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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Maluues |
Einen schönen Nachmittag euch allen.
Unser Buch (Lambacher Schweizer Gk Analysis) schreibt zum Thema Integralrechnung folgendes:
Satz:Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
Die FUnktion f sei auf dem Intervall I stetig und [mm] f(x)\ge0 [/mm] für [mm] x\in [/mm] I.
Ist F eine beliebige Stammfunktion von f in I, dann gilt für a [mm] \in [/mm] I und b [mm] \in [/mm] I
mit [mm] a\leb
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a)
[/mm]
Bei der Erweiterung des Integralsbegriffs steht geschrieben:
Ist f eine auf dem Intervall I definierte stetig Funktion mit Stammfunktion F , so ist für alle a,b [mm] \in [/mm] I das Integral über f von a bis b definiert durch.
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a)
[/mm]
Kann mir jemand den Unterschied erklären?
Zu Beginn hieß es für uns immer Graphen zeichnen, schauen, wo der Graph die x-Achse schneidet etc ,um so herauszufinden, ob der Graph zu Beginn über/unter der x-Achse verläuft und später unter/über der x-Achse verläuft, also mehrere Teilflächen besitzt, die man addieren muss.
Dabei hieß es auch immer, dass es keine negativen Flächen gebe und man den Betrag von [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] nehmen solle, wenn die Fläche sich unter der x-Achse befinde und somit negativ sei.
Im Buch steht als Beispiel geschrieben:
Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=1/4\*x^2 [/mm] - x
a)Berechnen und veranschaulichen Sie [mm] J=\integral_{-1.5}^{4.5}{f(x) dx}
[/mm]
Lösung:
F(x)) [mm] 1/12\*x^3-1/2\*x^2
[/mm]
J=-9/8
(es wurden die jeweiligen Zahlen in die Stammfunktion eingesetzt).
Also:
[mm] [1/12\*-(1.5)^3-1/2\*(-1.5)^2]-[1/12\*(4.5)^3-1/2\*(4.5)^2]
[/mm]
Daneben ist eine Zecihnung zu finden und die dazugehörigen Teilflächen.
A1=über x-Achse
A2=unter x-Achse
A3=über x-Achse
Warum ist die Lösung denn negativ? Ich raffs nicht :(
Ich dachte es kann keine negativen Flächen geben?
Könnt ihr mir bitte,bitte helfen?
Grüße Maluues
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Maluues,
> Einen schönen Nachmittag euch allen.
>
> Unser Buch (Lambacher Schweizer Gk Analysis) schreibt zum
> Thema Integralrechnung folgendes:
>
> Satz:Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
> Die FUnktion f sei auf dem Intervall I stetig und [mm]f(x)\ge0[/mm]
> für [mm]x\in[/mm] I.
> Ist F eine beliebige Stammfunktion von f in I, dann gilt
> für a [mm]\in[/mm] I und b [mm]\in[/mm] I
> mit [mm]a\leb[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a)[/mm]
>
> Bei der Erweiterung des Integralsbegriffs steht
> geschrieben:
>
> Ist f eine auf dem Intervall I definierte stetig Funktion
> mit Stammfunktion F , so ist für alle a,b [mm]\in[/mm] I das
> Integral über f von a bis b definiert durch.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a)[/mm]
>
> Kann mir jemand den Unterschied erklären?
Der Unterschied ist, dass im ersten Fall die Kurve im gesamten Intervall oberhalb der x-Achse liegt (die x-Achse höchstens berührt). Damit ist das bestimmte Integral gleich dem Flächeninhalt.
Im zweiten Fall kann die Kurve die Kurve auch unterhalb der x-Achse verlaufen oder teilweise oberhalb, teilweise unterhalb liegen.
Liegt die Kurve unterhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral gleich dem negativen Wert des Flächeninhalts. Liegt er teilweise oberhalb, teilweise unterhalb, dann ist das bestimmte Integral gleich der Flächendifferenz.
>
> Zu Beginn hieß es für uns immer Graphen zeichnen, schauen,
> wo der Graph die x-Achse schneidet etc ,um so
> herauszufinden, ob der Graph zu Beginn über/unter der
> x-Achse verläuft und später unter/über der x-Achse
> verläuft, also mehrere Teilflächen besitzt, die man
> addieren muss.
>
> Dabei hieß es auch immer, dass es keine negativen Flächen
> gebe und man den Betrag von [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> nehmen solle, wenn die Fläche sich unter der x-Achse
> befinde und somit negativ sei.
genau!
>
> Im Buch steht als Beispiel geschrieben:
>
> Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)=1/4\*x^2[/mm] - x
>
> a)Berechnen und veranschaulichen Sie
> [mm]J=\integral_{-1.5}^{4.5}{f(x) dx}[/mm]
>
>
> Lösung:
>
> F(x)) [mm]1/12\*x^3-1/2\*x^2[/mm]
>
> J=-9/8
>
> (es wurden die jeweiligen Zahlen in die Stammfunktion
> eingesetzt).
