mit ordnung 1 ist, weil jede
> nullstelle des nenners die ordnung 1 hat, ist das so
> richtig???
> bitte sag ja )
Jetzt passt es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> danke schonmal, liebe grüße
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Fr 17.07.2009 | | Autor: | stofffffel |
Super,
ganz vielen lieben dank an dich und deine unendliche geduld mit mir
warst wirklich meine retteung!
schönen abend noch und extra liebe grüße
steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Sypher |
Polstelle heißt doch, wenn dein Nenner bei einer bestimmten Zahl z, Null wird.
Bei [mm] cos(\bruch{\pi}{2}z) [/mm] ist das aber nicht nur bei z = 1 und 3, sondern alle ungeraden Zahlen, also für z = 2n +1, n [mm] \in\IN. [/mm]
Nur so nebenbei bemerkt. Mehr kann ich nicht helfen (falls es überhaupt hilft) :P
Gruß
|
|
|
|
