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a) Die Menge aller orthogonalen Matrizen aus [mm] Mat_{n}(\IR) [/mm] bildet mit der Multiplikation von Matrizen als Verknüpfung eine Gruppe! Sie heißt die orthogonale Gruppe und wird mit [mm] O_{n}(\IR) [/mm] bezeichnet.
b)
[mm] SO_{n}(\IR) \subseteq O_{n}(\IR)
[/mm]
[mm] |\cap [/mm] . [mm] |\cap
[/mm]
[mm] SL_{n}(\IR) \subseteq GL_{n}(\IR)
[/mm]
Sind Ketten von Untergruppen.
Hierbei bezeichnet [mm] SO_{n}(\IR) [/mm] die spezielle orthogonale Gruppe, die alle orthogonalen Matrizen mit Determinante 1 enthält.
c) A * [mm] SO_{n}(\IR) [/mm] * [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] SO_{n}(\IR) [/mm] für alle A [mm] \in O_{n}(\IR) [/mm] |
Hallo,
ich habe mal wieder ein paar Probleme. Also bei Aufgabe a komme ich noch zurecht, da brauch ich ja praktisch nur die Untergruppenaxiome nachzuweisen weil die Menge der orthogonalen Matrizen eine Teilmenge der Matrizen aus [mm] Mat_{n}(\IR) [/mm] sind, allerdings hierzu auch schon direkt eine Frage:
Bei der Abgeschlossenheit muss ich ja zeigen, dass das Produkt aus A und B wieder orthogonal ist, mit A,B [mm] \in Mat_{n}(\IR) [/mm] orthogonal. Laut Vorlesung ist eine Matrix genau dann orthogonal, wenn sie invertierbar ist und ihre Inverse [mm] A^{tr} [/mm] ist, also muss ich doch zeigen, dass (A*B) * [mm] (A*B)^{tr} [/mm] = [mm] I_{n} [/mm] gilt.
Also nach Definition gilt A * [mm] A^{tr} [/mm] = [mm] I_{n} [/mm] und B * [mm] B^{tr} [/mm] = [mm] I_{n}, [/mm] das heißt es gilt auch
A * [mm] A^{tr} [/mm] * B * [mm] B^{tr} [/mm] = [mm] I_{n}
[/mm]
A * [mm] A^{tr} [/mm] * [mm] B^{tr} [/mm] * B = [mm] I_{n}
[/mm]
A * (B * [mm] A)^{tr} [/mm] * B = [mm] I_{n}
[/mm]
ok...jetzt kommts:
A * (B * [mm] A)^{tr} [/mm] * [mm] B^{-1^{tr}} [/mm] = [mm] I_{n} [/mm] --da [mm] B^{-1}=B^{tr} [/mm] gilt doch [mm] B^{-1^{tr}}=B
[/mm]
A * [mm] (B^{-1} [/mm] * (B * [mm] A))^{tr} [/mm] = [mm] I_{n}
[/mm]
A * [mm] (B^{-1} [/mm] * (B * [mm] A))^{-1} [/mm] = [mm] I_{n}
[/mm]
A * B * (B * [mm] A)^{-1} [/mm] = [mm] I_{n}
[/mm]
A * B * [mm] B^{-1} [/mm] * [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] I_{n}
[/mm]
A * B * [mm] B^{tr} [/mm] * [mm] A^{tr} [/mm] = [mm] I_{n}
[/mm]
A * B * [mm] (A*B)^{tr} [/mm] = [mm] I_{n}
[/mm]
das kann doch unmöglich richtig sein.....
Zu Aufgabe b)
Ja...ist absolut logisch, aber wie kann ich das zeigen? (Das sollen übrigens alles Inklusionen sein, den Punkt in der Mitte bitte nicht beachten, irgendwie hat das ohne Punkt mit dem Abstand nicht gepasst)
Zu Aufgabe c)
Hier war mein Ansatz folgender:
A * [mm] SO_{n}(\IR) [/mm] * [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] SO_{n}(\IR)
[/mm]
A * [mm] SO_{n}(\IR) [/mm] * [mm] A^{tr} [/mm] = [mm] SO_{n}(\IR)
[/mm]
A * [mm] SO_{n}(\IR)^{-1^{tr}} [/mm] * [mm] A^{tr} [/mm] = [mm] SO_{n}(\IR)
[/mm]
A * (A * [mm] SO_{n}(\IR)^{-1})^{tr} [/mm] = [mm] SO_{n}(\IR)
[/mm]
A * (A * [mm] SO_{n}(\IR)^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] SO_{n}(\IR)
[/mm]
[mm] \underbrace{A * A^{-1}}_{=I_{n}} [/mm] * [mm] SO_{n}(\IR) [/mm] = [mm] SO_{n}(\IR)
[/mm]
[mm] SO_{n}(\IR) [/mm] = [mm] SO_{n}(\IR)
[/mm]
Also praktisch die gleiche Theorie wie bei a)....
