Ordnungsrelationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Overlord |
Hi, bin neu hier im Forum deshalb erstmal Hallo @all !!!
Bin Erstsemesterer in Physik und hab ne etwas blöde Frage zu Ordnungsrelationen. Kenne zwar deren mathematische Definition, und kann auch halbwegs damit umgehen, aber kann mir unter dem Begriff der Ordnungsrelation nicht wirklich etwas vorstellen.
Habe bereits die Suchfunktion benutzt, aber nichts gefunden, dass dies etwas "bildlicher" eklärt (so wie z.B. hier die Äquivalenzklasse erklärt wurde https://matheraum.de/read?f=16&t=2012&i=2031 , hat mir auch sehr weitergeholfen !!). Wär nett wenn mir jemand ne kurze Erklärung geben könnte !
Mfg, Ovi
PS: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo ovi.
Eine Ordnungsrelation [mm]R[/mm] auf der Menge [mm]M[/mm] scheint eine Teilmenge des [mm]M^2[/mm] zu sein. Sind zwei Zahlen [mm]a,b[/mm] gegeben, so ist [mm]a\sim b[/mm] bzw. [mm](a,b)\in R[/mm] genau dann gegeben, wenn [mm]a
Dies einmal zum rein Mathematischen.
Zu dem Begriff will ich folgendes sagen:
Unter einer Relation auf einer Menge versteht man bekanntlich Gruppierung von Elementen der Menge auf Grund einer bestimmten Eigenschaft. Hat man also einen Haufen Autos, manche blau, manche grün, dann könnte man eine Relation auf der Menge der Autos erzeugen, sodass für Auto a und Auto b genau dann [mm]a\sim b[/mm] gilt, wenn a und b die gleiche Farbe haben. Die Eigenschaft wäre dann die Farbe, oder auch die "Farbengleichheit".
In unserem Falle ist es nicht die Farbe eines Autos, die wir betrachten wollen, sondern die Tatsache, dass ein Objekt kleiner bzw. größer als ein anderes ist. Die Eigenschaft, die wir betrachten wollen, ist also das "Größersein". Ist [mm]a\sim b[/mm] bzw. [mm](a,b)\in R[/mm], so sagt uns dies, dass a kleiner als b ist, oder: "a und b besitzen die Eigenschaft, dass das zweite Element größer als das erste ist".
Hilft dir das beim VErständnis ein wenig?
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Overlord |
Danke Hanno, für die schnelle Antwort!
Ja hat mir sehr weitergeholfen !! Danke.
mfg, ovi
PS: Supi Page !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Sa 07.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich möchte noch kurz anmerken, dass man von ![[]](/images/popup.gif) ordnungrelationen auf mengen meistens auch die reflexivität fordert, also dass gilt $(a, a) [mm] \in [/mm] R$.
also gilt insgesamt $R [mm] \subset [/mm] M [mm] \times [/mm] M $ ordnungsrelation, wenn gilt:
$(1) [mm] \quad \forall \, [/mm] a [mm] \in [/mm] M: (a, a) [mm] \in [/mm] R$ (reflexivität)
$(2) [mm] \quad [/mm] (a, b) [mm] \in [/mm] R [mm] \, \wedge \; [/mm] (b, a) [mm] \in [/mm] R [mm] \; \Longrightarrow \; [/mm] a = b$ (antisymmetrie)
$(3) [mm] \quad [/mm] (a, b) [mm] \in [/mm] R [mm] \; \wedge \; [/mm] (b, c) [mm] \in [/mm] R [mm] \; \Longrightarrow \; [/mm] (a, c) [mm] \in [/mm] R$ (transitivität)
ein typisches beispiel wäre eben die [mm] "$\leq$"-relation [/mm] auf jeder beliebigen teilmenge von [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] also z.b. auf [mm] $\mathbb{N}, \; \mathbb{Z}$ [/mm] oder auch [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] selbst. ein anderes beispiel sind städte an einem fluss und es gilt z.b.
$(a, b) [mm] \in [/mm] R [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] a [mm] \text{ liegt weiter flussaufwärts als } [/mm] b$.
also würde z.b. wenn man den rhein betrachtet gelten "(köln, düsseldorf) $ [mm] \in [/mm] R$" - oder anders geschrieben "köln [mm] $\leq$ [/mm] düsseldorf", aber wegen (1) z.b. auch "köln [mm] $\leq$ [/mm] köln".
andreas
|
|
|
|