> Also:
>
> [mm][1/12\*-(1.5)^3-1/2\*(-1.5)^2]-[1/12\*(4.5)^3-1/2\*(4.5)^2][/mm]
>
>
> Daneben ist eine Zecihnung zu finden und die dazugehörigen
> Teilflächen.
>
> A1=über x-Achse
> A2=unter x-Achse
> A3=über x-Achse
>
> Warum ist die Lösung denn negativ? Ich raffs nicht :(
> Ich dachte es kann keine negativen Flächen geben?
Hier wurde das Integral ausgerechnet, nicht der Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse. Da Integral ist gleich $ [mm] A_1 [/mm] - [mm] A_2 [/mm] + [mm] A_3 [/mm] $ und das kann durchaus negativ werden.
Gruß
Sigrid
>
>
> Könnt ihr mir bitte,bitte helfen?
>
> Grüße Maluues
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Maluues |
Danke,danke,danke!
Das hat mir jetzt schon sehr geholfen.
Nun brauch ich noch Hilfe beim Begriff des Integrals.
Was heißt es ein "Integral" zu berechnen? Was berechne ich "bildlich" gesehen, wenn ich ein Integral berechne?
So habe ich immer die Fläche unter eine Graphen in einem bestimmten Intervall berechnet. Und was berechne ich , wenn ich ein "Integral" berechne?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Integral ist so was wie ne erweiterte Summe. wie jede Summe kann sie auch negative Teile enthalten.
stell dir mal unter f(x) die Funktion Einkunft f in Abhaengigkeit von der Zeit t=x vor.
dabei sind Ausgaben negative Einkuenfte.
Wenn du jetzt die Einkuenfte ueber einen Monat (oder laenger integrierst kommt fuer verschieden f(x) sehr verschiedene Ergebnisse raus: Der eine gibt Tagelang lang nur Geld aus, der andere nimmt nur Ein, ein dritter mimmt 8 Stunden lang ein, gibt dann 1 Std lang aus usw. das Ergebnis ist natuerlich der Unterschied eines Kapitals am Anfang und am Ende. also K(E)-K(A)
das kann jetzt 0 sein, negativ oder positiv.
In der physik ist Arbeit, bzw. energie =Summe aus Kraft *weg in Kraftrichtung. wenn die Kraft nicht konstant ist sondern sich entlang des weges kontinuierlich aendert hat man fuer jedes Wegstueckchen ds K(s)*ds auszurechnen und zu addieren.
auch hier kann am ende was pos, neg oder 0 rauslommen. weil die Kraft mal negativ mal positiv sein kann.
Es gibt mehr Beispiele, aber vielleicht reichen die ja.
Auf der Schule wird leider das Integral immer erstmal als Flaeche unter ner Kurve ausgerechnet, dabei vergisst man, dass f(x) ja zwar auf dem Papier ne Laenge ist, aber ganz verschiedene Dinge bedeuten kann . wie Leistung in abhaengigkeit von der Zeit, Geschwindigkeit in Abhaengigkeit von der Zeit, Menge gekaufter Kartoffeln pro Zeit und ne Million sachen mehr.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Maluues |
Danke auch dir!
Jetzt habe ich aber wieder ein Problem bzw bin mir nicht sicher, ob ich richtig liege.
Integrieren heißt doch die Stammfunktion bilden und voneinanderabziehen.
Sagen wir mal ich habe einen Graphen der FUnktion f(x). Diese gibt an wieviel ich ausgebe bzw einnehme in t=Zeit.
Der Graph ist jetzt vorstellbar wie eine Kurve, die erstmal vom Kapital(K) fällt ,unter die x-Achse(Zeit) fällt und dann wieder steigt.
Ich habe also ersteinmal Ausgegeben (Fallen) und wieder eingenommen (steigen).
Was heißt in diesem Falle Integration?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Maluues,
werfe hier bitte nicht zwei Aspekte des Integrierens durcheinander. Die Technik, die Du nutzt, um ein Integral zu lösen, geht über die Bestimmung der Stammfunktion. Die Bedeutung solch eines Integrals, es gibt auch noch andere Integraltypen, hat Dir Leduart bereits erklärt, indem er die Integration mit einer Summation Flächen unter der zu integrierenden Kurve verglich. Bei Deinem Beispiel wirst Du wohl das Kapital K positiv auftragen, negatives Kapital sind demzufolge Ausgaben. Die Integration über einen bestimmten zeitraum sagt Dir dann, wie groß das Gesamtkapital in diesem Zeitraum ist. Ist es positiv, sind Gewinne vorhanden, ist es negativ, dann überwiegen die Ausgaben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Maluues |
Danke! Ich danke euch.
Ich glaube ,dass iches jetzt verstanden habe.
Grüße Maluues
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