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| Aufgabe | In [mm] E_{3} [/mm] betrachten wir die Punkte:
[mm] P=\vektor{-1\\-3\\1} Q=\vektor{1\\-1\\2} R=\vektor{-2\\2\\-4}
[/mm]
[mm] S=\vektor{a\\2\\1}
[/mm]
[mm] H_{1} [/mm] bezeichne die Ebene durch die Punkte P,Q,R
[mm] H_{2} [/mm] bezeichne die Ebene durch die Punkte P,Q,S
Berechnen Sie die Hesse-Normalform der beiden Ebenen.
Für welchen Wert sind beide Ebenen orthogonal zueinander? |
Hallo.
Ich komme bei der obigen Aufgabe nicht weiter.
Meine Idee ist wäre es zunächst die Vektoren zu suchen, die die Ebene aufspannen.
Dafür benötige ich einen Punkt und zwei unabhängige Vektoren.
1.D.h ich müsste die Ortsvektoren von P,Q,R und P,Q,S zunächst auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.
Quasi:
a*P+b*Q=0
a*P+b*R=0
usw.
2.Die linear unabhängigen Vektoren Gründen mit einem beliebigen Punkt eine Ebene.
3.Jeder Punkt einer Ebene kann durch eine Gleichung der Form: [mm] x_{p}+s*u+t*v=x_{z} [/mm] beschrieben werden.
D.h die Gleichung [mm] x_{z1}*x_{xz2} [/mm] wobei [mm] x_{z1} \in H_{1} [/mm] und [mm] x_{z2} \in H_{2}= [/mm] 0 ist, da die Ebenen orthogonal zueinander sein sollen und somit jeder Vektor der Ebene [mm] H_{1} [/mm] orthogonal zu jedem Vektor der Eben [mm] H_{2} [/mm] ist.
Gibt es hierfür nicht auch eine einfachere Lösungsmöglichkeit?
Viele Grüße
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> In [mm]E_{3}[/mm] betrachten wir die Punkte:
> [mm]P=\vektor{-1\\
-3\\
1} Q=\vektor{1\\
-1\\
2} R=\vektor{-2\\
2\\
-4}[/mm]
>
> [mm]S=\vektor{a\\
2\\
1}[/mm]
>
> [mm]H_{1}[/mm] bezeichne die Ebene durch die Punkte P,Q,R
> [mm]H_{2}[/mm] bezeichne die Ebene durch die Punkte P,Q,S
>
> Berechnen Sie die Hesse-Normalform der beiden Ebenen.
> Für welchen Wert sind beide Ebenen orthogonal
> zueinander?
> Hallo.
>
> Ich komme bei der obigen Aufgabe nicht weiter.
> Meine Idee ist wäre es zunächst die Vektoren zu suchen,
> die die Ebene aufspannen.
> Dafür benötige ich einen Punkt und zwei unabhängige
> Vektoren.
Hallo,
wenn Du Abi hast, sollte die Aufgabe eigentlich mit Schulkenntnissen zu lösen sein.
Durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, ist eine Ebene eindeutig festgelegt.
Hast Du die nichtkollinearen Punkte A,B,C gegeben, so lautet die Gleichung der Ebene E in Parameterform
E: [mm] \vec{x}=\overrightarrow{0A}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}[/mm]
Falls die A,B,C auf einer Geraden liegen, merkst Du das daran, daß [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] Vielfache voneinander sind.
Für die HNF benötigst Du den Normaleneinheitsvektor [mm] \vec{n_0} [/mm] von E.
Ich habe in einem anderen Beitrag gesehen, daß Du weißt, wie man ihn aus den beiden Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] berechnen kann.
Nun sollte dem Aufstllen der beiden Ebenengleichungen [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] eigentlich nicht mehr viel im Wege stehen.
Orthogonal sind die Ebenen, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind.
LG Angela
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> 1.D.h ich müsste die Ortsvektoren von P,Q,R und P,Q,S
> zunächst auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.
> Quasi:
> a*P+b*Q=0
> a*P+b*R=0
> usw.
>
> 2.Die linear unabhängigen Vektoren Gründen mit einem
> beliebigen Punkt eine Ebene.
>
> 3.Jeder Punkt einer Ebene kann durch eine Gleichung der
> Form: [mm]x_{p}+s*u+t*v=x_{z}[/mm] beschrieben werden.
>
> D.h die Gleichung [mm]x_{z1}*x_{xz2}[/mm] wobei [mm]x_{z1} \in H_{1}[/mm] und
> [mm]x_{z2} \in H_{2}=[/mm] 0 ist, da die Ebenen orthogonal
> zueinander sein sollen und somit jeder Vektor der Ebene
> [mm]H_{1}[/mm] orthogonal zu jedem Vektor der Eben [mm]H_{2}[/mm] ist.
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> Gibt es hierfür nicht auch eine einfachere
> Lösungsmöglichkeit?
>
> Viele Grüße
>
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Hallo.
Folgendermaßen habe ich gerechnet:
[mm] H_{1}: \vektor{-1\\-3\\1}+s\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{-1\\5\\-5}
[/mm]
[mm] H_{2}: \vektor{-1\\3\\1}+u\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{a+1\\5\\0}
[/mm]
[mm] \vektor{0\\2\\1}*n_{1}=0 [/mm]
[mm] \vektor{-1\\5\\-5}*n_{1}=0
[/mm]
[mm] \vektor{0\\2\\1}*n_{2}=0
[/mm]
[mm] \vektor{a+1\\5\\0}*n_{2}=0
[/mm]
[mm] n_{1}*n_{2}=n_{1x}+n_{2x}+n_{1y}*n_{2y}+n_{1z}*n_{2z}=0
[/mm]
Das sind die Bedingungen die gegeben sind.