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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also in der rechnung bei a) ist ein fehler. du musst beachten, dass [mm] (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} [/mm] gilt. Damit wird die Abgeschlossenheit ganz einfach: [mm] (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^{T}A^{T}=(AB)^{T} [/mm]
nun zu b) wie du schon geschrieben hast, ist eine orthogonale Matrix insbesondere invertierbar also ist [mm] O_n(\IR)\subseteq GL_n(\IR) [/mm]. Genauso hat jede Matrix aus [mm] SO_n(\IR) [/mm] Determinante 1 also liegt in [mm] SL_n(\IR) [/mm]. Die anderen beiden Inklusionen sind wirklich trivial.
zu c) Hier würde ich zunächst die Multiplikativität der Determinante ausnutzen: Sei [mm] B\in SO_n(\IR) [/mm] dann ist [mm] det(ABA^{-1})=det(A)det(B)det(A)^{-1}=det(B)=1 [/mm]. Also ist schon mal [mm] ABA^{-1}\in SL_n(\IR) [/mm]. Außerdem ist sicher auch [mm] ABA^{-1}\in O_n(\IR) [/mm] (Abgeschlossenheit dieser Gruppe), also ist [mm] ABA^{-1}\in SO_n(\IR)[/mm]. Damit ist bereits die Inklusion [mm] A\cdot SO_n(\IR) \cdot A^{-1} \subseteq SO_n(\IR) [/mm] gezeigt. Für die andere Inklusion sei wieder [mm] B\in SO_n(\IR) [/mm] beliebig. Dann ist nach dem eben gezeigten [mm] A^{-1}BA\in SO_n(\IR) [/mm]. Also ist auch [mm] B=AA^{-1}BAA^{-1}\in A\cdot SO_n(\IR)\cdot A^{-1} [/mm].
(Man kann das auch viel eleganter (und abstrakter) zeigen: [mm] SO_n(\IR) [/mm] ist als Kern des (Gruppen-)Homomorphismus [mm] det [/mm] ein Normalteiler in [mm] O_n(\IR) [/mm]). Bei deinen weg finde ich [mm] (SO_n(\IR))^{-1} [/mm] ziemlich mutig. wie ist denn das Inverse einer Menge definiert ???
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Zu Aufgabe a): Verdammt! Sowas einfaches und ich komme nicht drauf! Aber gib bitte zu, dass wenn diverse Rechenregeln nicht gelten würden und die Mathematik nicht so wäre wie sie ist, meine Lösung absolut genial wäre...
Zu Aufgabe b): Kann ich das denn einfach so "beschreiben" und muss nicht zeigen, dass es wirklich so ist? Ich meine vor allem das mit den KETTEN VON UNTERGRUPPEN, muss ich da zeigen, dass z.B. [mm] SL_n(\IR) [/mm] und [mm] ON_n(\IR) [/mm] Untergruppen von [mm] GL_n(\IR) [/mm] sind usw., oder reicht es die Teilmengen zu "erklären"?
Zu Aufgabe c): Sehr schön! Tja....das Inverse einer Menge....ich bin ziemlich sicher, dass es so etwas eines Tages noch geben wird....
Vielen Dank
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zu b)
ja es reicht nur die Teilmengenbeziehungen zu zeigen. wenn du zwei gruppen G und H hast mit [mm] H\subseteq G [/mm]. Dann folgt sofort [mm] H\leq G [/mm], denn nach Definition ist eine Untergruppe H von G ja eine nichtleere Teilmenge mit [mm] a,b\in H \Rightarrow ab^{-1}\in H [/mm]. Diese beiden Eigenschaften folgen sofort aus den Gruppeneigenschaften von H.
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