Gelöst habe ich das folgendermaßen:
[mm] 2n_{1x}+2n_{1z}=0
[/mm]
[mm] -n_{1x}+5n_{1y}-5n_{1z}=0
[/mm]
[mm] n_{1z}=a=2
[/mm]
[mm] n_{1x}=-1
[/mm]
[mm] n_{1y}=\bruch{9}{5}
[/mm]
[mm] 2n_{2y}+n_{2z}=0
[/mm]
[mm] (a+1)n_{2x}+5n_{2y}=0
[/mm]
[mm] n_{2z}=b \Rightarrow n_{2y}=\bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] n_{2x}=-\bruch{5*0.5b}{a+1}
[/mm]
Demnach gilt für [mm] n_{1}*n_{2}=n_{1x}+n_{2x}+n_{1y}*n_{2y}+n_{1z}*n_{2z}=
[/mm]
[mm] -5*\bruch{0.5b}{a+1}*-1+\bruch{9}{5}*\bruch{b}{2}+2*b=0
[/mm]
[mm] =2.5b+\bruch{9}{10}(a+1)*b+2b(a+1)=
[/mm]
[mm] =2.5b+\bruch{9}{1}ab+\bruch{9}{10}b+2ab+2b=0
[/mm]
[mm] =2.5b+\bruch{9}{10}+2b=-\bruch{9}{10}ab-2ab
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] a=-\bruch{54}{29}
[/mm]
Ich glaube, dass ich mich verrechnet habe...
Grüße
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo.
>
> Folgendermaßen habe ich gerechnet:
>
> [mm]H_{1}: \vektor{-1\\-3\\1}+s\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{-1\\5\\-5}[/mm]
>
Der Richtungsvektor bei dem Parameter s muß hier [mm]\vektor{\red{2}\\2\\1}[/mm] lauten.
> [mm]H_{2}: \vektor{-1\\3\\1}+u\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{a+1\\5\\0}[/mm]
>
Hier ist der Stützvektor derselbe wie bei der Ebene H1.
Der Richtungsvektor bei dem Parameter u muß hier ebenfalls [mm]\vektor{\red{2}\\2\\1}[/mm] lauten.
> [mm]\vektor{0\\2\\1}*n_{1}=0[/mm]
> [mm]\vektor{-1\\5\\-5}*n_{1}=0[/mm]
> [mm]\vektor{0\\2\\1}*n_{2}=0[/mm]
> [mm]\vektor{a+1\\5\\0}*n_{2}=0[/mm]
>
> [mm]n_{1}*n_{2}=n_{1x}+n_{2x}+n_{1y}*n_{2y}+n_{1z}*n_{2z}=0[/mm]
>
> Das sind die Bedingungen die gegeben sind.
>
>
> Gelöst habe ich das folgendermaßen:
>
> [mm]2n_{1x}+2n_{1z}=0[/mm]
> [mm]-n_{1x}+5n_{1y}-5n_{1z}=0[/mm]
>
> [mm]n_{1z}=a=2[/mm]
> [mm]n_{1x}=-1[/mm]
> [mm]n_{1y}=\bruch{9}{5}[/mm]
>
> [mm]2n_{2y}+n_{2z}=0[/mm]
> [mm](a+1)n_{2x}+5n_{2y}=0[/mm]
>
> [mm]n_{2z}=b \Rightarrow n_{2y}=\bruch{b}{2}[/mm]
>
> [mm]n_{2x}=-\bruch{5*0.5b}{a+1}[/mm]
>
> Demnach gilt für
> [mm]n_{1}*n_{2}=n_{1x}+n_{2x}+n_{1y}*n_{2y}+n_{1z}*n_{2z}=[/mm]
> [mm]-5*\bruch{0.5b}{a+1}*-1+\bruch{9}{5}*\bruch{b}{2}+2*b=0[/mm]
> [mm]=2.5b+\bruch{9}{10}(a+1)*b+2b(a+1)=[/mm]
> [mm]=2.5b+\bruch{9}{1}ab+\bruch{9}{10}b+2ab+2b=0[/mm]
> [mm]=2.5b+\bruch{9}{10}+2b=-\bruch{9}{10}ab-2ab[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]a=-\bruch{54}{29}[/mm]
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> Ich glaube, dass ich mich verrechnet habe...
>
> Grüße
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:20 Do 26.04.2012 | | Autor: | Masseltof |
Hallo ,danke für den Hinweis.
Ich komme hier nicht weiter , da ich bei einem Ausdruck der Form
[mm] a+x+c+n_{y}=a+x+c+n_{y} [/mm] hängenbliebe.
Ist denn meine Vorgehensweise richtig?
Grüße
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> Hallo ,danke für den Hinweis.
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> Ich komme hier nicht weiter , da ich bei einem Ausdruck der
> Form
> [mm]a+x+c+n_{y}=a+x+c+n_{y}[/mm] hängenbliebe.
Hallo,
man müßte schon auf einen Blick sehen können, was Du rechnest.
Mit dieser Zeile allein kann man wenig anfangen.
Rechne doch zuerst mal einen (!) Normalenvektor der ersten Ebene aus.
Ist Dir klar, daß die Normalenvektoren nicht eindeutig sind? Sie können lang oder kurz sein. Du kannst irgendeinen davon nehmen.
LG Angela
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> Ist denn meine Vorgehensweise richtig?
>
> Grüße
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